Хипотезата за континуума: дефиниция, история и независимост

Хипотезата за континуума: дефиниция, историческо развитие и независимост — Кантор, Гьодел и Коен обяснени ясно с влиянието им върху съвременната теория на множествата.

Хипотезата за континуума е хипотеза, формулирана от Георг Кантор през 1877 г., която твърди, че не съществува множество със средна размерност между множеството на естествените числа и множеството на реалните числа. По-точно: няма множество, чиято кардиналност да е строго по-голяма от тази на естествените числа и строго по-малка от кардиналността на реалните числа.

Основни понятия

Кантор въвел идеята за кардиналност — начин да се сравняват размерите на множества, включително безкрайни. Множеството на естествените числа е броимо (има кардиналност ℵ0, прочитано „алеф-нула“), докато множеството на реалните числа е неброимо. С числото на континуума (обозначавано често с c или 2^{ℵ0}) се означава кардиналността на множеството на реалните числа. Хипотезата за континуума гласи, че няма кардиналност между ℵ0 и c, т.е. c = ℵ1, ако се приеме стандартната обозначителна конвенция, при която ℵ1 е най-малката неизмеримо по-голяма кардиналност след ℵ0.

Кратка история и ключови резултати

• Георг Кантор (1877) формулира първоначално въпроса за наличие на „междинни“ множества между естествените и реалните числа.
• През 1900 г. Дейвид Хилбърт включва този проблем като първата задача в своя списък от 23 важни математически задачи за XX век (списъка с).
• Кантор доказва с диагоналния аргумент, че реалните числа са повече от естествените, т.е. множество с кардиналност на реалните е неконтролируемо повече от множеството на естествените.
• През 1939–1940 г. Курт Гьодел показва, че хипотезата за континуума не може да бъде фалшифицирана с помощта на класическата аксиоматична система за множествата — теорията на множествата на Зермело-Френкел (включително и с аксиомата на избора): той конструира вътрешен модел, наречен конструктивната вселена L, в който и аксиомата на избора, и хипотезата за континуума са верни. Така Гьодел установява, че ако ZF (или ZFC) е последователна, то тя не може да доведе до противоречие при включване на ХК.
• През 1963 г. Пол Коен разработва техниката на форсиране и доказва, че отрицанието на хипотезата за континуума също е съвместимо с аксиомите на ZF (отново при условие, че ZF е последователна). Тоест ZF не може да докаже ХК. За това откритие Коен получава медал "Фийлдс" (1966 г.).

Интерпретация на независимостта

Комбинацията от резултатите на Гьодел и Коен означава, че хипотезата за континуума е независима от стандартната теория ZFC: нито ХК, нито нейното отрицание се следват логически от аксиомите на ZFC (при разумните технически предпоставки за тяхната последователност). Това не означава, че ХК е „невъзможна“ или „безсмислена“, а че нейният статут зависи от избора на допълнителни аксиоми извън ZFC.

Последици и съвременни гледни точки

Независимостта на ХК поставя въпроси за природата на математическата истина и за това кои допълнителни аксиоми са оправдани. Някои подходи към проблема:

• Предлагане на нови аксиоми (например силни аксиоми за кардинали или аксиоми на форсиране като Proper Forcing Axiom), които решават въпроса в една или друга посока.
• Разработване на вътрешни модели и анализ кои свойства на кардиналностите са възможни при различни допълнения към ZFC.
• Философски дебати дали математиката трябва да приеме интуитивно „истина“ изявления като ХК или да остане с множественост от модели, в които тя е вярна или невярна.

Какво може да се каже кратко

Хипотезата за континуума е централен проблем в теорията на множествата: формулира прост и естествен въпрос за размера на множествата, но изисква дълбоки методи (като конструктивните модели на Гьодел и форсирането на Коен) за да се разбере нейният статут. В рамките на ZFC тя остава необяснена — възможно е да бъде допълнена с аксиома за или против нея, което да определи кардиналността на континуума в избрания модел.

За допълнително четене и терминологични пояснения могат да се използват вече включените линкове към понятия като безкрайно много, множество, естествените числа и реалните числа, както и биографии на споменатите математици.

Въпроси и отговори

В: Какво представлява хипотезата за континуума?

В: Кой и кога е изказал хипотезата за континуума?

В: Има ли безкрайно много естествени числа?

В: Какъв е кардиналът на множеството на естествените числа?

В: Има ли повече реални числа от естествените?

Въпрос: Може ли хипотезата за континуума да бъде фалшифицирана с помощта на теорията на множествата на Цермело-Френкел?

Въпрос: Кой показа, че теорията за множествата на Цермело и Френкел не може да се използва за доказване на хипотезата за континуума?

Търсене по буква