Проблеми на Хилберт
През 1900 г. математикът Дейвид Хилбърт публикува списък с 23 нерешени математически задачи. Списъкът с проблеми се оказва много влиятелен. След смъртта на Хилберт в неговите трудове е открит още един проблем; днес той понякога е известен като 24-ия проблем на Хилберт. Този проблем се отнася до намирането на критерии, които да покажат, че решението на дадена задача е най-простото възможно.
От 23-те проблема три не бяха решени през 2012 г., три бяха твърде неясни, за да бъдат решени, а шест можеха да бъдат решени частично. Като се има предвид влиянието на проблемите, през 2000 г. Институтът по математика "Клей" формулира подобен списък, наречен "Проблеми на наградата на хилядолетието".
Резюме
Формулирането на някои проблеми е по-добро от това на други. От чисто формулираните задачи на Хилберт задачи 3, 7, 10, 11, 13, 14, 17, 19, 20 и 21 имат решение, което се приема с консенсус. От друга страна, задачи 1, 2, 5, 9, 15, 18+ , и 22 имат решение, което е частично прието, но съществува известно противоречие относно това дали то разрешава задачата.
Решението на задача 18, Кеплеровата хипотеза, използва доказателство с помощта на компютър. Това е спорно, тъй като човек не може да провери доказателството за разумно време.
Остават 16, 8 (хипотезата на Риман) и 12 нерешени. Според тази класификация 4, 16 и 23 са твърде неясни, за да бъдат описани като решени. Оттеглената 24 също би била в този клас. 6 се счита за проблем по-скоро във физиката, отколкото в математиката.
Таблица на проблемите
Двадесет и трите задачи на Хилберт са:
| Проблем | Кратко обяснение | Статус | Решена година |
| 1. | Хипотезата за континуума (т.е. няма множество, чието кардинално число да е строго между това на целите и това на реалните числа) | Доказано е, че е невъзможно да се докаже или опровергае в рамките на теорията на множествата на Зермело-Френкел със или без Аксиомата на избора (при условие че теорията на множествата на Зермело-Френкел със или без Аксиомата на избора е последователна, т.е. не съдържа две твърдения, едното от които да е отрицание на другото). Няма консенсус по въпроса дали това е решение на проблема. | 1963 |
| 2. | Докажете, че аксиомите на аритметиката са непротиворечиви. | Няма консенсус по въпроса дали резултатите на Гьодел и Гентцен дават решение на проблема, посочен от Хилберт. Втората теорема за непълнота на Гьодел, доказана през 1931 г., показва, че в рамките на самата аритметика не може да се извърши доказателство за нейната непротиворечивост. Доказателството за непротиворечивост на Гентцен (1936 г.) показва, че непротиворечивостта на аритметиката следва от доброто обосноваване на ординала ε0 . | 1936? |
| 3. | Дадени ли са два полиедъра с еднакъв обем и винаги ли е възможно първият да бъде разрязан на краен брой полиедрични части, които могат да бъдат сглобени отново, за да се получи вторият? | Решено. Резултат: не, доказано с помощта на инвариантите на Дън. | 1900 |
| 4. | Конструирайте всички метрики, в които линиите са геодезични. | Твърде неясно, за да се каже, че е разрешен или не. | - |
| 5. | Непрекъснатите групи автоматично ли са диференцирани групи? | Решено от Андрю Глийсън или Хидехико Ямабе, в зависимост от това как се тълкува първоначалното твърдение. Ако обаче то се разбира като еквивалент на хилбертово-смитовото предположение, то все още не е решено. | 1953? |
| 6. | Аксиоматизиране на цялата физика | Частично решен проблем. | - |
| 7. | Трансцендентално ли е a b за алгебрично a ≠ 0,1 и ирационално алгебрично b ? | Решено. Резултат: да, илюстрирано с теоремата на Гелфонд или теоремата на Гелфонд-Шнайдер. | 1934 |
| 8. | Хипотезата на Риман ("реалната част на всяка нетривиална нула на функцията на Риман дзета е ½") и други проблеми, свързани с простите числа, сред които предположението на Голдбах и предположението за двойното просто число | Неразрешено. | - |
