Преобразование на Фурие | математическа функция, която може да се използва за намиране на основните честоти, от които е съставена една вълна

Трансформацията на Фурие е математическа функция, която може да се използва за намиране на основните честоти, от които се състои една вълна. Представете си, че свирите акорд на пиано. Когато се свири, звуците от нотите на акорда се смесват и образуват звукова вълна. Това се получава, защото вълните на всяка от различните ноти си пречат, като се събират или анулират в различни точки на вълната. Трансформацията на Фурие взема тази сложна вълна и може да намери честотите, които са я създали, което означава, че може да намери нотите, от които е съставен акордът.

Изходът на преобразуването на Фурие понякога се нарича честотен спектър или разпределение, тъй като показва разпределението на възможните честоти на входа. Тази функция има много приложения в криптографията, океанографията, машинното обучение, радиологията, квантовата физика, както и в звуковия дизайн и визуализацията.

Трансформацията на Фурие на функция f ( x ) {\displaystyle f(x)} , понякога записвана като F { f } {\displaystyle {\mathcal {F}}\{f\}} , се определя от

F ( α ) = ∫ - ∞ + ∞ f ( x ) e - 2 π i α x d x {\displaystyle F(\alpha )=\int _{-\infty }^{+\infty }f(x)e^{-2\pi i\alpha x}\,dx}

където:

• α {\displaystyle \alpha } е честота.
• F ( α ) {\displaystyle F(\alpha )} е функцията за преобразуване на Фурие и връща стойност, която представя колко честота α {\displaystyle \alpha } е разпространена в оригиналния сигнал.
• e - 2 π i α x {\displaystyle e^{-2\pi i\alpha x}} представлява увиване на входната вълнова функция f ( x ) {\displaystyle f(x)} около началото на комплексната равнина с някаква честота α {\displaystyle \alpha } .

Обратното преобразуване на Фурие е дадено с

f ( x ) = ∫ - ∞ + ∞ F ( α ) e + 2 π i x α d α {\displaystyle f(x)=\int _{-\infty }^{+\infty }F(\alpha )e^{+2\pi ix\alpha }\,d\alpha }

Преобразуването на Фурие показва какви са честотите в сигнала. Например, разгледайте звукова вълна, която съдържа три различни музикални ноти: Направете графика на преобразуването на Фурие на тази звукова вълна (с честотата по оста x и интензитета по оста y) и ще видите пик на всяка честота, който съответства на една от нотите.

Много сигнали могат да бъдат създадени чрез събиране на косинуси и синуси с различни амплитуди и честоти. Преобразуването на Фурие показва амплитудите и фазите на тези косинуси и синуси спрямо съответните им честоти.

Трансформациите на Фурие са важни, тъй като много сигнали имат по-голям смисъл, когато честотите им са разделени. В примера с аудиото по-горе разглеждането на сигнала по отношение на времето не прави очевидно, че нотите A, B и C са в сигнала. Много системи правят различни неща с различните честоти, така че тези видове системи могат да бъдат описани чрез това, което правят с всяка честота. Пример за това е филтър, който блокира високите честоти.

Изчисляването на трансформацията на Фурие изисква разбиране на интегрирането и въображаемите числа. Обикновено за изчисляване на трансформациите на Фурие на всички сигнали, освен на най-простите, се използват компютри. Бързото преобразуване на Фурие е метод, който компютрите използват за бързо изчисляване на преобразуване на Фурие.

Въпроси и отговори

В: Какво представлява трансформацията на Фурие?

Въпрос: Какви са някои приложения на трансформацията на Фурие?

В: Как се изчислява трансформацията на Фурие?

Въпрос: Как изглежда изходът на преобразуването на Фурие?

В: Как компютрите изчисляват бързите трансформации на Фурие?

В: Какво не ни показва разглеждането на сигналите по отношение на времето?

Търсене по буква