Константата на Планк (h): дефиниция, стойност и значение във физиката

Между 1670 и 1900 г. учените обсъждат природата на светлината. Някои учени смятат, че светлината се състои от много милиони малки частици. Други учени смятат, че светлината е вълна.

Светлината: вълни или частици?

През 1678 г. Кристиан Хюйгенс написва книгата Traité de la lumiere ("Трактат за светлината"). Той смята, че светлината се състои от вълни. Според него светлината не може да се състои от частици, тъй като светлината от два лъча не се отразява един от друг. През 1672 г. Исак Нютон написва книгата "Оптики". Той вярва, че светлината е съставена от червени, жълти и сини частици, които нарича корпускули. Нютон обяснява това чрез своя "експеримент с две призми". Първата призма разбива светлината на различни цветове. Втората призма слива тези цветове обратно в бяла светлина.

През XVIII в. най-голямо внимание се отделя на теорията на Нютон. През 1803 г. Томас Йънг описва "експеримента с двойния процеп". При този експеримент светлината, преминаваща през два тесни процепа, интерферира сама със себе си. Това води до появата на картина, която показва, че светлината е съставена от вълни. През останалата част на XIX век на вълновата теория за светлината се обръща най-голямо внимание. През 60-те години на XIX в. Джеймс Клерк Максуел разработва уравнения, които описват електромагнитното излъчване като вълни.

Теорията на електромагнитното излъчване разглежда светлината, радиовълните, микровълните и много други видове вълни като едно и също нещо, с изключение на това, че те имат различна дължина на вълната. Дължината на вълната на светлината, която можем да видим с очите си, е приблизително между 400 и 600 nm. Дължината на вълната на радиовълните варира от 10 м до 1500 м, а дължината на вълната на микровълните е около 2 см. Във вакуум всички електромагнитни вълни се движат със скоростта на светлината. Честотата на електромагнитната вълна се определя от:

ν = c λ {\displaystyle \nu ={\frac {c}{\lambda }}} .

Символите са дефинирани тук.

Черни радиатори за тяло

Всички топли неща излъчват топлинно излъчване, което е електромагнитно излъчване. За повечето неща на Земята това излъчване е в инфрачервения диапазон, но нещо много горещо (1000 °C или повече) излъчва видимо излъчване, т.е. светлина. В края на XIX в. много учени изследват дължините на вълните на електромагнитното излъчване от излъчватели на черни тела при различни температури.

Право на Rayleigh-Jeans

Лорд Рейли публикува за първи път основите на закона на Рейли-Джийнс през 1900 г. Теорията се основава на кинетичната теория на газовете. През 1905 г. сър Джеймс Джийнс публикува по-пълна теория. Законът е свързан с количеството и дължината на вълната на електромагнитната енергия, отделяна от радиатор на черно тяло при различни температури. Уравнението, което го описва, е:

B λ ( T ) = 2 c k T λ 4 {\displaystyle B_{\lambda }(T)={\frac {2ckT}{\lambda ^{4}}}} .

За излъчване с голяма дължина на вълната резултатите, предсказани от това уравнение, съответстват добре на практическите резултати, получени в лаборатория. За късите дължини на вълната обаче (ултравиолетовата светлина) разликата между теорията и практиката била толкова голяма, че си спечелила прозвището "ултравиолетовата катастрофа".

Закон на Планк

през 1895 г. Виена публикува резултатите от изследванията си върху излъчването от черно тяло. Неговата формула е:

B λ ( T ) = 2 h c 2 λ 5 e - h c λ k T {\displaystyle B_{\lambda }(T)={\frac {2hc^{2}}{\lambda ^{5}}}e^{-{\frac {hc}{\lambda kT}}}} .

Тази формула работи добре за електромагнитни лъчения с къси дължини на вълната, но не работи добре за дълги дължини на вълната.

През 1900 г. Макс Планк публикува резултатите от своите изследвания. Той се опитва да разработи израз за лъчението на черното тяло, изразено чрез дължината на вълната, като приема, че лъчението се състои от малки кванти, и след това проверява какво ще се случи, ако квантите станат безкрайно малки (това е стандартен математически подход). Изразът беше:

B λ ( T ) = 2 h c 2 λ 5 1 e h c λ k T - 1 {\displaystyle B_{\lambda }(T)={\frac {2hc^{2}}{\lambda ^{5}}}~{\frac {1}{e^{\frac {hc}{\lambda kT}}-1}}} .