| 9-ти | Намерете най-общия закон на теоремата за реципрочността във всяко алгебрично числово поле | Частично решен проблем. | - |
| 10. | Намерете алгоритъм за определяне на това дали дадено полиномно диофантово уравнение с целочислени коефициенти има целочислено решение. | Решено. Резултат: невъзможно, теоремата на Матиясевич предполага, че такъв алгоритъм не съществува. | 1970 |
| 11-ти | Решаване на квадратни форми с алгебрични числови коефициенти. | Частично решен. [] | - |
| 12-ти | Разширете теоремата на Кронекер-Вебер за абеловите разширения на рационалните числа до всяко базово числово поле. | Частично е решен от теорията на полето на класовете, въпреки че решението не е толкова ясно, колкото теоремата на Кронекер-Вебер. | - |
| 13-ти | Решаване на уравнения от 7-ма степен с помощта на непрекъснати функции с два параметъра. | Неразрешено. Проблемът е частично решен от Владимир Арнолд въз основа на работата на Андрей Колмогоров. | 1957 |
| 14-ти | Винаги ли пръстенът на инвариантите на алгебрична група, действаща върху полиномиален пръстен, е крайно генериран? | Решено. Резултат: не, контрапримерът е конструиран от Масайоши Нагата. | 1959 |
| 15-ти | Строга основа на Шубертовото изброимо смятане. | Частично решен. [] | - |
| 16-ти | Опишете относителните положения на овалите, които произлизат от реална алгебрична крива и са крайни цикли на полиномно векторно поле в равнината. | Неразрешено. | - |
| 17-ти | Изразяване на определена рационална функция като коефициент на суми на квадрати | Решено от Емил Артин и Чарлз Делзъл. Резултат: Установена е горна граница за броя на необходимите квадратни членове. Намирането на долна граница все още е отворен проблем. | 1927 |
| 18-ти | (а) Съществува ли полиедър, който допуска само анизоедрична плочка в три измерения? | (а) Решено. Резултат: "да" (от Карл Райнхард). | (а) 1928 г. |
| 19-ти | Винаги ли решенията на Лагранж са аналитични? | Решено. Резултат: да, доказано от Енио де Джорджи и, независимо и с помощта на различни методи, от Джон Форбс Наш. | 1957 |
| 20. | Имат ли решения всички вариационни задачи с определени гранични условия? | Решено. Значителна тема на изследване през целия 20-ти век, завършила с решения[] за нелинейния случай. | - |
| 21-ви | Доказателство за съществуването на линейни диференциални уравнения с предписана монодромична група | Решено. Резултат: Да или не, в зависимост от по-точните формулировки на проблема. [] | - |
| 22-ри | Унифициране на аналитични отношения чрез автоморфни функции | Решено. [] | - |
| 23-ти | По-нататъшно развитие на вариационното смятане | Неразрешено. | - |
Въпроси и отговори
В: Кой публикува списък с 23 нерешени математически задачи през 1900 г.?
О: През 1900 г. Дейвид Хилбърт публикува списък с 23 нерешени математически задачи.
Въпрос: 24-тата задача на Хилберт беше ли част от първоначалния списък?
О: Не, 24-ият проблем на Хилберт е намерен в писанията на Хилберт след смъртта му.
В: За какво се отнася 24-ата задача на Хилберт?
О: 24-ата задача на Хилберт е за намиране на критерии, които да покажат, че решението на дадена задача е най-простото възможно.
Въпрос: До 2012 г. решени ли са всички 23 проблема от списъка на Хилберт?
О: Не, три от 23-те задачи в списъка на Хилберт не са били решени през 2012 г.
Въпрос: Някой от проблемите в списъка на Хилберт беше ли твърде неясен, за да бъде решен?
О: Да, три от проблемите в списъка на Хилберт бяха твърде неясни, за да бъдат решени.
Въпрос: Колко от проблемите в списъка на Хилберт могат да бъдат частично решени?
О: Шест от проблемите в списъка на Хилберт могат да бъдат частично решени.
Въпрос: Дали Институтът по математика "Клей" е създал списък, подобен на списъка с проблеми на Хилберт?
О: Да, през 2000 г. Институтът по математика "Клей" създаде подобен списък, наречен "Проблеми на наградата на хилядолетието".
