Елипса: дефиниция, уравнение, фокуси и примери в геометрията

Елипсата е форма, която прилича на овал или сплескан кръг.

В геометрията елипсата е равнинна крива, която се получава при пресичането на конус с равнина по начин, който води до образуването на затворена крива.

Кръговете са специални случаи на елипсите, които се получават, когато равнината на рязане е перпендикулярна на оста на конуса. Елипсата е също така мястото на всички точки от равнината, чиито разстояния до две неподвижни точки се събират с една и съща константа.

Кръгът има един център, наречен фокус, а елипсата има два фокуса.

Забележка и уточнение: кръгът има един център (обикновено просто „център“), докато елипсата има две специални точки, наречени фокуси (или огнища). При елипсата сумата от разстоянията от всяка точка на кривата до двата фокуса е постоянна и равна на дължината на голямата ос.

Интуиция и конструкция

Практически метод за конструиране на елипса е т.нар. „градинарски“ метод: поставят се две игли (обозначаващи фокусите) в парче картон, опъва се връв между тях и с молив, държейки връвта във напрежение, се обрисува елипсата. Тази процедура визуално показва дефиницията: за всяка позиция на молива сумата от разстоянията до двата фиксирани пункта (игли) остава постоянна.

Параметри и основни свойства

• Център: точката (h,k).
• Полуосите: a и b — числата a и b са полуоси. Полу-голямата ос (semi-major axis) е a, а полу-малката (semi-minor axis) е b. Дължините на пълните оси са 2a (голяма ос) и 2b (малка ос).
• Фокуси (огнища): две точки на главната ос, разположени на разстояние c от центъра. За елипса с a ≥ b важи връзката c = sqrt(a^2 − b^2).
• Ексцентрицитет: e = c / a, където 0 ≤ e < 1. Колкото по-близо е e до 0, толкова по-близка до кръг е елипсата; при a = b елипсата е кръг (e = 0).
• Рефлективно свойство: лъч, тръгващ от единия фокус и отразен от елиптичната огледална повърхнина, минава през другия фокус. Това свойство е важено за акустика и оптика.
• Директрици: за стандартна елипса с хоризонтална главна ос (център (h,k)) директриците са прави, намиращи се на разстояние a/e от центъра по главната ос (хоризонтално).

Уравнение и параметризация

Уравнението на елипсата е : ( x - h ) 2 a 2 + ( y - k ) 2 b 2 = 1 {\displaystyle {\frac {(x-h)^{2}}{a^{2}}}+{\frac {(y-k)^{2}}{b^{2}}}=1}},
където центърът на елипсата е (h,k).

Обяснение и корекции към обозначенията:

• a — полу-голяма ос (semi-major axis). Ако елипсата е ориентирана хоризонтално, голямата ос е по посока x и пълната й дължина е 2a.
• b — полу-малка ос (semi-minor axis). Пълната дължина на малката ос е 2b.
• Свързваща формула за фокусите: c^2 = a^2 − b^2, т.е. c = sqrt(a^2 − b^2). Тук c е разстоянието от центъра до всеки фокус (огнище).
• Ексцентрицитетът е e = c / a.

Параметрични уравнения и площ

Параметрично: за параметър t в [0, 2π):

x = h + a cos t, y = k + b sin t.

Площта на елипсата е A = π a b.

Периметърът няма проста крайна формула; има приближения, например формулите на Ramanujan:

P ≈ π [3(a + b) − sqrt{(3a + b)(a + 3b)}], което дава много добро приближение.

Примери

• Ако a = 5 и b = 3, тогава c = sqrt(25 − 9) = 4, фокусите са на разстояние 4 от центъра по главната ос и ексцентрицитет e = 4/5 = 0.8. Уравнението (за център в началото) е x^2/25 + y^2/9 = 1.
• Орбитите на планетите (според първи закон на Кеплер) са елипси със Слънцето в единия фокус. Това е практичен физически пример за елиптична траектория.
• Градинарският/струнният метод, описан по-горе, е конструкторски пример, който илюстрира дефиницията: сумата от разстоянията до двата фокуса е константа (равна на 2a).

Допълнителни бележки

Елипсите се използват в инженерство, оптика (елиптични огледала), астрономия и други области. Разбирането на техните свойства (фокуси, еексцентрицитет, параметри a и b) е важно както за теоретична геометрия, така и за приложения.

Въпроси и отговори

Въпрос: Какво представлява елипсата?

Въпрос: Как се създава елипса?

В: Кои са специалните случаи на кръговете?

В: Колко огнища има елипсата?

В: Кое уравнение описва елипсата?

Въпрос: Къде можем да видим примери за елиптични орбити?

Търсене по буква