В математиката сюрективна или онто функция е функция f : A → B със следното свойство: за всеки елемент b в кодомената B има поне един елемент a в областта A, такъв че f(a) = b. С други думи, обхватът (образът) на f е цялата кодомена: Im(f) = B. Понякново се използва и терминът "onto" (на български — "върху").

Етимология и бележка за термини

Терминът "сурджекция" (surjection) и свързаните с него термини "инжекция" и "биекция" са въведени от група математици, публикуващи под псевдонима Никола Бурбаки през 30-те години на XX век. Френският префикс sur означава "над" или "върху" и е избран, защото една сюрективна функция "пренася" областта си върху кодомената си.

Примери

  • f: R → R, f(x) = x^3 е сюрективна (за всеки реален b има реално a = ³√b с f(a)=b).
  • f: R → R, f(x) = x^2 не е сюрективна (например няма x с x^2 = −1). Но f е сюрективна към кодомената [0,∞), ако тази бъде приета за целево множество.
  • Натурален пример: проекцията π1: A × B → A, π1(a,b)=a е сюрективна (за всяко a ∈ A съществува b ∈ B с π1(a,b)=a).
  • Намаление по модул: функцията r: Z → Z_n, r(k) = k mod n, е сюрективна (всяко остатъчно клас има представител).
  • Константна функция c: A → B, c(a)=b0 е сюрективна само ако кодомената B съдържа точно един елемент (B={b0}).
  • За крайни множества: f: {1,2,3} → {a,b} с f(1)=a, f(2)=b, f(3)=b е сюрективна (образът покрива {a,b}), но не е инжективна.

Основни свойства

  • Еквивалентни критерии:
    • Im(f) = B.
    • За всяко b ∈ B множеството f^{-1}({b}) е непразно (има поне един прообраз).
    • Съществува функция g: B → A такава, че f ∘ g = id_B (т.е. f има дясна обратна функция/право-обратна).
  • Композиция:
    • Ако f: A → B и g: B → C са сюрективни, то g ∘ f е сюрективна.
    • Ако g ∘ f е сюрективна, то g е сюрективна (f не задължително е сюрективна).
  • За крайни множества A и B: ако f: A → B е сюрективна, тогава |A| ≥ |B|. Ако |A| = |B| и f е сюрективна, то f е и инжективна (и обратно), следователно биекция.
  • Сюрективността зависи от кодомената: една и съща формула може да бъде сюрективна към една кодомена, но не към друга (пример: x^2: R → [0,∞) е сюрективна; x^2: R → R не е).

Как да тестваме дали функция е сюрективна

  • Алгебричен подход: за произволен b ∈ B решете уравнението f(a)=b за a ∈ A. Ако за всеки b има решение — функцията е сюрективна.
  • За крайни множества: пребройте — ако за всеки елемент от B има поне един прообраз в A, или ако |A| < |B|, тя не може да е сюрективна.
  • За известни типове функции (полиноми, експоненти, тригонометрични и т.н.) използвайте познати свойства (образ на полиноми, непрекъснатост и граници за изображения на R и т.н.).

Обратни изображения и инверсии

Ако f е сюрективна, то има функция g: B → A с f ∘ g = id_B. Тази g не е уникална, освен в случаите когато f е и инжективна (тогава g е еднозначно определена и е обратна функция). Обръщането на изображения се използва често при работа с множествообрази: f^{-1}(S) = { a ∈ A | f(a) ∈ S } е непразно за всяко едноелементно множество S = {b} с b ∈ B, когато f е сюрективна.

Забележка за обозначения

Понякново се пише f: A ↠ B или се казва "f е onto B" вместо f: A → B, за да се подчертае сюрективността. Важно е винаги да се уточнява кодомената — тя определя дали дадена функция е сюрективна.

Кратко резюме: сюрективността означава, че функцията "покрива" цялата кодомена — всяка целева стойност има поне един прообраз. Това свойство е фундаментално при сравняване на видове функции (инжективни, сюрективни, биективни) и при изучаване на обратими трансформации и факторизации на функции.