Сексагималната бройна система (основа 60) е бройна система с основа шестдесет. Тя е измислена от древните шумери през третото хилядолетие пр.н.е. Хр. и е предадена на древните вавилонци, като все още се използва - в модифициран вид - за измерване на време, ъгли и географски координати. Системата е позиционна (стойността на цифрата зависи от мястото ѝ), въпреки че в ранните документи често са използвани ограничен брой символи и комбинирани знаци за представяне на цифрите.

Защо 60?

Числото 60 е съставно число и има много делители. То има дванадесет фактора, а именно 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 и 60, от които 2, 3 и 5 са прости числа. Това прави дробите с тези знаменатели лесни за изразяване в сексагимална система — те имат крайни представяния (без безкрайни периоди), което е удобно при деления и измервания.

Предимства при дробите и практическо значение

Затова, като се използват сексагимални числа, дробите се опростяват. Например един час може да бъде разделен равномерно на части от 30 минути, 20 минути, 15 минути, 12 минути, 10 минути, 6 минути, 5 минути, 4 минути, 3 минути, 2 минути и 1 минута. Това е следствие от множеството делители на 60 и ускорява изчисления при практическите приложения.

Историческа бележка

Развитието на сексагималната система е свързано с нуждите на астрономията, календара и администрацията в Месопотамия. Древните математици и астрономи използвали базата 60 за изчисления и таблични методи. С времето част от практическите приложения на системата оцеляха — особено в измерването на време и ъгли — дължащо се на удобството при деленията и традицията.

Как се представят числа в основа 60

В позиционна сексагимална нотация всяка „цифра“ приема стойност от 0 до 59. Типичен съвременен начин за запис е чрез разделяне с двоеточие или със запетая/точка и точка (в математическа литература):

  • 2:05 означава 2×60 + 5 = 125 в десетична система.
  • 1:30 означава 1×60 + 30 = 90.
  • 3;15,30 (или 3:15:30) означава 3 + 15/60 + 30/3600 = 3,258333... (десятично).

Основни правила за преобразуване

За да превърнете цяло десетично число в сексагимално, делите на 60 и записвате остатъците (аналогично на преобразуване в друга позиционна система). Пример: 125 / 60 = 2 с остатък 5 → 125 = 2×60 + 5 → 2:05.

За дробни десетични стойности се умножава дробната част по 60; целите числа от произведенията дават последователните „цифри“ след запетаята в сексагимален вид. Пример: 0,5×60 = 30 → 0;30 (т.е. 0,5 десетично = 0;30 сексагимално = 30/60).

Аритметика

Операциите съответстват на стандартните позиционни правила, но пренасянето/заема се прави при база 60:

  • Събиране: ако сумата на дадена позиция достигне 60 или повече, се пренася 1 към следващата позиция (60 → 1×60 + 0).
  • Изваждане: при нужда се заема 1 (еквивалентно на 60 единици от по-ниската позиция).
  • Умножение и деление: използват се стандартни алгоритми, но с множители/делители и пренасяния в база 60; често е по-удобно да се преобразува към десетична система и след това да се върне.

Приложения днес

Най-видимите съвременни остатъци от сексагималната система са:

  • Измерване на време: часове, минути, секунди (60 минути = 1 час, 60 секунди = 1 минута).
  • Измерване на ъгли: градуси, минути, секунди (1° = 60′, 1′ = 60″).
  • Географски координати: ширина и дължина често се дават в градуси, минути и секунди.

Предимства и ограничения

Предимства: голям брой делители дава крайни представяния на много обикновени дроби и улеснява практическите измервания и деления.

Ограничения: голямата основа изисква повече символи/комбинации за отделните „цифри“ (в древността това довежда до по-сложна символика), а за съвременна цифрова обработка и изчисления удобството на десетичната (или двоичната/шестнадесетичната) система прави честата конверсия необходима.

Примерни преобразувания

  • Десетично 125 → сексагимално: 125 / 60 = 2, остатък 5 → 2:05.
  • Десетично 2,5 (часа) → 2 часа и 0,5×60 = 30 минути → 2:30 (2;30).
  • Десетично 0,2 → 0,2×60 = 12 → 0;12 (т.е. 12/60 = 0,2).
  • Често използваните обикновени дроби имат „красиви“ сексагимални представяния: 1/2 = 0;30, 1/3 = 0;20, 1/4 = 0;15, 1/5 = 0;12, 1/6 = 0;10.

60 е най-малкото число, което се дели на всяко число от 1 до 6, т.е. то е най-малкото общо кратно на 1, 2, 3, 4, 5 и 6. Това свойство обяснява в голяма степен историческото и практическото предпочитание към тази база.

Забележка: в тази статия всички числови стойности и „цифри“, които изглеждат като стандартни арабски числа (напр. 10, 60 и др.), са представени в десетичната система за по-голяма яснота. Например 10 означава числото десет, а 60 означава числото шестдесет.