Биективна функция
В математиката биективна функция или биекция е функция f : A → B, която е едновременно инжекция и сурджекция. Това означава: за всеки елемент b в кодомената B има точно един елемент a в областта A, такъв че f(a)=b. Друго име на биекция е 1-1 съответствие.
Терминът биекция и свързаните с него термини сурекция и инжекция са въведени от Никола Бурбаки. През 30-те години на ХХ век той и група други математици публикуват поредица от книги по съвременна разширена математика.
Основни свойства
Официално:
f : A → B {\displaystyle f:A\rightarrow B} е биективна функция, ако ∀ b ∈ B {\displaystyle \forall b\in B} има уникално a ∈ A {\displaystyle a\in A} такова, че f ( a ) = b . {\displaystyle f(a)=b\,. }
Елементът b {\displaystyle b} се нарича образ на елемента a {\displaystyle a} .
- Формалното определение означава: Всеки елемент от кодомената B е образ на точно един елемент от областта A.
Елементът a {\displaystyle a} се нарича пред-образ на елемента b {\displaystyle b} .
- Формалното определение означава: Всеки елемент на кодомената B има точно един преден образ в областта A.
Забележка: Surjection означава минимум един предварителен образ. Впръскване означава максимум един предварителен образ. Така че биекция означава точно един предварителен образ.
Кардиналност
Кардиналността е броят на елементите в дадено множество. Кардиналността на A={X,Y,Z,W} е 4. Записваме #A=4.
- Определение: Две множества A и B имат еднакъв кардинален брой, ако между тях има биективност. Така че #A=#B означава, че има биекция от A към B.
Биекции и обратни функции
- Биекциите са обратими чрез обръщане на стрелките. Новата функция се нарича обратна функция.
Официално: Нека f : A → B е биекция. Инверсната функция g : B → A се дефинира по следния начин: ако f(a)=b, то g(b)=a. (Вижте също Обратна функция.)
- Обратната функция на обратната функция е оригиналната функция.
- Една функция има обратна функция тогава и само тогава, когато тя е биекция.
Забележка: Записът на обратната функция на f е объркващ. А именно,
f - 1 ( x ) {\displaystyle f^{-1}(x)} обозначава обратната функция на функцията f, но x - 1 = 1 x {\displaystyle x^{-1}={\frac {1}{x}}} обозначава реципрочната стойност на числото x.
Примери
Елементарни функции
Нека f(x):ℝ→ℝ е реално-оценъчна функция y=f(x) на реално-оценъчен аргумент x. (Това означава, че и входът, и изходът са числа.)
- Графично значение: Функцията f е биекция, ако всяка хоризонтална линия пресича графиката на f точно в една точка.
- Алгебрично значение: Функцията f е биекция, ако за всяко реално число yo можем да намерим поне едно реално число xo такова, че yo =f(xo ) и ако f(xo )=f(x1 ) означава xo =x1 .
Доказването на това, че дадена функция е биекция, означава да се докаже, че тя е едновременно сурйекция и инжекция. Затова формалните доказателства рядко са лесни. По-долу обсъждаме и не доказваме. (Вижте сурджекция и инжекция.)
Пример: Линейната функция на наклонена линия е биекция. Тоест y=ax+b, където a≠0 е биекция.
Обсъждане: Всяка хоризонтална линия пресича наклонена линия точно в една точка (за доказателство вижте сурджекция и инжекция). Изображение 1.
Пример: Полиномната функция от трета степен: f(x)=x3 е биективна. Изображение 2 и изображение 5 - тънка жълта крива. Обратната й функция е функцията на кубичния корен f(x)= ∛x и тя също е биекция f(x):ℝ→ℝ. Изображение 5: дебела зелена крива.
Пример: Квадратната функция f(x) = x2 не е биекция (от ℝ→ℝ). Изображение 3. Тя не е сурйекция. Тя не е инжекция. Въпреки това можем да ограничим и областта, и кодомената ѝ до множеството на неотрицателните числа (0,+∞), за да получим (обратима) биекция (вж. примерите по-долу).
Забележка: Последният пример показва това. За да определим дали една функция е биекция, трябва да знаем три неща:
- домейна
- функционалната машина
- кодомената
Пример: Да предположим, че нашата машина за функции е f(x)=x².
- Тази машина и домейн=ℝ и кодомейн=ℝ не е суржекция и не е инжекция. Въпреки това,
- тази същата машина и домейн=[0,+∞) и кодомейн=[0,+∞) е едновременно сурджекция и инжекция и следователно биекция.
Биекции и техните обратни стойности
Нека f(x):A→B, където A и B са подмножества на ℝ.
