Извадка в статистиката — определение, видове, методи на подбор и грешки

В статистиката извадката е част от дадена популация, избрана с цел да даде информация за характеристиките на цялата популация. Извадката се подбира внимателно: тя трябва да представя популацията справедливо и да минимизира систематични пристрастия и грешки.

Когато се разглежда като набор от данни, извадката често се представя с главни букви, като X {\displaystyle X} и Y {\displaystyle Y}, а нейните елементи се представят с малки букви (например x 3 {\displaystyle x_{3}}), а размерът на извадката се представя с буквата n {\displaystyle n}.

Причината, поради която са необходими извадки, е, че популациите могат да бъдат толкова големи, че преброяването на всеки индивид да не е възможно или практично. Затова решаването на даден проблем в статистиката обикновено започва с извадка. Извадката означава избор на данни, които да бъдат взети за последващ анализ. Например, при проучване на замърсяването на езеро, резултатите силно зависят от това къде и кога са взети пробите от водата.

Като общо правило извадките трябва да са случайни — това означава, че шансът (или вероятността) да бъде избран един елемент трябва да бъде равен на шанса за всеки друг елемент от целевата популация. На практика случайните извадки се правят чрез точно определена процедура: набор от правила и стъпки, които се документират и се следват стриктно.

Дори при стриктно прилагане на процедурата, в извадката може да остане отклонение. Например, при изготвяне на извадка за прогнозиране на резултатите от предизборно проучване има много източници на грешки — хора, които не отговарят на телефонни обаждания или не излизат по улиците, ще бъдат систематично пропуснати. В такива случаи е невъзможно да се получи напълно неутрална извадка; статистикът трябва да помисли как да оцени и отчете размера на отклонението и съществуват методи за неговото оценяване.

Подобна е и ситуацията при физически измервания — например теглото на парче метал или скоростта на светлината. Всяко измерване с дори много чувствително оборудване дава малко различна стойност; няма перфектна система за измерване. Резултатът е поредица от оценки — извадки с определена степен на грешка. Статистиката дава инструменти за описание и анализ на тези грешки.

Видове извадки

• Пълната извадка — включва всички елементи, които притежават дадено свойство (целият набор от данни, т.е. популацията).
• Безпристрастна или представителна извадка — получава се, когато елементи се подбират от пълната извадка чрез процес, който не зависи от свойствата на елементите.
• Случайна извадка (simple random sampling) — всеки елемент от популацията има равен шанс да бъде включен.
• Систематична извадка — първият елемент се избира случайно, след което се взема всеки k-ти елемент (например всяко 10-то име в списък).
• Стратифицирана извадка — популацията се разделя на хомогенни подгрупи (страти), след което се вземат случайни извадки от всяка стратa; може да бъде пропорционална или непропорционална.
• Клъстерна и многостепенна извадка — популацията се разделя на клъстери (например райони), избира се произволен набор от клъстери, след което се изследват всички или случайни елементи в избраните клъстери; при многостепенните се повтаря процедурата на по-ниско ниво.
• Удобна извадка (convenience) — избор на лесно достъпни елементи (например студенти в аудитория) — няма гаранция за представителност.
• Квотна извадка — набиране на участници докато не се достигнат предварително определени квоти по ключови характеристики (възраст, пол и т.н.).
• Целена извадка (purposive) — подбират се конкретни индивиди по критерий (използва се при качествени изследвания).
• Снежна топка (snowball) — използва се за труднодостъпни или малки популации; участниците препоръчват други участници.

Методи на подбор — как се прилагат на практика

- За проста случайна извадка е необходим напълно коректен списък (sampling frame) на популацията; изборът може да стане чрез генератор на случайни числа или чрез теглене на номера.
- При систематичната извадка се пресмята k = N/n (N = размер на популацията, n = желана извадка) и се избира случайно стартов индекс между 1 и k.
- При стратифицираната извадка важно е правилното определяне на стратите — вътре в тях вариацията трябва да е по-малка, отколкото между стратите. Извадките могат да се вземат пропорционално на размера на стратата или по друг критерий (над/под извадка при малки, но важни групи).
- При клъстерните методи е предимство, че намаляват логистичните разходи, но увеличават вариабилността в оценките (т.нар. дизайн ефект). Многостепенният подбор комбинира клъстери и случайни подизвадки вътре в тях.
- Нестроганите методи (удобна, квотна, целена, снежна топка) се използват при ограничения, но трябва ясно да се отбележат техните ограничения по отношение на представителността и възможността за генерализиране.

