Алгебрична геометрия
Алгебричната геометрия е дял от математиката, който изучава полиномните уравнения. Съвременната алгебрична геометрия се основава на по-абстрактните техники на абстрактната алгебра, особено на комутативната алгебра, с езика и проблемите на геометрията.
Основните обекти на изследване в алгебричната геометрия са алгебричните разновидности, които са геометрични проявления на множествата от решения на системи от полиномни уравнения. Примери за най-изучаваните класове алгебрични разновидности са: равнинни алгебрични криви, които включват прави, окръжности, параболи, елипси, хиперболи, кубични криви като елиптични криви и квартични криви като лемнискати, и овали на Касини. Една точка от равнината принадлежи на алгебрична крива, ако нейните координати удовлетворяват дадено полиномно уравнение. Основните въпроси включват изучаването на точките от особен интерес като сингулярните точки, инфлексните точки и точките в безкрайността. По-сложните въпроси включват топологията на кривата и връзките между кривите, зададени с различни уравнения.
Алгебричната геометрия заема централно място в съвременната математика. Концепциите, които тя използва, я свързват с такива разнообразни области като комплексния анализ, топологията и теорията на числата. В началото алгебричната геометрия се занимава с изучаване на системи от полиномни уравнения в няколко променливи. Алгебричната геометрия започва от мястото, където свършва решаването на уравнения: В много случаи намирането на свойствата, които притежават всички решения на даден набор от уравнения, е по-важно от намирането на конкретно решение: това води до някои от най-дълбоките области в цялата математика, както в концептуално, така и в техническо отношение.
През 20-ти век алгебричната геометрия се разделя на няколко подобласти.
- Основното направление на алгебричната геометрия е посветено на изучаването на комплексните точки на алгебричните разновидности и по-общо на точките с координати в алгебрично затворено поле.
- Изследването на точките на алгебрично многообразие с координати в полето на рационалните числа или в числово поле се превръща в аритметична геометрия (или по-класически Диофантова геометрия), подобласт на алгебричната теория на числата.
- Изследването на реалните точки на алгебрично многообразие е предмет на реалната алгебрична геометрия.
- Голяма част от теорията на сингулярностите е посветена на сингулярностите на алгебричните разновидности.
- Когато компютрите стават все по-разпространени, се развива област, наречена "изчислителна алгебрична геометрия". Тя разглежда пресечната точка на алгебричната геометрия и компютърната алгебра. Тя се занимава с разработването на алгоритми и софтуер за изучаване и намиране на свойствата на изрично дадени алгебрични разновидности.
Голяма част от развитието на основното течение на алгебричната геометрия през 20-ти век се осъществява в абстрактна алгебрична рамка, като все повече се набляга на "вътрешните" свойства на алгебричните разновидности, които не зависят от конкретен начин на вграждане на разновидността в околното координатно пространство. Развитието на топологията, диференциалната и комплексната геометрия протича по същия начин. Едно от ключовите постижения на тази абстрактна алгебрична геометрия е теорията на схемите на Гротендиек, която позволява да се използва теорията на сноповете за изучаване на алгебричните разновидности по начин, който е много подобен на използването ѝ при изучаването на диференциалните и аналитичните многообразия. Това се получава чрез разширяване на понятието за точка: В класическата алгебрична геометрия точка на афинно многообразие може да се идентифицира чрез Nullstellensatz на Хилберт с максимален идеал на координатния пръстен, докато точките на съответната афинна схема са всички прости идеали на този пръстен. Това означава, че точка от такава схема може да бъде или обикновена точка, или подмножество. Този подход също така позволява обединяване на езика и инструментите на класическата алгебрична геометрия, занимаваща се основно с комплексни точки, и на алгебричната теория на числата. Доказателството на Уайлс на дългогодишното предположение, наречено последна теорема на Ферма, е пример за силата на този подход.
Тази повърхнина на Толиати е алгебрична повърхнина от пета степен. Картинката представя част от нейния реален локус
Въпроси и отговори
В: Какво е алгебрична геометрия?
О: Алгебричната геометрия е дял от математиката, който изучава полиномните уравнения.
В: Какви техники се използват в съвременната алгебрична геометрия?
О: Съвременната алгебрична геометрия използва по-абстрактни техники от абстрактната алгебра, като комутативната алгебра, за да се справи с езика и проблемите на геометрията.
В: Какви видове уравнения изучава алгебричната геометрия?
О: Алгебричната геометрия изучава полиномни уравнения.
В: Как се използва абстрактната алгебра?
О: Тя използва абстрактна алгебра, по-специално комутативна алгебра, за да разбере езика и проблемите, свързани с геометрията.
В: Има ли специфичен вид език, който се използва в тази област?
О: Да, съвременната алгебрична геометрия използва езика и проблемите, свързани с геометрията.
В: Как съвременните технологии са повлияли на тази област?
О: Съвременните технологии позволиха да се използват по-усъвършенствани техники от абстрактната алгебра при изучаването на полиномни уравнения в тази област.
