Дванадесетична бройна система — определение, свойства и примери
Дванадесетичната бройна система (известна също като основа 12, дузинална или рядко унциална) е бройна система с основа дванадесет. В дванадесетичната система стойностите се записват чрез групи от по 12 и всяка позиция има тегло 12^0, 12^1, 12^2 и т.н. Например числото петдесет (което обикновено записваме като 50 в десетичната система) се записва като 42 в дванадесетичната система, тъй като 42(12) = 4×12 + 2 = 50(10).
Основни свойства
- Цифри: Използват се десетичните цифри 0–9, а за стойностите 10 и 11 обичайно се използват символите A и B (понякога T и E или други варианти).
- Позиционна стойност: Всяка позиция вляво увеличава теглото 12 пъти (единици, дванадесетици, 144-ки и т.н.).
- Делимост и дроби: Числото 12 има повече делители (2, 3, 4, 6) в сравнение с 10 (2 и 5). Това означава, че много обичайни дроби имат краен запис в основа 12, докато в десетичната система са повтарящи се.
Примери и преобразувания
- Преобразуване от десетична към дванадесетична: Делите числото на 12, записвате остатъка като последна цифра и продължавате с частното. Пример: 50 ÷ 12 = 4 останало 2 → 50(10) = 42(12).
- Проверка (обратно преобразуване): 42(12) = 4×12 + 2 = 50(10).
- Друг пример: 100(10) ÷ 12 = 8 останало 4 → 100(10) = 84(12); обратно: 8×12 + 4 = 100.
- Дроби и крайни представяния: Поради делимостта на 12, дробите 1/2, 1/3, 1/4, 1/6 имат краен запис в основа 12:
- 1/2 = 0.6(12) (тъй като 6/12 = 1/2)
- 1/3 = 0.4(12) (тъй като 4/12 = 1/3)
- 1/4 = 0.3(12) (3/12 = 1/4)
- 1/6 = 0.2(12) (2/12 = 1/6)
История и практическо използване
- Дванадесетичната логика е широко застъпена в езика и мерните единици: "дозна" (dozen), "грос" (gross = 12×12), дузина яйца, 12 месеца в годината, 12-часов циферблат и др.
- Някои исторически и културни системи са предпочитали групиране по 12 заради удобството при делене на равни части.
- Съвременни предложения за преминаване към дванадесетична система (дванаезична/дузинална реформа) са мотивирани предимно с по-доброто представяне на обикновени дроби, но практическата смяна среща големи социални и икономически препятствия.
Предимства и недостатъци
- Предимства: По-голям брой делители улеснява дробните операции и представя повече рационални числа с краен запис.
- Недостатъци: Непознатост и несъвместимост с вече утвърдени стандарти (валута, образование, индустрия), както и необходимост от нови обозначения за цифрите 10 и 11.
Дванадесетичната система е интересна алтернатива с историческо и практическо значение. Разбирането ѝ помага при анализ на мерни единици, числени представяния и свойствата на дробите в различни основи.
Как да представим 10 и 11 в дванадесетична система
Няма цифрови символи, които да представят 10 и 11 в дванадесетичната система, затова се използват букви от английската азбука, по-специално X (от римската цифра за десет) и E (от инициала на единадесет). Някои хора използват и A и B (както в шестнадесетичната бройна система).
В книгата си "Основното течение на математиката" от 1951 г. Една Крамер използва * и # за десетичните числа 10 и 11. Символите са избрани, тъй като са налични в пишещите машини и телефоните с бутони.
В тази статия се използват буквите "X" и "E" за десетични числа 10 и 11.
Дуодесетични стойности
| Десетична система | Дуодесетична система |
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
| 2 | 2 |
| 3 | 3 |
| 4 | 4 |
| 5 | 5 |
| 6 | 6 |
| 7 | 7 |
| 8 | 8 |
| 9 | 9 |
| 10 | X |
| 11 | E |
| 12 | 10 |
| 13 | 11 |
| 50 | 42 |
| 60 | 50 |
| 100 | 84 |
| 144 | 100 |
| 500 | 358 |
| 720 | 500 |
| 1000 | 6E4 |
| 1728 | 1000 |
Въпроси и отговори
В: Какво представлява дванадесетичната система?
О: Дванадесетичната система е бройна система с основа дванадесет.
В: Как се изразяват големите числа в дванадесетичната система?
О: Големите числа се изразяват чрез групи от 12 в дванадесетичната система.
В: Какъв е еквивалентът на десетичното число 50 в дванадесетична система?
О: Двойният еквивалент на числото 50 е 42.
Въпрос: Защо 12 се смята за важно число в дванадесетичната система?
О: 12 се смята за важно число в дванадесетичната система, защото е най-малкото число, което има четири фактора: 2, 3, 4 и 6.
В: Какви са резултатите от разделянето на 10 и 12 на 3 в дванадесетичната система?
О: Резултатът от делението на 10 на 3 в дванадесетичната система е 3,333..., а резултатът от делението на 12 на 3 е 4.
Въпрос: Може ли дванадесетичната система да контролира по-добре дробните числа, отколкото десетичната система?
О: Не, дванадесетичната система не може да контролира дробните числа по-добре от десетичната система.
Въпрос: Какви са резултатите от разделянето на 6 и 5 на 3 в дванадесетичната система?
О: Резултатът от разделянето на 6 на 3 в дванадесетичната система е 1,666..., а резултатът от разделянето на 5 на 3 е 2. Резултатът от разделянето на 5 на 2 в дванадесетичната система е 2,4.
