Фрактал

Примери

Съществуват много видове фрактали, направени по най-различни начини. Пример за това е триъгълникът на Сиерпински, в който има безкраен брой малки триъгълници вътре в големия. Друг пример е множеството на Манделброт, наречено на името на Беноа Манделброт. Триъгълникът на Сиерпински се конструира с помощта на шаблони, но множеството на Манделброт се основава на уравнение.

В природата също има много естествени примери за фрактали, включително дървета, снежинки, някои зеленчуци и брегови линии.

Кривата на Кох

Кривата на Кох е прост пример за фрактал. Първо, започнете с част от права линия - наречена сегмент от права линия. Разрежете линията на 3 еднакви по големина части. Отървете се от средата на тези парчета и поставете горната част на триъгълник със страни, които са със същата дължина като изрязаното парче. Сега имаме 4 отсечки, които се допират в краищата си. Сега можем да направим това, което току-що направихме с първата отсечка, с всяко от 4-те парчета. Сега можем да направим същото нещо отново и отново с всички бита, които ще получим. Сега правим това до безкрай и гледаме какво ще получим.

Дължината на кривата на Кох е безкрайност, а площта на кривата на Кох е нула. Това е доста странно. Една отсечка от линия (с размерност 1) може да има дължина 1, но площта ѝ да е 0. Квадрат с дължина 1 и ширина 1 (с размерност 2) ще има площ 1 и дължина безкрайност.

Измерение на сходство

Така че кривата на Кох изглежда по-голяма от нещо с измерение 1 и по-малка от нещо с измерение 2. Идеята на измерението на подобието е да се даде измерение, което дава по-добра представа за дължината или площта на фракталите. Така че за кривата на Кох искаме измерение между 1 и 2.

Кривата на Кох може да бъде разделена на четири части, всяка от които е 1 3 {\displaystyle {\frac {1}{3}}} от размера на оригинала. Наричаме броя на парчетата, на които може да бъде разрязан един фрактал, N {\displaystyle N} , а разликата в размерите наричаме B {\displaystyle B} . Поставяме ги в уравнението:

log N - log B {\displaystyle {\frac {\log N}{-\log B}}

Където log {\displaystyle \log } е логаритъмът на дадено число. Това число е Хаусдорфовото измерение на фрактала. В кривата на Кох това е log 4 - log 1 3 = 1,2619... {\displaystyle {\frac {\log 4}{-\log {\frac {1}{3}}}}=1.2619... } както искахме.

Кривата на Кох е една от най-простите фрактални фигури и затова е лесно да се определи нейното измерение. Размерът на подобието и размерът на Хаусдорф са едни и същи. Това не е вярно за по-сложните фрактали.

Снежинка на Кох

Снежинката на Кох (или звездата на Кох) е същата като кривата на Кох, само че започва с равностранен триъгълник вместо с отсечка от линия.

Как се прави кривата на Кох

Използва

Фракталите имат многобройни приложения, например в биологията (бели дробове, бъбреци, променливост на сърдечния ритъм и др.), при земетресения, във финансите, където са свързани с т.нар. разпределения с тежка опашка, и във физиката. Това показва, че фракталите трябва да се изучават, за да се разбере защо фракталите се срещат толкова често в природата.

Някои фрактали съществуват само по художествени причини, но други са много полезни. Фракталите са много ефективни форми за радиоантени и се използват в компютърните чипове за ефективно свързване на всички компоненти. Също така бреговите линии могат да се разглеждат като фрактали.