Хилбертовите проблеми: 23 фундаментални нерешени задачи в математиката
Открийте историята и влиянието на 23-те Хилбертови задачи — нерешени математически загадки, решенията им, неясните случаи и значението на предполагаемия 24-ти проблем.
През 1900 г. математикът Дейвид Хилбърт публикува списък с 23 нерешени математически задачи. Списъкът с проблеми се оказва много влиятелен: той очертава посоки за изследване в математиката през XX век и стимулира развитието на множество области. След смъртта на Хилберт в неговите трудове е открит още един проблем; днес той понякога е известен като 24-ия проблем на Хилберт. Този проблем се отнася до намирането на критерии, които да покажат, че решението на дадена задача е най-простото възможно и до въпроси за сравнение и опростяване на доказателства.
От 23-те проблема голяма част са решени напълно или частично през XX и началото на XXI век, но някои остават нерешени или се оказват независими от тогавашните аксиоматични системи. Към началото на XXI век — и до днес — има задачи, които са получили окончателен отговор, задачи с частични резултати, както и такива, чиито формулировки се оказват неоднозначни и са подложени на преосмисляне. Като признаване на продължаващата роля на подобни списъци, през 2000 г. Институтът по математика "Клей" формулира нов набор от фундаментални въпроси — т.нар. "Проблеми на наградата на хилядолетието".
Защо списъкът е важен
Хилбертовите проблеми не са просто сборник от задачи — те представляват рамка, която насочва изследователските приоритети. Много от задачите довеждат до развитието на нови методи, теории и цели области — като алгебрична геометрия, теория на числата, функционален анализ, теория на доказателствата и математическата логика. Хилберт също така формулира амбицията да се даде твърда аксиоматична основа на математиката, идеал, който повлиява философските дебати в началото на XX век (например Хилбертовата програма).
Примери и текущ статус (избрано)
- Проблем 1 (хипотезата за континуума) — класическият въпрос за размера на множеството на реалните числа в сравнение с множеството на естествените числа. Резултатите на Гьодел и Кохен показват, че хипотезата е независима от стандартните аксиоми на теорията на множествата (ZF и ZFC): тя не може да бъде нито доказана, нито опровергана от тях при условие, че аксиомите са консистентни.
- Проблем 2 (конзистентността на аритметиката) — Хилберт поиска доказателство за консистентността на теоретичната аритметика чрез finitистични методи. Гьоделовите теореми за непълнота показаха ограниченията на такъв подход: система, достатъчно силна да формулира аритметика, не може да докаже своята собствена консистентност. Това не "решава" проблема в смисъла на положителен доказателствен резултат, но промени разбиранията за възможните отговори.
- Проблем 3 (декомпозиция на полиедри) — решен скоро след публикуването: Антон Дейн (Max Dehn) даде критерий за приравняване чрез парчета (decomposition) на изпъкнали тела в тримерното пространство.
- Проблем 10 (диофантови уравнения) — Андрей Матиасевич (заедно с резултати на Мартин Дейвис, Хилберт и Юриу Робинсън) показа, че общият въпрос за алгоритмичното определяне дали дадено диофантово уравнение има цяло решение е неразрешим. Това е фундаментален отрицателен отговор: няма алгоритъм, който да решава всички такива уравнения.
- Проблем 7 (трансцендентност на определени числа) — тук има значителен прогрес: теоремата на Гелфонд — Шнайдер и по-нататъшните резултати на Алан Бейкър дават много примери за трансцендентни числа и решават голяма част от въпросите, поставени от Хилберт, но не всички варианти са напълно изчерпани в обща форма.
- Проблем 8 (Риманова хипотеза) — остава нерешен и до днес и е един от най-известните открити въпроси в математиката. Положителното или отрицателното решение има дълбоки последствия за теорията на числата и разпределението на простите числа.
- Проблем 6 (аксиоматизация на физиката) — поставя задачата за строга математическа формулировка на законите на физиката. Въпросът е повече програмен и философски; докато отделни теории (като класическата механика, теория на вероятностите, квантовата механика) имат аксиоматични формулировки, общата цел за единна аксиоматизация на цялата физика остава открита и е предмет на активно изследване.
Отговори с неочаквани последици
Решенията и частичните решения на Хилбертовите проблеми често са довели до непредвидими открития. Например:
- Работата по втория проблем доведе до дълбоки резултати в математическата логика и до формулирането на Гьоделовите теореми за непълнота.
