Коефициент на Лоренц (γ): дефиниция, формула и релативистични ефекти
Коефициентът на Лоренц е коефициентът, с който се променят времето, дължината и масата на обект, движещ се със скорост, близка до скоростта на светлината (релативистични скорости).
Уравнението е:
γ = 1 1 - ( v c ) 2 {\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-({\frac {v}{c}})^{2}}}}} 
където v е скоростта на обекта, а c е скоростта на светлината. Величината (v/c) често се обозначава с β {\displaystyle \beta } 
(бета) и така горното уравнение може да се пренапише:
Формула с β
γ = 1 / √(1 − β²), където β = v / c. Това е равносилно на формулата по-горе, просто използва по-краткия символ β за отношението на скоростта към скоростта на светлината.
Физически значение и основни ефекти
- Удължаване на времето (time dilation): Времеви интервал Δt, измерен от наблюдател, за който движещият се часовник се движи със скорост v, е Δt = γ · Δτ, където Δτ е собственото (правилното) време на часовника. Това означава, че движещите се часовници „тик такат“ по-бавно спрямо покойния наблюдател.
- Съкъсване на дължината (length contraction): Дължината L на обект, измерена от наблюдател, спрямо който обектът се движи със скорост v, е L = L0 / γ, където L0 е дължината в покой (в собствената система на обекта).
- Релативистична (общо използвана) маса и инвариантна маса: По традиция се среща изразът m = γ m0 (понякога наричан „релационистична маса“). Съвременната практика предпочита да се използва инвариантната (покойна) маса m0 и γ да стои явно в изразите за импулс и енергия (виж по-долу).
Импулс и енергия
- Релативистичен импулс: p = γ m0 v.
- Обща енергия: E = γ m0 c². Това включва покойната енергия E0 = m0 c² и кинетичната енергия.
- Кинетична енергия: KE = (γ − 1) m0 c².
Поведение при различни скорости
За малки скорости (v << c, β ≪ 1) γ ≈ 1 + 1/2 β² + 3/8 β⁴ + ... — първият поправъчен член е (1/2)β², което дава малка корекция спрямо класичната механика.
При скорости, близки до c, γ расте бързо и при v → c числото γ → ∞. Това означава, че за да се доближи материален обект до скоростта на светлината, е необходимо безкрайно голямо количество енергия.
Няколко числови примера:
- v = 0.6 c → γ ≈ 1.25
- v = 0.8 c → γ ≈ 1.667
- v = 0.99 c → γ ≈ 7.09
Ограничения и домейн
Коефициентът на Лоренц е дефиниран за |v| < c. За частици със скорост по-голяма или равна на c (което е забранено за масивни частици според специалната теория на относителността) γ става ненормален (реално неопределен или комплексен). Масивните частици винаги имат v < c; безмасовите частици (например фотони) се движат със c и нямат определена собствена маса m0 = 0.
Приложения и експериментални потвърждения
- Удължаване на живота на мюоните: Космическите лъчи създават мюони високо в атмосферата; безрелятивистично те биха загинали преди да достигнат земната повърхност, но поради γ техният среден живот в земната система се увеличава и много от тях стигат до детекторите.
- Частични ускорители и синхротрони: За ускоряване на протони и електрони е нужно да се вземат предвид релативистичните зависимости E = γ m c² и p = γ m v.
- GPS системи: Корекциите за релативистично забавяне на часовниците (специална и обща теория на относителността) са необходими за точна работа на глобалната позиционираща система.
Алтернативни представяния
Параметърът на бързината (rapidity) φ дава удобна форма: β = tanh φ и γ = cosh φ. Тази параметризация улеснява смесването (композицията) на паралелни скорости и прави трансформациите адитивни по отношение на φ.
Кратко резюме
Коефициентът на Лоренц γ описва колко силно се проявяват релативистичните ефекти при движение със скорост v спрямо c. Той се използва във формулите за удължаване на времето, скъсяване на дължината, релативистичен импулс и енергия. При малки скорости γ ≈ 1 и класическата механика е добра приближение, докато при скорости, близки до c, γ нараства значително и релативистичните корекции стават решаващи.