Ако се позволи дължината на вълната на светлината да стане много голяма, може да се покаже, че зависимостите на Рали-Джийнс и на Планк са почти идентични.

Той изчислява h и k и установява, че

h = 6,55×10⁻²⁷ erg-sec.

k = 1,34×10⁻¹⁶ erg-deg^-1 .

Стойностите са близки до съвременните приети стойности, съответно 6,62606×10⁻³⁴ и 1,38065×10⁻¹⁶ . Законът на Планк се съгласува добре с експерименталните данни, но пълното му значение е оценено едва няколко години по-късно.

Квантова теория на светлината

Оказва се, че електроните се разместват чрез фотоелектричния ефект, ако светлината достигне прагова честота. Под нея от метала не могат да се отделят електрони. През 1905 г. Алберт Айнщайн публикува статия, в която обяснява този ефект. Айнщайн предлага, че светлинният лъч не е вълна, разпространяваща се в пространството, а по-скоро съвкупност от дискретни вълнови пакети (фотони), всеки от които има енергия. Айнщайн твърди, че ефектът се дължи на удар на фотон в електрон. Това доказва частичната природа на светлината.

Айнщайн също така открива, че електромагнитното излъчване с голяма дължина на вълната няма ефект. Според Айнщайн това се дължи на факта, че "частиците" нямат достатъчно енергия, за да смутят електроните.

Планк предполага, че енергията на всеки фотон е свързана с честотата на фотона чрез константата на Планк. Това може да се запише математически по следния начин:

E = h ν = h c λ {\displaystyle E=h\nu ={\frac {hc}{\lambda }}} .

През 1918 г. Планк получава Нобелова награда за заслугите си за развитието на физиката чрез откриването на енергийните кванти. През 1921 г. Айнщайн получава Нобелова награда за свързването на константата на Планк с фотоелектричния ефект.

Константата на Планк е от значение за много приложения. Някои от тях са изброени по-долу.

Моделът на Бор на атома

През 1913 г. Нилс Бор публикува модела на Бор за структурата на атома. Бор твърди, че ъгловият момент на електроните, които обикалят около ядрото, може да има само определени стойности. Тези стойности се определят от уравнението

L = n h 2 π {\displaystyle L=n{\frac {h}{2\pi }}}

където

L = ъглов момент, свързан с ниво.

n = цяло положително число.

h = константата на Планк.

Моделът на Бор на атома може да се използва за изчисляване на енергията на електроните на всяко ниво. Обикновено електроните запълват най-ниските състояния на атома. Ако атомът получи енергия, например от електрически ток, електроните ще бъдат възбудени в по-високо състояние. След това електроните ще паднат обратно в по-ниско състояние и ще загубят допълнителната си енергия, като отделят фотон. Тъй като енергийните нива имат специфични стойности, фотоните ще имат специфични енергийни нива. Светлината, излъчена по този начин, може да се раздели на различни цветове с помощта на призма. Всеки елемент има свой собствен модел. Моделът на неона е показан по-долу.

Принцип на неопределеност на Хайзенберг

През 1927 г. Вернер Хайзенберг публикува принципа на неопределеността. Принципът гласи, че не е възможно да се извърши измерване, без да се наруши измерваното нещо. Той също така поставя граница на минималното смущение, причинено от измерването.

В макроскопичния свят тези смущения имат много малко значение. Например, ако се измерва температурата на колба с течност, термометърът ще погълне малко количество енергия, докато се нагрява. Това ще доведе до малка грешка в крайното отчитане, но тя е малка и не е важна.

В квантовата механика нещата стоят по различен начин. Някои измервания се извършват чрез разглеждане на модела на разсеяните фотони. Един такъв пример е разсейването на Комптън. Ако се измерва както положението, така и импулсът на частица, принципът на неопределеността гласи, че има компромис между точността, с която се измерва импулсът, и точността, с която се измерва положението. Уравнението, което описва този компромис, е:

Δ x Δ p ⩾ h 4 π {\displaystyle \Delta x\,\Delta p\geqslant {\frac {h}{4\pi }}\qquad \qquad \qquad }

където

Δp = неопределеност на импулса.

Δx = неопределеност на позицията.

h = константата на Планк.

