Инжективна функция: дефиниция, свойства и примери

Инжективна функция — ясна дефиниция, ключови свойства и илюстративни примери. Идеално обяснение за студенти, преподаватели и любители на математиката.

Автор: Leandro Alegsa

В математиката инжективна функция е функция f : A → B със следното свойство: за всеки елемент b в кодомената B има най-много един елемент a в областта A, такъв че f(a) = b. По друг начин дефинирано, f е инжективна точно когато за всички a1, a2 в A от равенството f(a1) = f(a2) следва a1 = a2.

Еквивалентни формулировки

  • f е инжективна ⇔ за всяка двойка различни елементи a1 ≠ a2 имаме f(a1) ≠ f(a2).
  • f е инжективна ⇔ образът на f (f(A)) съдържа всеки елемент на кодомената не повече от веднъж.
  • f е инжективна ⇔ съществува функция g: B → A такава, че g ∘ f = id_A (т.е. f има ляв обратен оператор). Обратното също е вярно: ако съществува такъв g, то f е инжективна.

Основни свойства

  • Състав (композиция): ако f: A → B и g: B → C са инжективни, то и g ∘ f е инжективна.
  • Ограничение: ако f е инжективна, то всяко ограничение на f към подмножество на A остава инжективно.
  • Взаимодействие с сюрджективност: ако A и B са крайни множества и |A| = |B|, то инжективност ⇔ сюрджективност ⇔ биективност.
  • Обратно (инверсия) — ако разглеждаме f като функция към нейния образ f(A) ⊆ B, то f: A → f(A) е биективна и има истинска обратна функция f^{-1}: f(A) → A.

Тестове и примери

  • Горизонтален тест (за реални функции): функция f: ℝ → ℝ е инжективна точно когато всяка хоризонтална права пресича графиката не повече от един път (обратно на вертикалния тест за функция).
  • Числени примери:
    • f(x) = 2x за x ∈ ℤ е инжективна — различни аргументи дават различни стойности.
    • f(x) = x^3 за x ∈ ℝ е инжективна (растяща функция).
    • f(x) = x^2 за x ∈ ℝ не е инжективна, защото f(1) = f(-1); но ако домейнът се ограничи до [0, ∞), тогава става инжективна.
    • Пермутациите на крайно множество са примери за биекции (следователно и инжекции).

Отношение със сюрджекция и биекция

Терминът "инжекция" често се нарича и "one-to-one" или "1-1". Важно е да се отбележи, че изразът "one-to-one correspondence" (на български "съответствие 1-1") обикновено означава биективна функция — тоест функция, която е едновременно инжективна и сурджективна. Поради тази двусмисленост е добре да уточнявате дали става дума само за инжективност (one-to-one) или за съответствие/биекция (one-to-one correspondence).

Полезни заключения и бележки

  • За крайни множества: ако |A| > |B|, тогава не съществува инжективна функция A → B (по принципа на галпшплатите).
  • Инжективните функции запазват различието: когато прехвърляме елементи чрез инжекция, никой два различни елемента от A не се сливат в един и същи елемент от B.
  • В много приложения (алгебра, теория на множествата, анализ) инжективността гарантира, че операцията или преобразуването могат да бъдат "обърнати" поне върху образа им.

Историческата бележка: термините "инжекция", "сурджекция" и "бижекция" са въведени от Никола Бурбаки — псевдоним на група математици — в началото на XX век при съставянето на модерна систематизация на математиката.

