Биекция (биективна функция): определение, свойства и примери

Официално:

f : A → B {\displaystyle f:A\rightarrow B} е биективна функция, ако ∀ b ∈ B {\displaystyle \forall b\in B} има уникално a ∈ A {\displaystyle a\in A} такова, че f ( a ) = b . {\displaystyle f(a)=b\,. }

Елементът b {\displaystyle b} се нарича образ на елемента a {\displaystyle a} .

• Формалното определение означава: Всеки елемент от кодомената B е образ на точно един елемент от областта A.

Елементът a {\displaystyle a} се нарича пред-образ на елемента b {\displaystyle b} .

• Формалното определение означава: Всеки елемент на кодомената B има точно един преден образ в областта A.

Забележка: Surjection означава минимум един предварителен образ. Впръскване означава максимум един предварителен образ. Така че биекция означава точно един предварителен образ.

Кардиналността е броят на елементите в дадено множество. Кардиналността на A={X,Y,Z,W} е 4. Записваме #A=4.

• Определение: Две множества A и B имат еднакъв кардинален брой, ако между тях има биективност. Така че #A=#B означава, че има биекция от A към B.

• Биекциите са обратими чрез обръщане на стрелките. Новата функция се нарича обратна функция.

Официално: Нека f : A → B е биекция. Инверсната функция g : B → A се дефинира по следния начин: ако f(a)=b, то g(b)=a. (Вижте също Обратна функция.)

• Обратната функция на обратната функция е оригиналната функция.
• Една функция има обратна функция тогава и само тогава, когато тя е биекция.

Забележка: Записът на обратната функция на f е объркващ. А именно,

  f - 1 ( x ) {\displaystyle f^{-1}(x)} обозначава обратната функция на функцията f, но x - 1 = 1 x {\displaystyle x^{-1}={\frac {1}{x}}} обозначава реципрочната стойност на числото x.

Елементарни функции

Нека f(x):ℝ→ℝ е реално-оценъчна функция y=f(x) на реално-оценъчен аргумент x. (Това означава, че и входът, и изходът са числа.)

• Графично значение: Функцията f е биекция, ако всяка хоризонтална линия пресича графиката на f точно в една точка.
• Алгебрично значение: Функцията f е биекция, ако за всяко реално число y_o можем да намерим поне едно реално число x_o такова, че y_o =f(x_o ) и ако f(x_o )=f(x₁ ) означава x_o =x₁ .

Пример: Линейната функция на наклонена линия е биекция. Тоест y=ax+b, където a≠0 е биекция.

Обсъждане: Всяка хоризонтална линия пресича наклонена линия точно в една точка (за доказателство вижте сурджекция и инжекция). Изображение 1.

Пример: Полиномната функция от трета степен: f(x)=x³ е биективна. Изображение 2 и изображение 5 - тънка жълта крива. Обратната й функция е функцията на кубичния корен f(x)= ∛x и тя също е биекция f(x):ℝ→ℝ. Изображение 5: дебела зелена крива.

Пример: Квадратната функция f(x) = x² не е биекция (от ℝ→ℝ). Изображение 3. Тя не е сурйекция. Тя не е инжекция. Въпреки това можем да ограничим и областта, и кодомената ѝ до множеството на неотрицателните числа (0,+∞), за да получим (обратима) биекция (вж. примерите по-долу).

• домейна
• функционалната машина
• кодомената

Пример: Да предположим, че нашата машина за функции е f(x)=x².

• Тази машина и домейн=ℝ и кодомейн=ℝ не е суржекция и не е инжекция. Въпреки това,
• тази същата машина и домейн=[0,+∞) и кодомейн=[0,+∞) е едновременно сурджекция и инжекция и следователно биекция.

Биекции и техните обратни стойности

Нека f(x):A→B, където A и B са подмножества на ℝ.

• Да предположим, че f не е биекция. За всяко x, в което производната на f съществува и не е нула, има околност на x, в която можем да ограничим областта и кодомената на f да бъдат бисекция.
• Графиките на инверсните функции са симетрични по отношение на линията y=x. (Вижте също Обратна функция.)

Пример: Квадратната функция, дефинирана върху ограничената област и кодомената [0,+∞)

f ( x ) : [ 0 , + ∞ ) → [ 0 , + ∞ ) {\displaystyle f(x):[0,+\infty )\,\,\rightarrow \,\,[0,+\infty )} дефинирана чрез f ( x ) = x 2 {\displaystyle f(x)=x^{2}}

е биекция. Изображение 6: тънка жълта крива.

Пример: Функцията квадратен корен, дефинирана върху ограничената област и кодомената [0,+∞)

f ( x ) : [ 0 , + ∞ ) → [ 0 , + ∞ ) {\displaystyle f(x):[0,+\infty )\,\,\rightarrow \,\,[0,+\infty )} дефинирана чрез f ( x ) = x {\displaystyle f(x)={\sqrt {x}}}

е биекцията, определена като обратна функция на квадратичната функция: x² . Изображение 6: дебела зелена крива.

f ( x ) : R → ( 0 , + ∞ ) {\displaystyle f(x):\mathbf {R} \,\,\rightarrow \,\,\,(0,+\infty )} дефинирана чрез f ( x ) = a x , a > 1 {\displaystyle f(x)=a^{x}\,,\,\,a>1}

е биекция. Изображение 4: тънка жълта крива (a=10).

Пример: Логаритмичната функция base a е дефинирана върху ограничената област (0,+∞) и кодомената ℝ

f ( x ) : ( 0 , + ∞ ) → R {\displaystyle f(x):(0,+\infty )\,\,\rightarrow \,\,\mathbf {R} } дефинирана чрез f ( x ) = log a x , a > 1 {\displaystyle f(x)=\log _{a}x\,,\,\,a>1}

е биенето, определено като обратна функция на експоненциалната функция: a^x . Изображение 4: дебела зелена крива (a=10).

• Функция (математика)
• Сурйективна функция
• Инжективна функция
• Обратна функция