Хамилтонова механика – определение, хамилтониан, уравнения и приложения

Хамилтоновата механика е математически начин за разбиране на начина, по който нещо механично ще се държи. Тя е измислена през 1833 г. от ирландския математик Уилям Роуън Хамилтън.

Стойността на хамилтониана е общата енергия на описваното нещо. За затворена система тя е сумата от нейната кинетична и потенциална енергия. Ще има набор от диференциални уравнения, известни като уравненията на Хамилтън, които показват как нещото се променя във времето.

Хамилтонианите могат да се използват за описване на такива прости системи като скачаща топка, махало или осцилираща пружина, в които енергията се променя от кинетична в потенциална и обратно с течение на времето. Хамилтонианите могат да се използват и за изследване на орбитите на планетите и поведението на атомите, като се използват принципите на квантовата механика.

Какво представлява хамилтонианът и каноничните променливи

В общ вид хамилтонианът H е функция H(q, p, t) от каноничните координати q = (q1, q2, …, qn), техните канонични импулси p = (p1, p2, …, pn) и евентуално времето t. За много класически механични системи, особено за частици, той има формата

H(q,p) = p^2/(2m) + V(q),

където p^2/(2m) е кинетичната енергия, а V(q) — потенциалната. Каноничните променливи (q, p) описват точка в т.нар. фазово пространство, което е основното „сценично“ пространство за Хамилтоновата механика.

Уравненията на Хамилтън

Еволюцията на системата се дава от първо-породни диференциални уравнения, наречени уравнения на Хамилтън:

dq_i/dt = ∂H/∂p_i,

dp_i/dt = −∂H/∂q_i.

Оттук следва, че за едномерен класически частица със H = p^2/(2m) + V(q) получаваме dq/dt = p/m (скорост) и dp/dt = −dV/dq (сила), което е еквивалентно на втория закон на Нютон.

Симплектна структура и Поасонова скоба

Хамилтоновата механика има вградената симплектна геометрия: фазовото пространство е снабдено с симплектна форма, която гарантира запазване на обема в фазовото пространство (теорема на Лиувил). Функциите върху фазовото пространство се комбинират чрез Поасоновата скоба:

{f, g} = Σ_i (∂f/∂q_i ∂g/∂p_i − ∂f/∂p_i ∂g/∂q_i).

Времевата производна на произволна функция f(q,p,t) се дава от df/dt = {f, H} + ∂f/∂t. Това представяне прави очевидно, че симплектните трансформации и Поасоновите скоби играят ключова роля при откриването на консервативни количества и симетрии.

Отношение с Лагранжовата механика и Хамилтън–Якови уравнение

Хамилтоновата механика е тясно свързана с лагранжовата механика. Чрез леграндов трансформ (преобразуване от скоростите към импулсите) се преминава от лагранжиан L(q, q̇, t) към хамилтониан H(q, p, t). Друг важен инструмент е равнението на Хамилтън–Якови, което свързва динамиката с метода на характеристиките и има голямо значение както в класическата, така и в квантовата теория.

Примери и интуитивни илюстрации

• Хармоничен осцилатор: за маса m и пружина с константа k имаме H = p^2/(2m) + (1/2)k q^2. Решенията са периодични и енергията се обменя между кинетична и потенциална част.
• Махало: за малки ъгли системата може да се аппроксимира като хармоничен осцилатор; за големи ъгли уравненията са нелинейни и могат да дадат сложни (включително хаотични) движения.
• Н-телна система и небесна механика: Хамилтониановият подход е стандартен при изучаването на орбити в небесната механика и в задачите за много тела.

Интегируемост, хаос и числени методи

Някои системи са интегируеми — върху тях съществува достатъчно много консервативни количества, позволяващи решаването им чрез метода на действие-ъгъл (action–angle variables). Други системи показват хаотично поведение, където малки промени в началните условия водят до големи разлики в еволюцията. За числено интегриране на уравненията на Хамилтън се използват специални симплектни интегратори, които запазват симплектната структура и водят до по-добро дългосрочно поведение на числените решения.

Приложения

Хамилтоновата механика има широка употреба:

• в класическата механика и небесната механика за анализ на орбити и стабилност;
• в квантовата механика, където класическият хамилтониан се „квантова“ чрез замяна на импулса с оператор и се използва в уравнението на Шрьодингер (Ĥ е операторът за енергия);
• в статистическата механика и термодинамиката — хамилтонианът влиза в разпределенията и партиционните функции;
• в молекулярната динамика и симулациите на материали, където H определя еволюцията на атомите;
• в оптиката, електродинамиката, теорията на контрол и теоретичната физика като обща рамка за описване на динамични системи.

Кратка историческа бележка

Уилям Р. Хамилтън разработва своята теория в началото на XIX век, вдъхновен от аналогията между механиката и геометричната оптика. По-късно концепциите са разширени и формализирани чрез работите на многобройни математици и физици, което довежда до днешната богата теоритична и приложна структура, включително Хамилтоновия формализъм в квантовата теория и Хамилтоновата динамика в съвременната математическа физика.

Бележка: При системи с явна зависимост от времето H = H(q,p,t) енергията не е непременно консервативна; когато H не зависи явнo от t, общата енергия е запазена.

Въпроси и отговори

В: Какво представлява хамилтоновата механика?

В: Кой и кога е измислил хамилтоновата механика?

Въпрос: Каква е стойността на Хамилтоновия механик?

Въпрос: Какъв е хамилтонианът за затворена система?

В: Какво представляват уравненията на Хамилтън?

Въпрос: Кои са някои примери за прости системи, които могат да бъдат описани с помощта на хамилтоновата механика?

В: Какви други приложения има хамилтоновата механика?

Търсене по буква