Класическа относителност
Класическата теория на относителността е идеята, че ако хвърлите топка със скорост 50 мили в час, докато бягате със скорост 5 мили в час, топката ще се движи със скорост 55 мили в час. Разбира се, топката все още се отдалечава от вас със скорост 50 мили в час, така че ако някой ви попита, вие сте видели, че топката се движи с 50 мили в час. В същото време вашият приятел Рори е видял, че вие бягате със скорост 5 мили в час. Той би казал, че топката се е движела с 55 мили в час. И двамата сте прави, просто ви се е случило да се движите заедно с топката.
Скоростта на светлината, c, е 670 616 629 mph. Така че, ако сте в кола, която се движи с половината от скоростта на светлината (0,5 c), и включите фаровете, светлината се отдалечава от вас със скорост 1 c... или 1,5 c? В крайна сметка се оказва, че c е c, независимо от всичко. В следващия раздел е обяснено защо това не е c - 0,5c.
Разширение на времето
Когато часовникът е в движение, той тиктака по-бавно с малък коефициент γ {\displaystyle \gamma } 
. Известният парадокс на близнаците гласи, че ако има двама близнаци и близнак А остане на Земята, докато близнак Б пътува близо до c в продължение на няколко години, когато близнак Б се върне на Земята, той ще бъде с много години по-млад от близнак А (защото е преживял по-малко време). Например, ако близнак Б е заминал на 20 години и е пътувал със скорост .9c в продължение на 10 години, тогава, когато се върне на Земята, близнак Б ще бъде на 30 години (20 години + 10 години), а близнак А ще бъде почти на 43 години:
20 + ( 10 ∗ 1 1 - . 9 2 ) = 42,9416 {\displaystyle 20+(10*{\frac {1}{\sqrt {1-.9^{2}}}})=42,9416} 
Близнак Б изобщо няма да забележи, че времето се е забавило. За него, ако погледне през прозореца, ще изглежда, че Вселената се движи покрай него и следователно се забавя (не забравяйте, че за него той е в покой). Така че времето е относително.
Свиване на дължината
Когато се движат с релативистична скорост, нещата се скъсяват по посока на движението си. По време на пътуването си близнак В забелязва нещо странно във Вселената. Той забелязва, че тя се скъсява (свива се по посока на неговото движение). А коефициентът, с който нещата се скъсяват, е γ {\displaystyle \gamma } .
Релативистка маса
Релативистката маса също се увеличава. Това ги прави по-трудни за избутване. Така че към момента, в който достигнете 0,9999c, се нуждаете от много голяма сила, която да ви накара да се движите по-бързо. Това прави невъзможно нещо да достигне скоростта на светлината.
И все пак, ако пътувате малко по-бавно, например с 90% от скоростта на светлината, масата ви нараства само 2,3 пъти. Така че, макар да е невъзможно да се достигне скоростта на светлината, все пак е възможно да се доближите до нея - тоест, ако имате достатъчно гориво.
Въпроси и отговори
В: Какво представлява коефициентът на Лоренц?
О: Коефициентът на Лоренц е коефициент, с който се променят времето, дължината и масата на обект, движещ се с релативистична скорост (близка до скоростта на светлината).
В: На кого е кръстен?
О: Коефициентът на Лоренц е кръстен на холандския физик Хендрик Лоренц.
В: Кое уравнение описва коефициента на Лоренц?
О: Уравнението за коефициента на Лоренц е гама = 1/(sqrt(1-(v/c)^2)), където v е скоростта на обекта, а c е скоростта на светлината.
В: Какво представлява (v/c) в това уравнение?
О: В това уравнение (v/c) представлява бета (бета) или отношението между скоростта на обекта и скоростта на светлината.
В: Как можем да препишем това уравнение?
О: Можем да препишем това уравнение като гама = 1/(sqrt(1-beta^2)).
