Момент на импулса (ъглов момент) – дефиниция, формула и видове

Ъгловият момент или ротационният момент (L) на обект, въртящ се около ос, е произведение от инерционния му момент и ъгловата му скорост:

L = I ω {\displaystyle L=I\omega }

където

I {\displaystyle I} е инерционният момент (съпротивление на ъглово ускорение или забавяне, равно на произведението от масата и квадрата на радиуса, измерен перпендикулярно на оста на въртене);

ω {\displaystyle \omega \ } е ъгловата скорост.

Обща дефиниция и векторна природа

Ъгловият момент е векторна величина — неговата посока се определя от правилото на дясната ръка: ако свивате пръстите на дясната ръка в посока на въртене, изпънатият палец показва посоката на вектора L. За една частица с вектор на позицията r и линеен импулс p = mv, ъгловият момент се дава от векторното произведение

L = r × p.

За система от частици или твърдо тяло с непрекъслено разпределение на масата общият ъглов момент е сумата (или интегралът) на индивидуалните вектори: L = Σ (r_i × p_i) или L = ∫ (r × v) dm. За твърдо тяло, което се върти около фиксирана ос и има подходяща симетрия, често важи опростената скаларна форма L = I ω (където I е моментът на инерция около тази ос).

Момент на инерция

Моментът на инерция I характеризира разпределението на масата спрямо оста на въртене. За дискретна система I = Σ m_i r_i^2, а за непрекъснато разпределение

I = ∫ r^2 dm.

Единицата на ъгловия момент в SI е kg·m^2/s. Моментът на инерция има единица kg·m^2, а ъгловата скорост — rad/s (следователно L има kg·m^2/s).

Връзка с въртящия момент (торк) и закон за запазване

Принципната връзка между въртящия момент (торк) τ и ъгловия момент е

τ = dL/dt.

Тоест външен момент променя ъгловия момент във времето. Ако сумарният външен въртящ момент върху система е нулев, тогава ъгловият момент е запазена величина (L = const). Това е принципът за запазване на ъгловия момент и обяснява явления като ускоряване на въртенето при приближаване на маса към оста (напр. фигурист, който събира ръце към тялото и се върти по-бързо).

Примери и наблюдения

• Въртящо се колело или махало — L насочен по оста на въртене; при външен момент колелото предизвиква прецесия (напр. гироскоп).
• Фигурист — при събиране на ръцете I намалява, следователно ω се увеличава, за да е запазен L.
• В микросвета: електронът има спин — квантово-механично свойство, близко по функция до ъглов момент, но квантувано.

Видове ъглов момент

В зависимост от контекста в литературата се разграничават няколко вида ъглов момент:

• Орбитален ъглов момент — произтича от движението на частица около дадена точка или ос (например орбиталното движение на планета около Слънцето или електрон около ядро в атом). Класически се описва като L = r × p.
• Спинов ъглов момент — вътрешно (интринзично) свойство на елементарните частици и субатомните обекти; в квантовата механика спинът е квантуван и не може да се опише напълно класически като въртене на твърдо тяло, но носи ъглов импулс и магнитен момент (напр. електронът има спин 1/2).
• Вибрационен (или вибрационно-свързан) ъглов момент — в молекулярната физика някои вибрационни модове (особено дегенерирани вибрации) носят ъглов момент; при взаимодействие с въртеливи движения може да възникне обмен между вибрационен и орбитален ъглов момент.

Забележки

В класическата механика ъгловият момент и моментът на инерция имат чисто геометрично-класически тълкувания. В квантовата механика ъгловият момент се представя чрез оператори с дискретни собствени стойности и специфични правила на сумиране (комутаторни отношения). В практиката често е полезно да се смята дали системата е симетрична около оста: при липса на симетрия L и ω може да не са паралелни и съответствието L = I ω да не е просто скаларно, а да изисква използване на матрица (тензор на инерцията).

Въпроси и отговори

В: Какво представлява ъгловият момент?

В: Как се изчислява ъгловият момент?

Въпрос: Кои са трите вида ъглов момент?

Търсене по буква