- Да предположим, че f не е биекция. За всяко x, в което производната на f съществува и не е нула, има околност на x, в която можем да ограничим областта и кодомената на f да бъдат бисекция.
- Графиките на инверсните функции са симетрични по отношение на линията y=x. (Вижте също Обратна функция.)
Пример: Квадратната функция, дефинирана върху ограничената област и кодомената [0,+∞)
f ( x ) : [ 0 , + ∞ ) → [ 0 , + ∞ ) {\displaystyle f(x):[0,+\infty )\,\,\rightarrow \,\,[0,+\infty )} дефинирана чрез f ( x ) = x 2 {\displaystyle f(x)=x^{2}}
е биекция. Изображение 6: тънка жълта крива.
Пример: Функцията квадратен корен, дефинирана върху ограничената област и кодомената [0,+∞)
f ( x ) : [ 0 , + ∞ ) → [ 0 , + ∞ ) {\displaystyle f(x):[0,+\infty )\,\,\rightarrow \,\,[0,+\infty )} дефинирана чрез f ( x ) = x {\displaystyle f(x)={\sqrt {x}}}
е биекцията, определена като обратна функция на квадратичната функция: x2 . Изображение 6: дебела зелена крива.
Пример: Експоненциалната функция, дефинирана върху областта ℝ и ограничената област (0,+∞)
f ( x ) : R → ( 0 , + ∞ ) {\displaystyle f(x):\mathbf {R} \,\,\rightarrow \,\,\,(0,+\infty )} дефинирана чрез f ( x ) = a x , a > 1 {\displaystyle f(x)=a^{x}\,,\,\,a>1}
е биекция. Изображение 4: тънка жълта крива (a=10).
Пример: Логаритмичната функция base a е дефинирана върху ограничената област (0,+∞) и кодомената ℝ
f ( x ) : ( 0 , + ∞ ) → R {\displaystyle f(x):(0,+\infty )\,\,\rightarrow \,\,\mathbf {R} } дефинирана чрез f ( x ) = log a x , a > 1 {\displaystyle f(x)=\log _{a}x\,,\,\,a>1}
е биенето, определено като обратна функция на експоненциалната функция: ax . Изображение 4: дебела зелена крива (a=10).
Биекция: всяка вертикална линия (в областта) и всяка хоризонтална линия (в кодомената) пресичат точно една точка от графиката. | ||
1. Биекция. Всички наклонени линии са биекции f(x):ℝ→ℝ. |
2. Биекция. f(x):ℝ→ℝ. f(x)=x³. |
3. Не е биекция. f(x):ℝ→ℝ. f(x)=x² не е сурекция. Не е инжекция. |
4. Биекции. f(x):ℝ→ (0,+∞). f(x)=10x (тънък жълт цвят) и обратната му функция f(x):(0,+∞)→ℝ. f(x)=log10 x (дебел зелен цвят). |
5. Биекции. f(x):ℝ→ℝ. f(x)=x³ (тънък жълт цвят) и обратната му функция f(x)=∛x (дебел зелен цвят). |
6. Биекции. f(x):[0,+∞)→[0,+∞). f(x)=x² (тънък жълт цвят) и обратната му функция f(x)=√x (дебел зелен цвят). |
Свързани страници
- Функция (математика)
- Сурйективна функция
- Инжективна функция
- Обратна функция
Въпроси и отговори
В: Какво е биективна функция?
О: Биективната функция, известна още като биекция, е математическа функция, която е едновременно инжекция и сурджекция.
В: Какво означава една функция да бъде инжекция?
О: Инжекция означава, че за всеки два елемента a и a' в областта A, ако f(a)=f(a'), то a=a'.
В: Какво означава една функция да бъде сурджекция?
О: Сюрприз означава, че за всеки елемент b в кодомената B има поне един елемент a в областта A, такъв че f(a)=b.
Въпрос: Кое е еквивалентното твърдение за биекция?
О: Еквивалентното твърдение за биекция е, че за всеки елемент b в кодомената B има точно един елемент a в областта A, такъв че f(a)=b.
Въпрос: Какво е другото име на биекция?
О: Биекцията е известна още като "съответствие 1-1" или "съответствие едно към едно".
В: Кой въвежда термините биекция, сурекция и инжекция?
О: Термините "биекция", "сурджекция" и "инжекция" са въведени от Никола Бурбаки и група други математици през 30-те години на миналия век.
В: Какво публикуват Бурбаки и други математици през 30-те години на ХХ век?
О: Бурбаки и други математици публикуват поредица от книги по съвременна напреднала математика.