Алгебрична разновидност (алгебрично многообразие) — дефиниция и свойства

Алгебрични разновидности (алгебрично многообразие): ясна дефиниция, ключови свойства, примери и връзки с идеали и Нулстелензац за студенти и изследователи в алгебричната геометрия.

В математиката алгебричните разновидности (често наричани и алгебрични многообразия) са фундаментален клас геометрични обекти, изучавани в алгебричната геометрия. Интуитивно, една алгебрична разновидност се дефинира като множество от общи решения на система от полиномни уравнения над дадено поле (например над реалните или над комплексните числа). Съвременните формализации обобщават тази идея, като запазват връзката между полиномните уравнения (алгебра) и геометричната структура на множеството от техните решения.

Определение (афини случаи)

Нека k е поле. За n ≥ 1 и идеал I в пръстена k[x1,…,xn] множеството V(I) = {a ∈ k^n | f(a) = 0 за всички f ∈ I} е наричано алгебрично множество или (при подходящи допускания) афина алгебрична разновидност. Ако I е радикален и V(I) е несводимо в топологията на Зариски (виж по-долу), казваме, че V(I) е нередуцируема или алгебрична разновидност според конвенцията. Някои автори по подразбиране изискват понятие‑то „алгебрично многообразие“ да бъде нередуцируемо; други позволяват редуктивни (съставени) множества.

Топология на Зариски

Алгебричните множества се снабдяват с Зарискова топология, където затворените множества са точно множествата от вида V(I). Тази топология е значително по-коравосърдна от евклидовата: нейните затворени множества са „малко“ по смисъл на съдържание, но тя е удобна за изразяване на алгебрични свойства (напр. нередуцируемост, размерност). Нередуцируемостта означава, че множество не може да бъде представено като обединение на две по-малки затворени подмножества.

Координатен пръстен и Nullstellensatz

На всяко афино алгебрично множество V(I) се асоциира координатният пръстен k[x1,…,xn]/I — пръстенът на полиномни функции върху V(I). Връзката между геометрията на V(I) и алгебрата на идеалите в k[x1,…,xn] е централен предмет на алгебричната геометрия. За полета k, които са алгебрично затворени (например k = C), Основната теорема на алгебрата и по-общо Nullstellensatz на Хилберт дават точно съответствие между радикалните идеали и алгебричните множество. Това позволява да се превеждат въпроси за множество решения на системи полиномиални уравнения в еквивалентни въпроси за идеали в пръстените — връзка между алгебра и геометрията, която е характерна за алгебричната геометрия.

Нередуцируемост, размерност и крълова размерност

Нередуцируемо затворено множество е такова, което не може да се раздели на по-малки затворени множества. При работа над алгебрично затворено поле нередуцируемите алгебрични множества кореспондират на радикално идеали, чиито радикали са прости (по-точно: радикалните идеали показват вложения на компонентите). Размерността на разновидност обикновено се дефинира като максималната дължина на верига от нередуцируеми затворени подмножества: dim V = max{r | ∅ ⊂ Z0 ⊂ Z1 ⊂ … ⊂ Zr ⊂ V}. Това съвпада с Крул‑размерността на координатния пръстен.

Морфизми

Морфизъм между две афини разновидности V ⊂ k^n и W ⊂ k^m е даден от схема от координатни полиноми (съставено от ограничени полиномни функции) — еквивалентно, това е карта, зададена от m полинома в променливите x1,…,xn. Категорията на афинните алгебрични множество е антинатурално еквивалентна на категорията на finitely generated k‑алгебри без нилпотенти (чрез противоположен ход: морфизмите на вариянтите кореспондират на хомоморфизми на пръстените на координатите). Тази съответност е част от по-общата алгебро-геометрична философия: геометрични конструкции се четат чрез техните алгебрични функции.

Афинни и проективни разновидности

Афини разновидности са подмножества на k^n. За изучаване на „поведение в безкрайността“ се използва проективното пространство P^n(k) и проективни разновидности, дефинирани като нули на хомогенни идеали в координатния пръстен k[x0,…,xn]. Проективните разновидности имат по-добро глобално поведение (напр. компактност над C в аналитичната топология за проектви пространства) и често се използват за завършване на афинни обекти.

Примери

• Афина права A^1(k): множеството на решения в k на нищо уравнение; координатен пръстен k[x].
• Конуси и крива: крива в равнината, дадена от единично полиномно уравнение, напр. x^2 + y^2 − 1 = 0 (над R дава окръжност; над C дава различна геометрия на комплексните точки).
• Нул модул: множество от общи нули на система полиноми — дава класически примери за множество, към което може да се приложи Nullstellensatz.

Сингулярности и гладки точки

Алгебричните разновидности могат да имат сингулярни (особени) точки, където локалната геометрия „не изглежда като евклидово пространство“. Точката p е гладка (регулярна) ако размерността на локалното пръстеново локално пространство съвпада с размерността на разновидността; еквивалентно, ако ранкът на матрицата на частните производни (Йакобиан) има очакваната стойност. Някои автори под „многообразие“ разбират само гладките обекти; по-общо, в алгебричната геометрия се разглеждат и сингулярни разновидности и методи за тяхната резолюция (разглаждане).

Обобщения

Модерната перспектива използва езика на схемите, който обобщава алгебричните разновидности, позволявайки наличието на nilpotentни елементи в структурата и давайки по-гъвкави локални данни (способност за „залепване“ на афинни парчета). Въпреки това много основни идеи и примери се разбира добре в традиционната афинно/проективна рамка.

В обобщение, алгебричните разновидности съчетават полиномната алгебра с геометричната интуиция: от една страна имаме системи полиноми (алгебраично описание), а от друга — множествата от техните решения и структурите върху тях (геометрия). Именно това двустранно съответствие е причината математиката на алгебричните разновидности да е толкова богата и централна за съвременната алгебрична геометрия, като дава мощни връзки между въпроси в алгебрата и в геометрията, както е ясно от резултати като Основната теорема на алгебрата и Nullstellensatz.

Въпроси и отговори

В: Какво представляват алгебричните разновидности?

Въпрос: По какво се различават съвременните дефиниции от първоначалната дефиниция?

Въпрос: Каква е разликата между многообразие и многообразие?

В: Какво установява фундаменталната теорема на алгебрата?

Въпрос: Какво осигурява Nullstellensatz на Хилберт?

В: Как математиците са използвали това съответствие?

Търсене по буква