Инжективна функция

Основни свойства

Официално:

f : A → B {\displaystyle f:A\rightarrow B} е инжективна функция, ако ∀ a 1 , a 2 , ∈ A , a 1 ≠ a 2 ⇒ f ( a 1 ) ≠ f ( a 2 ) {\displaystyle \forall a_{1},\,a_{2},\в A,\,\,\,\,\,a_{1}\нек a_{2}\,\,\Права стрелка \,\,f(a_{1})\нек f(a_{2})} или еквивалентно

f : A → B {\displaystyle f:A\rightarrow B} е инжективна функция, ако ∀ a 1 , a 2 , ∈ A , f ( a 1 ) = f ( a 2 ) ⇒ a 1 = a 2 {\displaystyle \за всички a_{1},\,a_{2},\в A,\,\,\,\,\,f(a_{1})=f(a_{2})\,\,\права стрелка \,\,a_{1}=a_{2}}

Елементът a {\displaystyle a} се нарича пред-образ на елемента b {\displaystyle b} , ако f ( a ) = b {\displaystyle f(a)=b} . Впръскванията имат един или нито един пред-образ за всеки елемент b в B.

Кардиналност

Кардиналността е броят на елементите в дадено множество. Кардиналността на A={X,Y,Z,W} е 4. Записваме #A=4.

• Ако кардиналността на кодомената е по-малка от кардиналността на домейна, функцията не може да бъде инжекция. (Например няма начин да съпоставим 6 елемента с 5 елемента без дублиране.)

Примери

Елементарни функции

Нека f(x):ℝ→ℝ е реално-оценъчна функция y=f(x) на реално-оценъчен аргумент x. (Това означава, че и входът, и изходът са реални числа.)

• Графично значение: Функцията f е инжекция, ако всяка хоризонтална линия пресича графиката на f в най-много една точка.
• Алгебрично значение: Функцията f е инжекция, ако f(x_o )=f(x₁ ) означава x_o =x₁ .

Пример: Линейната функция на наклонена линия е 1-1. Тоест y=ax+b, където a≠0 е инжекция. (Тя е също така и сурджекция и следователно биекция.)

Доказателство: Нека x_o и x₁ са реални числа. Да предположим, че линията съпоставя тези две стойности на x с една и съща стойност на y. Това означава, че a-x_o +b=a-x₁ +b. Извадете b от двете страни. Получаваме a-x_o =a-x₁ . Сега разделете двете страни на a (не забравяйте a≠0). Получаваме x_o =x₁ . Така доказахме формалното определение и функцията y=ax+b, където a≠0 е инжекция.

Пример: Полиномната функция от трета степен: f(x)=x³ е инжекция. Полиномната функция от трета степен: f(x)=x³ -3x обаче не е инжекция.

Дискусия 1: Всяка хоризонтална линия пресича графиката на

f(x)=x³ точно веднъж. (Също така, това е сурджекция.)

Дискусия 2. Всяка хоризонтална линия между y=-2 и y=2 пресича графиката в три точки, така че тази функция не е инжекция. (Въпреки това, тя е сурйекция.)

Пример: Квадратната функция f(x) = x² не е инжекция.

Обсъждане: Всяка хоризонтална линия y=c, където c>0, пресича графиката в две точки. Така че тази функция не е инжекция. (Също така, тя не е сурджекция.)

Забележка: Неинжективна функция може да се превърне в инжективна функция, като се премахне част от областта. Наричаме това ограничаване на областта. Например, ограничете областта на f(x)=x² до неотрицателни числа (положителни числа и нула). Дефинирайте

f / [ 0 , + ∞ ) ( x ) : [ 0 , + ∞ ) → R {\displaystyle f_{/[0,+\infty )}(x):[0,+\infty )\rightarrow \mathbf {R} } където f / [ 0 , + ∞ ) ( x ) = x 2 {\displaystyle f_{/[0,+\infty )}(x)=x^{2}}

Тази функция вече е инжекция. (Вижте също ограничаване на функция.)

Пример: Експоненциалната функция f(x) = 10^x е инжекция. (Тя обаче не е сурджекция.)

Обсъждане: Всяка хоризонтална линия пресича графиката в най-много една точка. Хоризонталните линии y=c, където c>0, я пресичат точно в една точка. Хоризонталните линии y=c, където c≤0, не пресичат графиката в нито една точка.

Забележка: Фактът, че експоненциалната функция е инжективна, може да се използва при изчисления.

a x 0 = a x 1 ⇒ x 0 = x 1 , a > 0 {\displaystyle a^{x_{0}}=a^{x_{1}}\,\,\Rightarrow \,\,x_{0}=x_{1},\,a>0}

Пример: 100 = 10 x - 3 ⇒ 2 = x - 3 ⇒ x = 5 {\displaystyle 100=10^{x-3}\,\,\Rightarrow \,\,2=x-3\,\,\Rightarrow \,\,x=5}  

Други примери

Пример: Логаритмичната функция с основа 10 f(x):(0,+∞)→ℝ, дефинирана чрез f(x)=log(x) или y=log₁₀ (x), е инжекция (и сурджекция). (Това е обратната функция на 10^x .)

Пример: Функцията f:ℕ→ℕ, която съпоставя всяко естествено число n с 2n, е инжекция. Всяко четно число има точно един преден образ. Всяко нечетно число няма предварителен образ.

Свързани страници

• Функция (математика)
• Сурйективна функция
• Биективна функция