Основни свойства

Официално:

f : A → B {\displaystyle f:A\rightarrow B}{\displaystyle f:A\rightarrow B} е инжективна функция, ако ∀ a 1 , a 2 , ∈ A , a 1 ≠ a 2 ⇒ f ( a 1 ) ≠ f ( a 2 ) {\displaystyle \forall a_{1},\,a_{2},\в A,\,\,\,\,\,a_{1}\нек a_{2}\,\,\Права стрелка \,\,f(a_{1})\нек f(a_{2})}{\displaystyle \forall a_{1},\,a_{2},\in A,\,\,\,\,a_{1}\neq a_{2}\,\,\Rightarrow \,\,f(a_{1})\neq f(a_{2})} или еквивалентно

f : A → B {\displaystyle f:A\rightarrow B}{\displaystyle f:A\rightarrow B} е инжективна функция, ако ∀ a 1 , a 2 , ∈ A , f ( a 1 ) = f ( a 2 ) ⇒ a 1 = a 2 {\displaystyle \за всички a_{1},\,a_{2},\в A,\,\,\,\,\,f(a_{1})=f(a_{2})\,\,\права стрелка \,\,a_{1}=a_{2}} {\displaystyle \forall a_{1},\,a_{2},\in A,\,\,\,\,f(a_{1})=f(a_{2})\,\,\Rightarrow \,\,a_{1}=a_{2}}

Елементът a {\displaystyle a}a се нарича пред-образ на елемента b {\displaystyle b}{\displaystyle b} , ако f ( a ) = b {\displaystyle f(a)=b}{\displaystyle f(a)=b} . Впръскванията имат един или нито един пред-образ за всеки елемент b в B.

Кардиналност

Кардиналността е броят на елементите в дадено множество. Кардиналността на A={X,Y,Z,W} е 4. Записваме #A=4.

  • Ако кардиналността на кодомената е по-малка от кардиналността на домейна, функцията не може да бъде инжекция. (Например няма начин да съпоставим 6 елемента с 5 елемента без дублиране.)

Примери

Елементарни функции

Нека f(x):ℝ→ℝ е реално-оценъчна функция y=f(x) на реално-оценъчен аргумент x. (Това означава, че и входът, и изходът са реални числа.)

  • Графично значение: Функцията f е инжекция, ако всяка хоризонтална линия пресича графиката на f в най-много една точка.
  • Алгебрично значение: Функцията f е инжекция, ако f(xo )=f(x1 ) означава xo =x1 .

Пример: Линейната функция на наклонена линия е 1-1. Тоест y=ax+b, където a≠0 е инжекция. (Тя е също така и сурджекция и следователно биекция.)

Доказателство: Нека xo и x1 са реални числа. Да предположим, че линията съпоставя тези две стойности на x с една и съща стойност на y. Това означава, че a-xo +b=a-x1 +b. Извадете b от двете страни. Получаваме a-xo =a-x1 . Сега разделете двете страни на a (не забравяйте a≠0). Получаваме xo =x1 . Така доказахме формалното определение и функцията y=ax+b, където a≠0 е инжекция.

Пример: Полиномната функция от трета степен: f(x)=x3 е инжекция. Полиномната функция от трета степен: f(x)=x3 -3x обаче не е инжекция.

Дискусия 1: Всяка хоризонтална линия пресича графиката на

f(x)=x3 точно веднъж. (Също така, това е сурджекция.)

Дискусия 2. Всяка хоризонтална линия между y=-2 и y=2 пресича графиката в три точки, така че тази функция не е инжекция. (Въпреки това, тя е сурйекция.)

Пример: Квадратната функция f(x) = x2 не е инжекция.

Обсъждане: Всяка хоризонтална линия y=c, където c>0, пресича графиката в две точки. Така че тази функция не е инжекция. (Също така, тя не е сурджекция.)

Забележка: Неинжективна функция може да се превърне в инжективна функция, като се премахне част от областта. Наричаме това ограничаване на областта. Например, ограничете областта на f(x)=x² до неотрицателни числа (положителни числа и нула). Дефинирайте

f / [ 0 , + ∞ ) ( x ) : [ 0 , + ∞ ) → R {\displaystyle f_{/[0,+\infty )}(x):[0,+\infty )\rightarrow \mathbf {R} }{\displaystyle f_{/[0,+\infty )}(x):[0,+\infty )\rightarrow \mathbf {R} } където f / [ 0 , + ∞ ) ( x ) = x 2 {\displaystyle f_{/[0,+\infty )}(x)=x^{2}} {\displaystyle f_{/[0,+\infty )}(x)=x^{2}}

Тази функция вече е инжекция. (Вижте също ограничаване на функция.)

