Специална теория на относителността

Основи на специалната теория на относителността

Да предположим, че се движите към нещо, което се движи към вас. Ако измерите скоростта му, то ще изглежда, че се движи по-бързо, отколкото ако не се движехте. Сега предположете, че се отдалечавате от нещо, което се движи към вас. Ако отново измерите скоростта му, то ще изглежда, че се движи по-бавно. Това е идеята за "относителна скорост" - скоростта на обекта спрямо вас.

Преди Алберт Айнщайн учените се опитват да измерят "относителната скорост" на светлината. Те измерват скоростта на светлината на звездите, достигаща Земята. Очаквали са, че ако Земята се движи към дадена звезда, светлината от тази звезда би трябвало да изглежда по-бърза, отколкото ако Земята се отдалечава от нея. Те обаче забелязали, че независимо от това кой е правил експериментите, къде са правени и каква светлина от звезда е използвана, измерената скорост на светлината във вакуум винаги е била една и съща.

Айнщайн казва, че това се случва, защото има нещо неочаквано в дължината и продължителността, или колко дълго трае нещо. Той смята, че при движението на Земята в пространството всички измерими продължителности се променят съвсем леко. Всеки часовник, използван за измерване на продължителността, ще се обърка с точно толкова, колкото е необходимо, така че скоростта на светлината да остане същата. Представянето на "светлинен часовник" ни позволява да разберем по-добре този забележителен факт за случая на една светлинна вълна.

Също така Айнщайн е казал, че при движението на Земята в пространството всички измерими дължини се променят (все така леко). Всяко устройство за измерване на дължина ще даде дължина, отклонена с точно толкова, колкото е необходимо, за да остане скоростта на светлината същата.

Най-трудно е да се разбере, че събития, които изглеждат едновременни в една рамка, може да не са едновременни в друга. Това води до много ефекти, които не са лесни за възприемане или разбиране. Тъй като дължината на един обект е разстоянието от главата до опашката в един едновременен момент, следва, че ако двама наблюдатели не са съгласни кои събития са едновременни, това ще повлияе (понякога драматично) на техните измервания на дължината на обектите. Освен това, ако една линия от часовници изглежда синхронизирана за неподвижен наблюдател и изглежда несинхронизирана за същия наблюдател след ускоряване до определена скорост, то следва, че по време на ускорението часовниците са работили с различни скорости. Някои от тях може дори да са вървели назад. Този начин на разсъждение води до общата теория на относителността.

Други учени преди Айнщайн са писали, че светлината се движи с една и съща скорост, независимо от начина на наблюдение. Това, което прави теорията на Айнщайн толкова революционна, е, че според нея измерването на скоростта на светлината е постоянно по дефиниция, с други думи, това е природен закон. Това води до забележителните последици, че свързаните със скоростта измервания - дължина и продължителност - се променят, за да се съобразят с това.

Трансформациите на Лоренц

Математическите основи на специалната теория на относителността са трансформациите на Лоренц, които математически описват възгледите за пространството и времето на двама наблюдатели, които се движат един спрямо друг, но не изпитват ускорение.

За да определим трансформациите, използваме декартова координатна система, за да опишем математически времето и пространството на "събитията".

Всеки наблюдател може да опише дадено събитие като положение на нещо в пространството в определен момент, като използва координати (x,y,z,t).

Местоположението на събитието се определя в първите три координати (x,y,z) спрямо произволен център (0,0,0), така че (3,3,3) е диагонал, който се простира на 3 единици разстояние (например метри или мили) във всяка посока.

Времето на събитието се описва с четвъртата координата t спрямо произволна (0) точка във времето в някаква единица за време (например секунди, часове или години).

Нека има наблюдател К, който описва кога се случват събитията с координатата на времето t и който описва къде се случват събитията с пространствените координати x, y и z. Това е математическото определение на първия наблюдател, чиято "гледна точка" ще бъде нашата първа референция.

Нека уточним, че времето на дадено събитие е дадено: чрез времето, в което то е наблюдавано t_(observed) (да речем днес, в 12 часа), минус времето, което е било необходимо, за да достигне наблюдението до наблюдателя.

Това може да се изчисли като разстоянието от наблюдателя до събитието d_{(наблюдавано)} (да кажем, че събитието е на звезда, която е на 1 светлинна година от нас, така че на светлината й е необходима 1 година, за да достигне до наблюдателя), разделено на c - скоростта на светлината (няколко милиона мили в час), която определяме като еднаква за всички наблюдатели.

Това е вярно, защото разстоянието, разделено на скоростта, дава времето, необходимо за изминаване на това разстояние с тази скорост (например 30 мили, разделени на 10 мили в час: дава 3 часа, защото ако се движите с 10 мили в час в продължение на 3 часа, ще изминете 30 мили). Така получаваме:

t = d / c {\displaystyle t=d/c}

Това е математическо определяне на значението на всяко "време" за всеки наблюдател.

Сега, след като са въведени тези определения, нека има друг наблюдател K', който е

• се движи по оста x на K със скорост v,
• има пространствена координатна система от x' , y' и z' ,

където оста x' съвпада с оста x и с осите y' и z' - "винаги успоредна" на осите y и z.

