Бройни системи: основа (радикс) — определение и примери
В математиката основата или радиксът е броят на различните цифри или комбинацията от цифри и букви, които дадена система за броене използва за представяне на числата. Например най-често използваната база днес е десетичната система: тъй като "dec" означава 10, тя използва десетте цифри от 0 до 9. Повечето хора обясняват предпочитанието към основа 10 с това, че имаме 10 пръста.
Как работи позиционната система
В позиционните брони системи стойността на числото се определя от всяка цифра и от позицията ѝ (мястото ѝ отдясно наляво). За дадена основа b, цифрата на позиция k (броейки от 0 за най-дясната позиция) представлява досконална стойност digit × b^k. Например:
Записът 23 8 {\displaystyle 23_{8}} 
означава "23" в основа 8 (октална система). Това се изчислява като 2×8^1 + 3×8^0 = 16 + 3 = 19 в десетична основа.
Бележки за основата
- Обикновено основата е цяло число, по-голямо от 1. Най-често срещаните цели основи са 2 (двоична), 8 (октална), 10 (десетична) и 16 (шестнайсетична).
- При основи по-големи от 10 се използват букви за допълнителни "цифри" — например в шестнадесетичната система цифрите са 0–9 и A–F (A=10, B=11 … F=15).
- Математически е възможно да се разглеждат и нецелочислени, отрицателни или дори комплексни основи (напр. основа −2 или основа i), но те са по-рядко използвани и имат специални приложения.
Примери
- Двоична система (основа 2): 1101₂ = 1×2^3 + 1×2^2 + 0×2^1 + 1×2^0 = 8 + 4 + 0 + 1 = 13 (в десетична).
- Октална система (основа 8): 17₈ = 1×8 + 7 = 15 (в десетична).
- Шестнадесетична система (основа 16): A3₁₆ = 10×16 + 3 = 163 (в десетична).
- Числа с дробна част: 10.1₂ = 1×2^1 + 0×2^0 + 1×2^(−1) = 2 + 0 + 0.5 = 2.5 (в десетична). Дробните записи използват „радикс точка“ (напр. десетична точка).
Нерегулярни и исторически системи
Не всички системи са позиционни. Например римските цифри не използват позиция за стойност по същия начин и са считани за не-позиционни. Някои традиционни приложения ползват нестандартни основи: например системата за измерване на време и ъгли използва секстагесимална (шестдесетична) логика — 60 секунди в минута, 60 минути в час, 360 градуса в окръжност, където частите се организират по 60.
Приложения
- В компютърните науки се използват предимно двоична (основа 2), осмична (основа 8) и шестнадесетична (основа 16) системи, тъй като хардуерът оперира с битове и байтове.
- В ежедневието най-разпространена е десетичната система заради исторически и практични причини.
Като обобщение: радиксът (основата) определя набора от допустими цифри и как се комбинират позиционно, за да представят произволно големи или дробни числа. За по-нататъшни примери или алгоритми за конвертиране между различни основи могат да се разгледат техники като деление с остатък (за цели числа) и умножение за дробни части.
В компютрите
В компютрите често се използват различни бази. Двоичната (база 2) се използва, защото на най-простото ниво компютрите могат да работят само с 0 и 1. Шестнайсетичната (база 16) се използва поради начина, по който компютрите групират двоичните цифри. Всеки четири двоични цифри се превръщат в една шестнадесетична цифра при преминаването между тях. Тъй като в шестнадесетичната система има повече от 10 цифри, шестте цифри след 9 се показват като A, B, C, D, E и F.
Измерване
Най-старите системи за смятане използват основата едно. Правенето на знаци на стената, като се използва по един знак за всеки преброен предмет, е пример за едночленно броене. Някои стари системи за измерване използват дванадесетичния радикс (основа дванадесет). Това се вижда в английския език, където има думи като dozen (12) и gross (144 = 12×12), както и дължини като feet (12 инча).
Бази за писане
Когато се изписва основа, малкото число, обозначаващо основата, обикновено е в основа десет. Това е така, защото, ако радиксът беше изписан в собствената си база, той винаги щеше да бъде "10", така че нямаше да има начин да се разбере в каква база трябва да бъде.
Числа в различни основи
Ето няколко примера за това как някои числа се записват в различни основи в сравнение с десетичните дроби:
| Десетична система (база 10) | Двоичен код (база 2) | Недесетична бройна система (база 11) | Шестнадесетична система (база 16) | Сенари (База 6) | Унарен (база 1) |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 10 | 2 | 2 | 2 | 11 |
| 3 | 11 | 3 | 3 | 3 | 111 |
| 4 | 100 | 4 | 4 | 4 | 1111 |
| 5 | 101 | 5 | 5 | 5 | 11111 |
| 6 | 110 | 6 | 6 | 10 | 111111 |
| 7 | 111 | 7 | 7 | 11 | 1111111 |
| 8 | 1000 | 8 | 8 | 12 | 11111111 |
| 9 | 1001 | 9 | 9 | 13 | 111111111 |
| 10 | 1010 | A | A | 14 | 1111111111 |
| 11 | 1011 | 10 | B | 15 | 11111111111 |
| 12 | 1100 | 11 | C | 20 | 111111111111 |
| 13 | 1101 | 12 | D | 21 | 1111111111111 |
| 14 | 1110 | 13 | E | 22 | 11111111111111 |
| 15 | 1111 | 14 | F | 23 | 111111111111111 |
| 16 | 10000 | 15 | 10 | 24 | 1111111111111111 |
Въпроси и отговори
В: Какво е база или радикс в математиката?
О: Основа или радикс е броят на различните цифри или комбинацията от цифри и букви, които дадена система за смятане използва за представяне на числата.
В: Какъв е примерът за най-често използваната днес база?
О: Най-често използваната основа днес е десетичната система.
В: Защо най-често се използва основата 10?
О: Повечето хора смятат, че основа 10 се използва, защото имаме 10 пръста.
В: Винаги ли основата е цяло число, по-голямо от 1?
О: Да, основата обикновено е цяло число, по-голямо от 1.
Въпрос: Възможно ли е математически да съществуват нецелочислени основи?
О: Да, нецелочислените основи също са математически възможни.
Въпрос: Как се обозначава основата на дадено число?
О: Основата на едно число може да се напише до него.
В: Какво означава примерът "23 8"?
О: Примерът "23 8" означава 23 в основа 8 (което е равно на 19 в основа 10).