Цвят на светлоизлъчващите диоди

В електрическата верига, показана вдясно, падът на напрежение върху светодиода зависи от материала, от който е изработен светодиодът. При силициевите диоди този пад е 0,6 V. При светодиодите обаче той е между 1,8 V и 2,7 V. Тази информация позволява на потребителя да изчисли константата на Планк.

Енергията, необходима на един електрон да прескочи потенциалната бариера в материала на светодиода, се определя от

E = Q e V L {\displaystyle E=Q_{e}V_{L}\,}

където

Q_e е зарядът на един електрон.

V_L е падът на напрежение върху светодиода.

Когато електронът се разпадне отново, той излъчва един фотон светлина. Енергията на фотона се определя от същото уравнение, което се използва при фотоелектричния ефект. Ако тези уравнения се комбинират, дължината на светлинната вълна и напрежението са свързани по следния начин

λ = h c V L Q e {\displaystyle \lambda ={\frac {hc}{V_{L}Q_{e}}}},}

От тази зависимост може да се изчисли таблицата по-долу.

След откриването на h измерванията му са станали много по-добри. За първи път Планк посочва стойност на h от 6,55×10⁻²⁷ erg-sec. Тази стойност е в рамките на 5 % от сегашната стойност.

Към 3 март 2014 г. най-доброто измерване на h в единици SI е 6,62606957×10⁻³⁴ J-s. Еквивалентната стойност в единици за СГС е 6,62606957×10⁻²⁷ erg-sec. Относителната неопределеност на h е 4,4×10⁻⁸ .

Редуцираната константа на Планк (ħ) е стойност, която понякога се използва в квантовата механика. Тя се определя по следния начин

ℏ = h 2 π {\displaystyle \hbar ={\frac {h}{2\pi }}} .

В квантовата механика понякога се използват единици на Планк вместо SI. В тази система редуцираната константа на Планк има стойност 1, така че стойността на константата на Планк е 2π.

Сега константата на Планк може да се измерва с много висока точност. Това накара BIPM да обмисли нова дефиниция за килограма. Международният прототип килограм вече не се използва за определяне на килограма. Вместо това BIPM определя константата на Планк като точна стойност. Учените използват тази стойност и определенията за метър и секунда, за да определят килограма.

Стойност на теоретичната константа на Планк

Константата на Планк също може да бъде изведена математически:

h = μ 0 π 12 c 3 [ q 0 [ 0,9163 a 0 ] 2 ] 2 f 1 r 5 ⋅ s = 6,63 × 10 - 34 J ⋅ s {\displaystyle h={\frac {\mu _{0}\pi }{12c^{3}}}{[{q_{0}}{[0,9163a_{0}]}^{2}]^{2}}{f_{1r}}^{5}\cdot {s}=6,63\кратния 10^{-34}J\cdot s}

Тук μ 0 {\displaystyle \mu _{0}} е проницаемостта на свободното пространство, c {\displaystyle c} е скоростта на светлината, q 0 {\displaystyle q_{0}} е електрическият заряд на електрона, a 0 {\displaystyle a_{0}} е радиусът на Бор, а f 1 r {\displaystyle f_{1r}} е честотата на въртене на електрона във водороден атом ( f 1 r = 3.29 × 10 15 r e v / s ) {\displaystyle (f_{1r}=3,29\times 10^{15}rev/s)} . Когато тези стойности на константите се заместят с теоретичната константа на Планк, теоретичната стойност на константата на Планк е точно равна на експерименталната стойност.

 Елементарната формула за константата на Планк в зависимост от съотношението между масите на протоните и електроните, заряда на електрона, скоростта на светлината и проницаемостта на вакуума е изведена в. Тя се изразява по следния начин:

h = e 2 c ε 0 π 2 3 m p m e {\displaystyle h={\frac {e^{2}}{c\,\varepsilon _{0}}}{\sqrt {\pi \,{\sqrt {\frac {2}{3}}}}\,\,{\frac {m_{p}}{m_{e}}}}}}

където e {\displaystyle e} е елементарният заряд на електрона, m p {\displaystyle m_{p}} масата на протона, m e {\displaystyle m_{e}} масата на електрона, ε 0 {\displaystyle \varepsilon _{0}} проницаемостта на вакуума и c {\displaystyle c} скоростта на светлината.

• Двойственост вълна-частица