Това означава, че когато K' дава местоположение като (3,1,2), x (което е 3 в този пример) е същото място, за което говори K, първият наблюдател, но 1 по оста y или 2 по оста z са само успоредни на някое място в координатната система на наблюдателя K', и

• където K и K' съвпадат при t = t' = 0

Това означава, че координатата (0,0,0,0,0) е едно и също събитие и за двамата наблюдатели.

С други думи, и двамата наблюдатели имат (поне) едно време и място, за които са съгласни, а именно място и време нула.

Тогава трансформациите на Лоренц са

t ′ = ( t - v x / c 2 ) / 1 - v 2 / c 2 {\displaystyle t'=(t-vx/c^{2})/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}

x ′ = ( x - v t ) / 1 - v 2 / c 2 {\displaystyle x'=(x-vt)/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}

y ′ = y {\displaystyle y'=y} и

z ′ = z {\displaystyle z'=z}.

Определете събитие с координати в пространство-времето (t,x,y,z) в система S и (t′,x′,y′,z′) в отправна рамка, движеща се със скорост v спрямо тази рамка, S′. Тогава трансформацията на Лоренц определя, че тези координати са свързани по следния начин: коефициентът на Лоренц е, а c е скоростта на светлината във вакуум, а скоростта v на S′ е успоредна на оста x. За по-голяма простота координатите y и z не се променят; трансформират се само координатите x и t. Тези трансформации на Лоренц образуват еднопараметрична група от линейни съпоставки, като този параметър се нарича скорост.

Решаването на горните четири уравнения за трансформация за непървичните координати дава обратната трансформация на Лоренц:

t = γ ( t ′ + v x ′ / c 2 ) x = γ ( x ′ + v t ′ ) y = y ′ z = z ′ . {\displaystyle {\begin{aligned}t&=\gamma (t'+vx'/c^{2})\\x&=\gamma (x'+vt')\\y&=y'\\z&=z'.\end{aligned}}}

Прилагането на тази обратна Лоренцова трансформация, за да съвпадне с Лоренцовата трансформация от първоначалната към първоначалната система, показва, че първоначалната рамка се движи със скоростта v′ = -v, измерена в първоначалната рамка.

Няма нищо специално в оста x. Трансформацията може да се приложи към осите y или z, или наистина във всяка посока, което може да се направи чрез посоки, успоредни на движението (които са изкривени от коефициента γ) и перпендикулярни; за подробности вижте статията "Трансформация на Лоренц".

Величина, която е инвариантна при трансформациите на Лоренц, е известна като скалар на Лоренц.

Записване на трансформацията на Лоренц и нейната обратна форма в термините на координатни разлики, където едно събитие има координати (x1, t1) и (x′1, t′1), друго събитие има координати (x2, t2) и (x′2, t′2), а разликите са дефинирани като

Изравнение 1: Δ x ′ = x 2 ′ - x 1 ′ , Δ t ′ = t 2 ′ - t 1 ′ . {\displaystyle \Delta x'=x'_{2}-x'_{1}\ , \Delta t'=t'_{2}-t'_{1}\ . }

Уравнение 2: Δ x = x 2 - x 1 , Δ t = t 2 - t 1 . {\displaystyle \Delta x=x_{2}-x_{1}\ , \ \ \Delta t=t_{2}-t_{1}\ . }

получаваме

Уравнение 3: Δ x ′ = γ ( Δ x - v Δ t ) , {\displaystyle \Delta x'=\gamma \ (\Delta x-v\,\Delta t)\ ,\ \ } Δ t ′ = γ ( Δ t - v Δ x / c 2 ) . {\displaystyle \Delta t'=\gamma \ \left(\Delta t-v\ \Delta x/c^{2}\right)\ . }

Уравнение 4: Δ x = γ ( Δ x ′ + v Δ t ′ ) , {\displaystyle \Delta x=\gamma \ (\Delta x'+v\,\Delta t')\ ,\ } Δ t = γ ( Δ t ′ + v Δ x ′ / c 2 ) . {\displaystyle \Delta t=\gamma \ \left(\Delta t'+v\ \Delta x'/c^{2}\right)\ . }

Ако вземем диференциалите вместо разликите, получаваме

Изравнение 5: d x ′ = γ ( d x - v d t ) , {\displaystyle dx'=\gamma \ (dx-v\,dt)\ ,\ \ } d t ′ = γ ( d t - v d x / c 2 ) . {\displaystyle dt'=\gamma \ \left(dt-v\ dx/c^{2}\right)\ . }

Изравнение 6: d x = γ ( d x ′ + v d t ′ ) , {\displaystyle dx=\gamma \ (dx'+v\,dt')\ ,\ } d t = γ ( d t ′ + v d x ′ / c 2 ) . {\displaystyle dt=\gamma \ \left(dt'+v\ dx'/c^{2}\right)\ . }

Маса, енергия и импулс

В специалната теория на относителността импулсът p {\displaystyle p} и общата енергия E {\displaystyle E} на даден обект като функция на неговата маса m {\displaystyle m} са

p = m v 1 - v 2 c 2 {\displaystyle p={\frac {mv}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}

и

E = m c 2 1 - v 2 c 2 {\displaystyle E={\frac {mc^{2}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}.

