В математиката основата или радиксът е броят на различните цифри или комбинацията от цифри и букви, които дадена система за броене използва за представяне на числата. Например най-често използваната база днес е десетичната система: тъй като "dec" означава 10, тя използва десетте цифри от 0 до 9. Повечето хора обясняват предпочитанието към основа 10 с това, че имаме 10 пръста.

Как работи позиционната система

В позиционните брони системи стойността на числото се определя от всяка цифра и от позицията ѝ (мястото ѝ отдясно наляво). За дадена основа b, цифрата на позиция k (броейки от 0 за най-дясната позиция) представлява досконална стойност digit × b^k. Например:

Записът 23 8 {\displaystyle 23_{8}} {\displaystyle 23_{8}} означава "23" в основа 8 (октална система). Това се изчислява като 2×8^1 + 3×8^0 = 16 + 3 = 19 в десетична основа.

Бележки за основата

  • Обикновено основата е цяло число, по-голямо от 1. Най-често срещаните цели основи са 2 (двоична), 8 (октална), 10 (десетична) и 16 (шестнайсетична).
  • При основи по-големи от 10 се използват букви за допълнителни "цифри" — например в шестнадесетичната система цифрите са 0–9 и A–F (A=10, B=11 … F=15).
  • Математически е възможно да се разглеждат и нецелочислени, отрицателни или дори комплексни основи (напр. основа −2 или основа i), но те са по-рядко използвани и имат специални приложения.

Примери

  • Двоична система (основа 2): 1101₂ = 1×2^3 + 1×2^2 + 0×2^1 + 1×2^0 = 8 + 4 + 0 + 1 = 13 (в десетична).
  • Октална система (основа 8): 17₈ = 1×8 + 7 = 15 (в десетична).
  • Шестнадесетична система (основа 16): A3₁₆ = 10×16 + 3 = 163 (в десетична).
  • Числа с дробна част: 10.1₂ = 1×2^1 + 0×2^0 + 1×2^(−1) = 2 + 0 + 0.5 = 2.5 (в десетична). Дробните записи използват „радикс точка“ (напр. десетична точка).

Нерегулярни и исторически системи

Не всички системи са позиционни. Например римските цифри не използват позиция за стойност по същия начин и са считани за не-позиционни. Някои традиционни приложения ползват нестандартни основи: например системата за измерване на време и ъгли използва секстагесимална (шестдесетична) логика — 60 секунди в минута, 60 минути в час, 360 градуса в окръжност, където частите се организират по 60.

Приложения

  • В компютърните науки се използват предимно двоична (основа 2), осмична (основа 8) и шестнадесетична (основа 16) системи, тъй като хардуерът оперира с битове и байтове.
  • В ежедневието най-разпространена е десетичната система заради исторически и практични причини.

Като обобщение: радиксът (основата) определя набора от допустими цифри и как се комбинират позиционно, за да представят произволно големи или дробни числа. За по-нататъшни примери или алгоритми за конвертиране между различни основи могат да се разгледат техники като деление с остатък (за цели числа) и умножение за дробни части.