Често срещани грешки и пристрастия

Видове грешки:

• Извадковата грешка (sampling error) — произтича от факта, че работим с част (извадка) от популацията; намалява с увеличаване на n и зависи от вариабилността в популацията.
• Пристрастия (bias) — систематични отклонения: selection bias (неправилен избор), nonresponse bias (липси от определени групи), coverage error (липсващи елементи в рамката), response bias (нечестни отговори), measurement error (неточности при измерване) и др.
• Неправилно обработване и грешки при въвеждане — обработване, кодиране и анализ могат да въведат допълнителни грешки.

Как да намалим грешките и пристрастията: внимателно дефиниране на целевата популация и коректна sampling frame; използване на подходяща случайна или стратифицирана процедура; повишаване на отговорите чрез напомняния и мотивация; претегляне на данните чрез пост-стратификация и калкулация на тежести; провеждане на пилотни тестове; ясно отчитане на методологията и ограниченията.

Стандартна грешка и доверителен интервал: стандартната грешка (standard error) описва очакваната вариация на оценката от една извадка до друга. На тази база се изграждат доверителни интервали (например 95% CI), които показват интервала, в който с определена вероятност се намира параметърът на популацията. При оценки на пропорции често се използва формула n ≈ (Z^2 * p*(1-p)) / E^2 за грубо определяне на n (виж раздел "Размер на извадката").

Размер на извадката — фактори и груби формули

Определянето на подходящ размер на извадката зависи от:

• Желаната точност (маргин на грешка, E)
• Ниво на доверие (например 95% — Z ≈ 1.96; 99% — Z ≈ 2.576)
• Предварителна оценка на вариабилността (за пропорции p; ако е неизвестна, използвайте p = 0.5 за най-консервативна оценка)
• Размер на популацията (при малки популации се прилага корекция — finite population correction)

Една от стандартните формули за пропорция е:

n = (Z^2 * p * (1 - p)) / E^2

Ако популацията N е ограничена, използваме корекция:

n_adj = n / (1 + (n - 1) / N)

Пример: при 95% доверие (Z ≈ 1.96), желан маргин E = 0.05 и p = 0.5, n ≈ (1.96^2 * 0.25) / 0.05^2 ≈ 384. Това е често цитиран ориентир за социални анкети.

Практически стъпки при изготвяне на извадка

1. Дефинирайте ясно целевата популация и единицата на анализ (индивид, дом, училище и т.н.).
2. Създайте или осигурете коректна sampling frame (списък или регистър).
3. Изберете подходяща стратегия за подбор (случайна, стратифицирана, клъстерна и т.н.).
4. Определете размер на извадката, отчитайки желания маргин на грешка и практическите ограничения.
5. Изтеглете извадката чрез документирана процедура (генератор на случайни числа, систематично избирате индекси и т.н.).
6. Съберете данните с контрол за качество (проверки, обучение на интервюиращите, валидиране на измерванията).
7. Оценете представителността (сравнения с известни популационни характеристики) и при нужда приложете тежести/корекции.
8. Документирайте методологията, отговорните лица, процента на отговори и възможните източници на пристрастие.

Отчитане и интерпретация

При представяне на резултати от извадково проучване винаги се посочват: методът на подбор, размерът на извадката, скоростта на отговор, използвани тежести, маргинът на грешка и нивото на доверие. Ясното отчитане позволява на читателя да прецени надеждността и ограниченията на изводите.

Извадките са основен инструмент в статистическата практика: правилно проектирани и изпълнени, те позволяват добри приближения на характеристиките на големи популации. Винаги обаче трябва да се има предвид, че резултатите от извадката носят несигурност и възможни пристрастия — задачата на добрия анализ е да ги измери, намали и ясно да ги представи.

Въпроси и отговори

В: Какво е извадка в статистиката?

В: Защо са необходими извадки?

В: Как се представя една извадка?

В: Какви трябва да бъдат извадките?

Въпрос: Може ли в извадките да остане отклонение?

В: Има ли различни видове извадки?

Търсене по буква