- Решението на десетия проблем (неразрешимост на общите диофантови уравнения) свърза теорията на числата с теория на изчислимостта и теория на автоматите.
- Много от проблемите, които на вид изглеждат конкретни, изискват създаване на нови теории и методи, които после се прилагат в съвсем други области.
За 24-ия проблем и за нееднозначността на някои формулировки
Откритият по-късно 24-ти проблем на Хилберт и някои от първоначално формулираните 23 задачи показват, че самата формулировка на въпроса понякога е ключова. Няколко от проблемите са били впоследствие определени като "твърде неясни" или прекалено широко формулирани — това изисква уточняване и модернизация на формулировките, за да може тяхното разрешение да бъде формален математически резултат.
Наследство
Хилбертовите проблеми остават символ на амбицията за систематично и логично подреждане на математическото знание. Те не само задават конкретни въпроси, но и предлагат модел за това как да се поставят важни и стимулиращи проблеми в науката. Днес много от идеите, породени от тези проблеми, продължават да влияят върху математическите изследвания и върху начина, по който се формулират и решават фундаментални въпроси.
Ако желаете, мога да добавя кратък списък с всички 23 проблема с кратка бележка за статуса на всеки (решен/частично решен/нерешен/незададено), или по-подробно описание на някои от най-важните от тях.
Резюме
Формулирането на някои проблеми е по-добро от това на други. От чисто формулираните задачи на Хилберт задачи 3, 7, 10, 11, 13, 14, 17, 19, 20 и 21 имат решение, което се приема с консенсус. От друга страна, задачи 1, 2, 5, 9, 15, 18+ , и 22 имат решение, което е частично прието, но съществува известно противоречие относно това дали то разрешава задачата.
Решението на задача 18, Кеплеровата хипотеза, използва доказателство с помощта на компютър. Това е спорно, тъй като човек не може да провери доказателството за разумно време.
Остават 16, 8 (хипотезата на Риман) и 12 нерешени. Според тази класификация 4, 16 и 23 са твърде неясни, за да бъдат описани като решени. Оттеглената 24 също би била в този клас. 6 се счита за проблем по-скоро във физиката, отколкото в математиката.
Таблица на проблемите
Двадесет и трите задачи на Хилберт са:
| Проблем | Кратко обяснение | Статус | Решена година |
| 1. | Хипотезата за континуума (т.е. няма множество, чието кардинално число да е строго между това на целите и това на реалните числа) | Доказано е, че е невъзможно да се докаже или опровергае в рамките на теорията на множествата на Зермело-Френкел със или без Аксиомата на избора (при условие че теорията на множествата на Зермело-Френкел със или без Аксиомата на избора е последователна, т.е. не съдържа две твърдения, едното от които да е отрицание на другото). Няма консенсус по въпроса дали това е решение на проблема. | 1963 |
| 2. | Докажете, че аксиомите на аритметиката са непротиворечиви. | Няма консенсус по въпроса дали резултатите на Гьодел и Гентцен дават решение на проблема, посочен от Хилберт. Втората теорема за непълнота на Гьодел, доказана през 1931 г., показва, че в рамките на самата аритметика не може да се извърши доказателство за нейната непротиворечивост. Доказателството за непротиворечивост на Гентцен (1936 г.) показва, че непротиворечивостта на аритметиката следва от доброто обосноваване на ординала ε0 . | 1936? |
| 3. | Дадени ли са два полиедъра с еднакъв обем и винаги ли е възможно първият да бъде разрязан на краен брой полиедрични части, които могат да бъдат сглобени отново, за да се получи вторият? | Решено. Резултат: не, доказано с помощта на инвариантите на Дън. | 1900 |
| 4. | Конструирайте всички метрики, в които линиите са геодезични. | Твърде неясно, за да се каже, че е разрешен или не. | - |
| 5. | Непрекъснатите групи автоматично ли са диференцирани групи? | Решено от Андрю Глийсън или Хидехико Ямабе, в зависимост от това как се тълкува първоначалното твърдение. Ако обаче то се разбира като еквивалент на хилбертово-смитовото предположение, то все още не е решено. | 1953? |
| 6. | Аксиоматизиране на цялата физика | Частично решен проблем. | - |
