Сюрекция

Основни свойства

Официално:

f : A → B {\displaystyle f:A\rightarrow B} е сюрйективна функция, ако ∀ b ∈ B ∃ a ∈ A {\displaystyle \за всички b\в B\,\,\съществува a\в A} такава, че f ( a ) = b . {\displaystyle f(a)=b\,. }

Елементът b {\displaystyle b} се нарича образ на елемента a {\displaystyle a} .

• Официалното определение означава: Всеки елемент от кодомената B е образ на поне един елемент от областта A.

Елементът a {\displaystyle a} се нарича пред-образ на елемента b {\displaystyle b} .

• Официалното определение означава: Всеки елемент на кодомената B има поне един преден образ в областта A.

Не е задължително предварителният образ да е уникален. В горното изображение и {X}, и {Y} са предварителни образи на елемента {1}. Важно е само да има поне един предварителен образ. (Вижте също: инжективна функция, биективна функция)

Примери

Елементарни функции

Нека f(x):ℝ→ℝ е реално-оценъчна функция y=f(x) на реално-оценъчен аргумент x. (Това означава, че и входът, и изходът са числа.)

• Графично значение: Функцията f е сурджекция, ако всяка хоризонтална линия пресича графиката на f поне в една точка.
• Аналитично значение: За всяко реално число y_o можем да намерим поне едно реално число x_o, такова, че y=f_o(x_o).

Пример: Линейната функция на наклонена линия е върху. Това означава, че y=ax+b, където a≠0 е сурджекция. (Тя е също така инжекция и следователно биекция.)

Доказателство: Тъй като a≠0, получаваме x= (y-b_oo)/_a. Това означава, че x=_o(y-b_o)/_a е пред-образ на y_o. Това доказва, че функцията y=ax+b, където a≠0 е сурджекция. (Тъй като има точно един пред-образ, тази функция също е инжекция.)

Практически пример: y= -2x+4. Какъв е пред-образът на y=2? Решение: Тук a= -2, т.е. a≠0 и въпросът е: За какво x е y=2? Заместваме y=2 във функцията. Получаваме x=1, т.е. y(1)=2. Така че отговорът е: x=1 е пред-образ на y=2.

Пример: Кубичният полином (от трета степен) f(x)=x-3x³ е сурджекция.

Обсъждане: Кубичното уравнение x-3x-y=0³_o има реални коефициенти (a=1₃, a=0₂, a=-3₁, a=-y_0o). Всяко такова кубично уравнение има поне един реален корен. Тъй като областта на полинома е ℝ, това означава, че в нея има поне един преден корен x_o. Това означава, че (x₀)³-3x-y=0_0o. Така че функцията е сурджекция. (Тази функция обаче не е инжекция. Например, y=2_o има два пред-образа: x=-1 и x=2. Всъщност всяко y, -2≤y≤2 има поне 2 предварителни образа.)

Пример: Квадратната функция f(x) = x² не е сурджекция. Няма x, което да е x ²= -1. Обхватът на x² е [0,+∞) , т.е. множеството на неотрицателните числа. (Също така тази функция не е инжекция.)

Бележка: Една не-сюрприективна функция може да се превърне в сюрприекция, като се ограничи нейната кодомайна до елементи от нейния обхват. Например новата функция f_N(x):ℝ → [0,+∞), където f_N(x) = x², е сурйективна функция. (Това не е същото като рестрикцията на функция, която ограничава областта!)

Пример: Експоненциалната функция f(x) = 10^x не е сурджекция. Обхватът на е 10^x(0,+∞), т.е. множеството на положителните числа. (Тази функция е инжекция.)

Други примери с функции с реална стойност

Пример: Логаритмичната функция с основа 10 f(x):(0,+∞)→ℝ, дефинирана чрез f(x)=log(x) или y=log₁₀(x), е сурджекция (и инжекция). (Това е обратната функция на 10^x.)

• Проекцията на едно декартово произведение A × B върху един от неговите фактори е суржекция.

Пример: Функцията f((x,y)):ℝ²→ℝ, дефинирана чрез z=y, е сурджекция. Графът ѝ е равнина в триизмерното пространство. Предварителният образ на z_o е линията y=z_o в равнината xy. 0

• В 3D игрите триизмерното пространство се прожектира върху двуизмерен екран с помощта на сурджекция.

Свързани страници

• Функция (математика)
• Инжективна функция
• Биективна функция