Закон на Снел — пречупване на светлината: дефиниция, формула и примери

Разберете Закон на Снел: ясно обяснение на пречупване на светлината, формула, доказателство чрез принципа на Ферма и практични примери и изчисления.

Законът за пречупване на Снел е научен закон, описващ промяната на посоката на разпространение на светлината (или други вълни) когато те преминават през граница между две различни оптични среди. В оптиката законът свързва ъгъла на падане и ъгъла на пречупване със скоростта на светлината и с показателите на пречупване на двете среди. Когато светлинен лъч преминава например от въздух към стъкло, отношението на синусите на ъглите се запазва и може да се изрази по няколко еквивалентни начина:

sin θ 1 sin θ 2 = v 1 v 2 = n 2 n 1 {\displaystyle {\frac {\sin \theta _{1}}{\sin \theta _{2}}}={\frac {v_{1}}{v_{2}}}={\frac {n_{2}}{n_{1}}}}

Еквивалентна и широко използвана форма е:

• n1 · sin θ1 = n2 · sin θ2,

където индексите 1 и 2 означават първата (инцидентна) и втората (пречупваща) среда.

Обяснение на символите

В горните изрази:

• θ е ъгълът, измерен от нормалата към границата между двете среди (т.е. ъгълът между лъча и нормалата);
• v е скоростта на светлината в съответната среда (SI единици: метри в секунда, m/s);
• n е показателят на пречупване на средата, дефиниран като n = c / v, където c е скоростта на светлината във вакуум.

Индексът на пречупване на вакуума е 1, а скоростта на светлината във вакуум е приблизително c ≈ 3·10^8 m/s. Когато вълна премине през материал с показател на пречупване n, нейната скорост става c n, т.е. v = c / n.

Примери

Пример 1 — пречупване от въздух към стъкло:

• Приемаме n1 (въздух) ≈ 1.00 и n2 (стъкло) ≈ 1.50.
• Ако ъгълът на падане е θ1 = 30° (sin 30° = 0.5), то от уравнението n1 sin θ1 = n2 sin θ2 следва sin θ2 = (n1 / n2) sin θ1 = (1.00 / 1.50)·0.5 ≈ 0.3333, т.е. θ2 ≈ 19.47°.

Пример 2 — пречупване от стъкло към въздух и критичен ъгъл:

• Когато светлината преминава от по-плътна среда (по-голям n) към по-рядка (по-малък n), за големи ъгли на падане пречупеният лъч може да не съществува — настъпва пълно вътрешно отражение.
• Критичният ъгъл θc се определя от sin θc = n2 / n1 (където n1 > n2). За стъкло (n1 = 1.50) към въздух (n2 = 1.00) θc = arcsin(1/1.5) ≈ 41.8°. За ъгли на падане θ1 > θc се наблюдава пълно вътрешно отражение.

Кратко доказателство чрез принципа на Ферма

Законът на Снел може да се извлече от принципа на Ферма, според който светлината избира пътя, за който нужното време на преминаване е минимално. В общи линии доказателството се прави така:

• Опростете задачата в равнината: имате две точки, една в среда 1 и една в среда 2, отделени от равна граница.
• Времето за преминаване чрез точка на границата зависи от разстоянията в двете среди и от скоростите v1 и v2 (или съответно от n1 и n2).
• Запишете общото време като функция на позицията на пресечната точка, диференцирайте и приравнете производната на нула — това дава условие, което е еквивалентно на n1 sin θ1 = n2 sin θ2.

Допълнителни бележки и приложения

• Показателят на пречупване зависи от дължината на вълната (n = n(λ)) — това води до дисперсия и разлагане на бялата светлина (призма). Различните цветове имат различни n и следователно различни ъгли на пречупване.
• Законът на Снел е валиден за изотропни и хомогенни среди; в анизотропни или нелинейни среди поведението може да бъде по-сложно.
• Приложения: оптични лещи и системи, влакна за оптична комуникация (въз основа на пълно вътрешно отражение), призмени разлагания, микроскопия, корекция на отражения чрез покрития и др.

Заключение: Законът на Снел е основен инструмент в оптиката — свързва геометрията на лъчите с материалните свойства на средите чрез показателя на пречупване и дава количествен начин за изчисляване на посоката на пречупване и условията за пълно вътрешно отражение.

Въпроси и отговори

В: Какво представлява законът за пречупване на Снел?

Въпрос: Как може да се докаже законът на Снел?

В: Какво представлява принципът на Ферма?

В: Какво представляват n и v в закона на Снел?

В: Какво представлява c в закона на Снел?

В: Как се изчислява скоростта, когато вълната преминава през материал с индекс на пречупване n?

Търсене по буква