Алгебрично многообразие
В математиката алгебричните разновидности (наричани също разновидности) са един от централните обекти на изследване в алгебричната геометрия. Първите дефиниции на алгебричното многообразие го определят като множеството от решения на система от полиномни уравнения над реалните или комплексните числа. Съвременните дефиниции на алгебрично многообразие обобщават това понятие, като се опитват да запазят геометричната интуиция, стояща зад първоначалната дефиниция.
Конвенциите за дефиниране на алгебрично разнообразие се различават: Някои автори изискват "алгебричното многообразие" по дефиниция да е несводимо (което означава, че то не е обединение на две по-малки множества, които са затворени в топологията на Зариски), докато други не го изискват. Когато се използва първата конвенция, нередуцируемите алгебрични разновидности се наричат алгебрични множества.
Понятието за разнообразие е подобно на това за многообразие. Една от разликите между многообразието и многообразието е, че многообразието може да има сингулярни точки, докато многообразието няма. Основната теорема на алгебрата, доказана около 1800 г., установява връзка между алгебрата и геометрията, като показва, че моничен полином в една променлива с комплексни коефициенти (алгебричен обект) се определя от множеството на корените му (геометричен обект). Обобщавайки този резултат, Nullstellensatz на Хилберт осигурява фундаментално съответствие между идеалите на полиномни пръстени и алгебричните множества. Използвайки Нулстелензац и свързаните с него резултати, математиците са установили силно съответствие между въпроси за алгебричните множества и въпроси от теорията на пръстените. Това съответствие е специфичната особеност на алгебричната геометрия сред другите подобласти на геометрията.
Усуканото кубично разнообразие е проективно алгебрично разнообразие.
Въпроси и отговори
В: Какво представляват алгебричните разновидности?
О: Алгебричните разновидности са един от основните обекти на изследване в алгебричната геометрия. Те се дефинират като множеството от решения на система от полиномни уравнения върху реални или комплексни числа.
Въпрос: По какво се различават съвременните дефиниции от първоначалната дефиниция?
О: Съвременните дефиниции се опитват да запазят геометричната интуиция, която стои зад оригиналната дефиниция, като същевременно я обобщават. Някои автори изискват едно "алгебрично многообразие" да е по дефиниция несводимо (което означава, че то не е обединение на две по-малки множества, които са затворени в топологията на Зариски), докато други не го изискват.
Въпрос: Каква е разликата между многообразие и многообразие?
О: Едно многообразие може да има сингулярни точки, докато едно многообразие няма да има.
В: Какво установява фундаменталната теорема на алгебрата?
О: Фундаменталната теорема на алгебрата установява връзка между алгебрата и геометрията, като показва, че моничен полином в една променлива с комплексни коефициенти (алгебричен обект) се определя от множеството на корените му (геометричен обект).
Въпрос: Какво осигурява Nullstellensatz на Хилберт?
О: Нулевият стелензат на Хилберт осигурява фундаментално съответствие между идеалите на полиномни пръстени и алгебричните множества.
В: Как математиците са използвали това съответствие?
О: Математиците са установили силно съответствие между въпроси за алгебричните множества и въпроси от теорията на пръстените, използвайки това съответствие.
В: Какво прави тази област уникална сред другите подобласти на геометрията? О: Силното съответствие между въпросите на алгебричните множества и въпросите на теорията на пръстените прави тази област уникална сред другите подобласти на геометрията.