Пример: Експоненциалната функция f(x) = 10x е инжекция. (Тя обаче не е сурджекция.)

Обсъждане: Всяка хоризонтална линия пресича графиката в най-много една точка. Хоризонталните линии y=c, където c>0, я пресичат точно в една точка. Хоризонталните линии y=c, където c≤0, не пресичат графиката в нито една точка.

Забележка: Фактът, че експоненциалната функция е инжективна, може да се използва при изчисления.

a x 0 = a x 1 ⇒ x 0 = x 1 , a > 0 {\displaystyle a^{x_{0}}=a^{x_{1}}\,\,\Rightarrow \,\,x_{0}=x_{1},\,a>0} {\displaystyle a^{x_{0}}=a^{x_{1}}\,\,\Rightarrow \,\,x_{0}=x_{1},\,a>0}

Пример: 100 = 10 x - 3 ⇒ 2 = x - 3 ⇒ x = 5 {\displaystyle 100=10^{x-3}\,\,\Rightarrow \,\,2=x-3\,\,\Rightarrow \,\,x=5} {\displaystyle 100=10^{x-3}\,\,\Rightarrow \,\,2=x-3\,\,\Rightarrow \,\,x=5} 

Впръскване: нито една хоризонтална линия не пресича повече от една точка от графиката

Инжектиране. f(x):ℝ→ℝ (и суржектиране)

Инжектиране. f(x):ℝ→ℝ (и суржектиране)

Не е инжекция. f(x):ℝ→ℝ (е суржекция)

Не е инжекция. f(x):ℝ→ℝ (не е инжекция)

Инжектиране. f(x):ℝ→ℝ (не суржектиране)

Впръскване. f(x):(0,+∞)→ℝ (и впръскване)

Други примери

Пример: Логаритмичната функция с основа 10 f(x):(0,+∞)→ℝ, дефинирана чрез f(x)=log(x) или y=log10 (x), е инжекция (и сурджекция). (Това е обратната функция на 10x .)

Пример: Функцията f:ℕ→ℕ, която съпоставя всяко естествено число n с 2n, е инжекция. Всяко четно число има точно един преден образ. Всяко нечетно число няма предварителен образ.

Свързани страници

Въпроси и отговори

В: Какво е инжективна функция в математиката?


О: Инжективна функция е функция f: A → B със свойството, че отделни елементи от областта се съпоставят с отделни елементи от кодомената.

Въпрос: Какво е отношението между елементите в областта и кодомената на една инжективна функция?


О: За всеки елемент b в кодомената B има най-много един елемент a в областта A, такъв че f(a)=b.

В: Кой въвежда термините инжекция, сурджекция и биекция?


О: Никола Бурбаки и група други математици въвеждат термините инжекция, сурджекция и биекция.

В: Какво означава инжективна функция?


О: Инжективна функция означава, че всеки елемент от областта A се съотнася към уникален елемент от кодомената B.

В: По какво се различава инжективната функция от съответствието 1-1?


О: Инжективната функция често се нарича функция 1-1 (едно към едно), но се различава от съответствието 1-1, което е биективна функция (едновременно инжективна и сурджективна).

В: Какво е свойството на инжективната функция?


О: Свойството на една инжективна функция е, че отделни елементи от областта се пренасят към отделни елементи от кодомената.

В: Какво е значението на инжективните функции в математиката?


О: Инжективните функции играят важна роля в много математически области, включително топология, анализ и алгебра, поради свойството им да съпоставят отделни елементи от областта с отделни елементи от кодомената.


обискирам
AlegsaOnline.com - 2020 / 2025 - License CC3