| 7. | Трансцендентално ли е a b за алгебрично a ≠ 0,1 и ирационално алгебрично b ? | Решено. Резултат: да, илюстрирано с теоремата на Гелфонд или теоремата на Гелфонд-Шнайдер. | 1934 |
| 8. | Хипотезата на Риман ("реалната част на всяка нетривиална нула на функцията на Риман дзета е ½") и други проблеми, свързани с простите числа, сред които предположението на Голдбах и предположението за двойното просто число | Неразрешено. | - |
| 9-ти | Намерете най-общия закон на теоремата за реципрочността във всяко алгебрично числово поле | Частично решен проблем. | - |
| 10. | Намерете алгоритъм за определяне на това дали дадено полиномно диофантово уравнение с целочислени коефициенти има целочислено решение. | Решено. Резултат: невъзможно, теоремата на Матиясевич предполага, че такъв алгоритъм не съществува. | 1970 |
| 11-ти | Решаване на квадратни форми с алгебрични числови коефициенти. | Частично решен. [] | - |
| 12-ти | Разширете теоремата на Кронекер-Вебер за абеловите разширения на рационалните числа до всяко базово числово поле. | Частично е решен от теорията на полето на класовете, въпреки че решението не е толкова ясно, колкото теоремата на Кронекер-Вебер. | - |
| 13-ти | Решаване на уравнения от 7-ма степен с помощта на непрекъснати функции с два параметъра. | Неразрешено. Проблемът е частично решен от Владимир Арнолд въз основа на работата на Андрей Колмогоров. | 1957 |
| 14-ти | Винаги ли пръстенът на инвариантите на алгебрична група, действаща върху полиномиален пръстен, е крайно генериран? | Решено. Резултат: не, контрапримерът е конструиран от Масайоши Нагата. | 1959 |
| 15-ти | Строга основа на Шубертовото изброимо смятане. | Частично решен. [] | - |
| 16-ти | Опишете относителните положения на овалите, които произлизат от реална алгебрична крива и са крайни цикли на полиномно векторно поле в равнината. | Неразрешено. | - |
| 17-ти | Изразяване на определена рационална функция като коефициент на суми на квадрати | Решено от Емил Артин и Чарлз Делзъл. Резултат: Установена е горна граница за броя на необходимите квадратни членове. Намирането на долна граница все още е отворен проблем. | 1927 |
| 18-ти | (а) Съществува ли полиедър, който допуска само анизоедрична плочка в три измерения? | (а) Решено. Резултат: "да" (от Карл Райнхард). | (а) 1928 г. |
| 19-ти | Винаги ли решенията на Лагранж са аналитични? | Решено. Резултат: да, доказано от Енио де Джорджи и, независимо и с помощта на различни методи, от Джон Форбс Наш. | 1957 |
| 20. | Имат ли решения всички вариационни задачи с определени гранични условия? | Решено. Значителна тема на изследване през целия 20-ти век, завършила с решения[] за нелинейния случай. | - |
| 21-ви | Доказателство за съществуването на линейни диференциални уравнения с предписана монодромична група | Решено. Резултат: Да или не, в зависимост от по-точните формулировки на проблема. [] | - |
| 22-ри | Унифициране на аналитични отношения чрез автоморфни функции | Решено. [] | - |
| 23-ти | По-нататъшно развитие на вариационното смятане | Неразрешено. | - |
Въпроси и отговори
В: Кой публикува списък с 23 нерешени математически задачи през 1900 г.?
О: През 1900 г. Дейвид Хилбърт публикува списък с 23 нерешени математически задачи.
Въпрос: 24-тата задача на Хилберт беше ли част от първоначалния списък?
О: Не, 24-ият проблем на Хилберт е намерен в писанията на Хилберт след смъртта му.
В: За какво се отнася 24-ата задача на Хилберт?
О: 24-ата задача на Хилберт е за намиране на критерии, които да покажат, че решението на дадена задача е най-простото възможно.
Въпрос: До 2012 г. решени ли са всички 23 проблема от списъка на Хилберт?
О: Не, три от 23-те задачи в списъка на Хилберт не са били решени през 2012 г.
Въпрос: Някой от проблемите в списъка на Хилберт беше ли твърде неясен, за да бъде решен?
О: Да, три от проблемите в списъка на Хилберт бяха твърде неясни, за да бъдат решени.
Въпрос: Колко от проблемите в списъка на Хилберт могат да бъдат частично решени?
О: Шест от проблемите в списъка на Хилберт могат да бъдат частично решени.
Въпрос: Дали Институтът по математика "Клей" е създал списък, подобен на списъка с проблеми на Хилберт?
О: Да, през 2000 г. Институтът по математика "Клей" създаде подобен списък, наречен "Проблеми на наградата на хилядолетието".
обискирам