Светлинният часовник

Светлинният часовник е прост начин за демонстриране на основна характеристика на специалната теория на относителността. Часовникът е проектиран да работи, като отразява светкавица от далечно огледало и използва връщането ѝ, за да предизвика друга светкавица, като междувременно отчита колко светкавици са се появили по пътя. Лесно е да се покаже, че хората на Земята, които наблюдават космически кораб, прелитащ над тях с такъв часовник, ще видят, че той тиктака сравнително бавно. Този ефект се нарича забавяне навремето.

Преди да разгледаме светлинния часовник, разгледайте друг вид относителност. Представете си, че някой дриблира с баскетболна топка в багажното отделение на голям товарен самолет. Баскетболистът се движи в същата посока, в която се движи и реактивният самолет. Другите хора в самолета виждат, че баскетболистът се движи с метър или два, докато прави дрибъл. Между момента, в който топката отскача за първи път, и момента, в който тя отскача за втори път, е изминала около една секунда. Но при първото отскачане баскетболната топка се е намирала над Гибралтар, а при второто отскачане баскетболната топка е била над водата по-близо до Испания. Така че баскетболната топка се е преместила на 280 метра спрямо Земята.

Сега разгледайте донякъде подобен въпрос за относителното движение. Този път ще разгледаме какво виждат хората, които гледат звездите от Северния полюс, когато над тях прелита много бърз космически кораб. Можем да използваме алгебрата и Питагоровата теорема, за да изчислим с колко се забавя времето на космическия кораб. Единственото друго нещо, от което се нуждаем, е уравнението, което свързва разстоянието, d, скоростта на движение, r, и времето, t. Уравнението е:

d = rt

Скоростта на светлината е постоянна, така че ще приложим тази стойност към две задачи. Ще наречем скоростта на светлината c, тъй като това е буквата, с която учените обикновено я назовават.

Часовникът се изработва, като в долната част на дълъг стълб се поставя светлинен източник, на върха на стълба - огледало, а в долната част на стълба - електронен детектор на светлина. Часовникът се стартира чрез кратко затваряне на превключвател, който изпраща едно мигване на светлината от долната част на стълба към горната част на стълба, където тя се отразява обратно в долната част на стълба. Когато светлинният детектор в долната част на стълба види мига на светлината, той прави две неща. Добавя единица към брояча, който е прикрепен към него, и изстрелва още едно светлинно помръдване към огледалото. Когато този светлинен миг се върне в долната част, броячът се променя на две и се задейства друг светлинен миг. Тъй като светлината се движи много бързо (300 000 км/сек), за всяка секунда, измерена с обикновен часовник, светлинният часовник ще "тиктака" много голям брой пъти.

За да улесним математиката, ще кажем, че полюсът е дълъг половин километър. Така че, ако стоим до светлинния часовник, който е построен до големия телескоп на Северния полюс, ще видим, че светлината изминава един километър за всяко "тикване" на светлинния часовник. Тъй като изминатото разстояние, d, е равно на скоростта, умножена по времето, а съответната скорост е c, получаваме уравнението:

d = ct

и можем да решим това уравнение за t, за да разберем колко време в секунди е всеки "тик".

1 км = 300 000 км/секунда * t секунди

t секунди = 1 км/300 000 (км/секунда) = 1/300 000 секунди = 0,00000333...3 секунди

С други думи, всеки "тик" на светлинния часовник ще отнема 0,00000333... 3 секунди.

Ако космически кораб летеше по права линия над Северния полюс с голяма част от скоростта на светлината и имаше подобен часовник, хората, които наблюдаваха преминаването му, щяха да видят, че огледалото на върха на полюса се е преместило точно над излъчващата светлина, така че светлината щеше да се движи по линията, отбелязана с h на диаграмата, и след това щеше да следва другата хипотенуза обратно надолу към основата на полюса - който вече щеше да се е преместил на известно разстояние, тъй като космическият кораб се движи толкова бързо. Можем да изчислим колко време ще отнеме един тик според хората на Земята. Знаем, че полюсът на космическия кораб е с дължина а, тъй като това е същият вид часовник, който хората използват на Северния полюс. Искаме да разберем t' , времето, което е необходимо, за да се направи едно тиктакане на часовника на космическия кораб.

Знаем, че космическият кораб ще се движи с 1/2 r t', докато светлинният миг се насочва нагоре към огледалото, и с още 1/2 r t', докато светлинният миг се насочва надолу към основата на стълба. Това изчисление ни дава дължината на линията b в диаграмата. Знаем a, така че можем да изчислим h чрез Питагоровата теорема:

h = √(a2 + (rt' /2)²)

Така че общото разстояние, което изминава светлината, е 2 h или d = 2 √(a2 + (rt' /2)²)

Знаем също, че скоростта на светлината, c, е постоянна. Без значение кой я измерва, тя се оказва една и съща скорост. Така че можем да използваме този факт, за да получим друг начин да изчислим колко време е необходимо на светкавицата да премине от основата до върха на полюса и обратно:

t' = d/c

С други думи, d = c t' .

Така че можем да напишем

c t' = 2 √(a2 + (rt' /2)²)

или

1/2 c t' = √(a2 + (rt' /2)²)

За да решим горното уравнение, ще трябва да:

1. Квадрат от двете страни
2. Разделете двете страни на t' ²
3. Умножете двете страни по 4
4. Разделете двете страни на c2
5. Опростяване на c2 / c2
6. Извадете r2/c2 от двете страни
7. Вземете корен квадратен от двете страни
8. Умножете двете страни по t'
9. Разделете двете страни на √(1-r2/c2)

Решавайки горното уравнение, намираме, че:

t' = 2a/(c√(1-r2/c2)

Времето между тиковете на часовника на Северния полюс е 2a/c, така че можем да напишем:

t' = t/√(1-r2/c2)

Ако t = 1 секунда, то ако космическият кораб се движи със скорост, равна на половината от скоростта на светлината, t' = 1,1547 секунди.

Експериментирайте с различни скорости на движение на адрес: http://www.1728.org/reltivty.htm

Въпроси и отговори

В: Какво представлява светлинният часовник?

Въпрос: Какво представлява разширението на времето?

Въпрос: Как можем да изчислим с колко се забавя времето на космическия кораб?

Въпрос: Как работи светлинният часовник?

Въпрос: Какво уравнение ни е необходимо за това изчисление?

Въпрос: Какво общо има Питагоровата теорема с това изчисление?

Търсене по буква