Често допускана грешка (също и в някои книги) е това уравнение да се пренапише, като се използва "релативистична маса" (по посока на движението) m r = m 1 - v 2 c 2 {\displaystyle m_{r}={\frac {m}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}} . Причината, поради която това е неправилно, е, че светлината например няма маса, но има енергия. Ако използваме тази формула, фотонът (частицата светлина) има маса, което според експериментите е неправилно.

В специалната теория на относителността масата, общата енергия и импулсът на даден обект са свързани с уравнението

E 2 = p 2 c 2 + m 2 c 4 {\displaystyle E^{2}=p^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}} .

За обект в покой p = 0 {\displaystyle p=0}, така че горното уравнение се опростява до E = m c 2 {\displaystyle E=mc^{2}}. . Следователно масивен обект в покой все още има енергия. Наричаме я енергия на покой и я обозначаваме с E 0 {\displaystyle E_{0}} :

E 0 = m c 2 {\displaystyle E_{0}=mc^{2}} .

История

Необходимостта от специална относителност възниква от уравненията на Максуел за електромагнетизма, публикувани през 1865 г. По-късно е установено, че те изискват електромагнитните вълни (като светлината) да се движат с постоянна скорост (т.е. скоростта на светлината).

За да бъдат уравненията на Джеймс Клерк Максуел съвместими както с астрономическите наблюдения^[1], така и с Нютоновата физика,^[2] Максуел предлага през 1877 г. светлината да се движи през етер, който се намира навсякъде във Вселената.

През 1887 г. известният експеримент на Майкелсън-Морли се опитва да открие "етерния вятър", предизвикан от движението на Земята. ^[3] Постоянните нулеви резултати от този експеримент озадачават физиците и поставят под въпрос теорията за етера.

През 1895 г. Лоренц и Фицджералд отбелязват, че нулевият резултат от експеримента на Майкелсън-Морли може да се обясни с етерния вятър, който свива експеримента по посока на движението на етера. Този ефект се нарича контракция на Лоренц и (без етера) е следствие от специалната теория на относителността.

През 1899 г. Лоренц публикува за първи път уравненията на Лоренц. Въпреки че те не са публикувани за първи път, за първи път са използвани като обяснение на нулевия резултат на Майкелсън-Морли, тъй като контракцията на Лоренц е резултат от тях.

През 1900 г. Поанкаре произнася известна реч, в която разглежда възможността за обяснение на експеримента на Майкелсън-Морли да е необходима "нова физика".

През 1904 г. Лоренц показва, че електрическото и магнитното поле могат да се модифицират едно в друго чрез трансформациите на Лоренц.

През 1905 г. Айнщайн публикува статията си, въвеждаща специалната теория на относителността, "За електродинамиката на движещите се тела", в Annalen der Physik. В тази статия той представя постулатите на относителността, извежда от тях трансформациите на Лоренц и (без да знае за статията на Лоренц от 1904 г.) показва как трансформациите на Лоренц влияят на електрическите и магнитните полета.

По-късно, през 1905 г., Айнщайн публикува друга статия, в която представя E = mc2.

През 1908 г. Макс Планк одобрява теорията на Айнщайн и я нарича "относителност". През същата година Херман Минковски изнася известната си реч "Пространство и време", в която показва, че относителността е самопоследователна, и доразвива теорията. Тези събития принуждават общността на физиците да възприеме относителността сериозно. След това относителността започва да се приема все повече и повече.

През 1912 г. Айнщайн и Лоренц са номинирани за Нобелова награда за физика заради пионерската им работа в областта на относителността. За съжаление относителността е толкова спорна тогава и остава спорна толкова дълго време, че Нобеловата награда никога не е присъдена за нея.

Експериментални потвърждения

• Експериментът на Майкелсън-Морли, който не успява да открие разлика в скоростта на светлината в зависимост от посоката на движение на светлината.
• Експеримент на Физо, при който показателят на пречупване на светлината в движеща се вода не може да бъде по-малък от 1. Наблюдаваните резултати се обясняват с релативисткото правило за събиране на скорости.
• Енергията и импулсът на светлината се подчиняват на уравнението E = p c {\displaystyle E=pc} . (В нютоновата физика се очаква това да бъде E = 1 2 p c {\displaystyle E={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}pc} .)
• Трансверзален доплеров ефект, при който светлината, излъчвана от бързо движещ се обект, се премества в червено поради забавяне на времето.
• Наличието на мюони, създадени в горните слоеве на атмосферата на повърхността на Земята. Проблемът е, че е необходимо много повече време, отколкото е периодът на полуразпад на мюоните, за да стигнат до повърхността на Земята дори при скорост, близка до тази на светлината. Тяхното присъствие може да се разглежда като дължащо се или на дилатация на времето (от наша гледна точка), или на свиване на дължината на разстоянието до земната повърхност (от гледна точка на мюоните).
• Ускорителите на частици не могат да бъдат конструирани без отчитане на релативистката физика.

Свързани страници

• Обща теория на относителността