Хиперболична геометрия: дефиниция, свойства и примери

Постулатът за паралела в евклидовата геометрия гласи, че в двумерното пространство за всяка дадена линия l и точка P, която не е на l, има точно една линия през P, която не пресича l. Тази линия се нарича паралелна на l. В хиперболичната геометрия има поне две такива линии през P. Тъй като те не пресичат l, постулатът за паралела е неверен. В рамките на Евклидовата геометрия са построени модели, които се подчиняват на аксиомите на хиперболичната геометрия. Тези модели доказват, че паралелният постулат е независим от другите постулати на Евклид.

Тъй като няма хиперболичен аналог на евклидовите успоредни линии, хиперболичната употреба на паралелни и свързани с тях термини варира при различните автори. В тази статия двете гранични линии се наричат асимптотични, а линиите, които имат общ перпендикуляр, се наричат ултрапаралелни; простата дума паралел може да се прилага и за двете.

Интересно свойство на хиперболичната геометрия произтича от наличието на повече от една успоредна линия през точка P: има два класа несекващи линии. Нека B е точката върху l, така че линията PB да е перпендикулярна на l. Да разгледаме линията x през P, така че x да не пресича l, а ъгълът θ между PB и x обратно на часовниковата стрелка от PB да е възможно най-малък; т.е. всеки по-малък ъгъл ще принуди линията да пресече l. Това се нарича асимптотична линия в хиперболичната геометрия. Симетрично, линията y, която образува същия ъгъл θ между PB и себе си, но по посока на часовниковата стрелка от PB, също ще бъде асимптотична. x и y са единствените две линии, асимптотични на l през P. Всички други линии през P, които не пресичат l, с ъгли, по-големи от θ с PB, се наричат ултрапаралелни (или дисекционно успоредни) на l. Обърнете внимание, че тъй като съществуват безкрайно много възможни ъгли между θ и 90 градуса и всеки от тях ще определи две прави през P и дисоциално успоредни на l, съществуват безкрайно много ултрапаралелни прави.

По този начин получаваме тази модифицирана форма на паралелния постулат: В хиперболичната геометрия, при дадена линия l и точка P, която не лежи на l, има точно две прави през P, които са асимптотични на l, и безкрайно много прави през P, които са ултрапаралелни на l.

Разликите между тези видове линии могат да бъдат разгледани и по следния начин: разстоянието между асимптотичните линии се изчерпва до нула в едната посока и нараства без ограничение в другата; разстоянието между ултрапаралелните линии нараства и в двете посоки. Теоремата за ултрапаралелните линии гласи, че в хиперболичната равнина има уникална линия, която е перпендикулярна на всяка от дадена двойка ултрапаралелни линии.

В Евклидовата геометрия ъгълът на успоредност е константа, т.е. всяко разстояние ‖ B P ‖ {\displaystyle \lVert BP\rVert } между успоредни линии дава ъгъл на успоредност, равен на 90°. В хиперболичната геометрия ъгълът на успоредност се променя с функцията Π ( p ) {\displaystyle \Pi (p)} . Тази функция, описана от Николай Иванович Лобачевски, дава уникален ъгъл на успоредност за всяко разстояние p = ‖ B P ‖ {\displaystyle p=\lVert BP\rVert } . С намаляване на разстоянието Π ( p ) {\displaystyle \Pi (p)} се приближава към 90°, докато с увеличаване на разстоянието Π ( p ) {\displaystyle \Pi (p)} се приближава към 0°. По този начин с намаляване на разстоянията хиперболичната равнина все повече прилича на Евклидовата геометрия. Наистина, при малки мащаби в сравнение с 1 - K {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {-K}}}} , където K {\displaystyle K\!} е (постоянната) Гаусова кривина на равнината, наблюдателят трудно би определил дали се намира в Евклидовата или в хиперболичната равнина.

В продължение на векове геометрите се опитват да докажат постулата за паралелите. Те не успяват, но усилията им довеждат до появата на хиперболичната геометрия. Теоремите на Алхасен и Хайям за четириъгълниците са първите теореми за хиперболичната геометрия. Техните трудове по хиперболична геометрия оказват влияние върху развитието ѝ сред по-късните европейски геометри, включително Витело, Алфонсо и Джон Уолис.

През XIX в. хиперболичната геометрия е изследвана от Янош Боляй и Николай Иванович Лобачевски, на чието име понякога е наричана. Лобачевски публикува през 1830 г., а Боляй я открива самостоятелно и публикува през 1832 г. Карл Фридрих Гаус също изучава хиперболичната геометрия, като в писмо до Таурин от 1824 г. описва, че я е конструирал, но не публикува работата си. През 1868 г. Еудженио Белтрами предоставя нейни модели и използва това, за да докаже, че хиперболичната геометрия е последователна, ако Евклидовата геометрия е такава.

Терминът "хиперболична геометрия" е въведен от Феликс Клайн през 1871 г. За повече информация вижте статията за неевклидовата геометрия.

Съществуват три модела, които обикновено се използват за хиперболичната геометрия: моделът на Клайн, моделът на диска на Поанкаре и моделът на Лоренц или хиперболоидният модел. Тези модели определят реално хиперболично пространство, което отговаря на аксиомите на хиперболичната геометрия. Въпреки наименованията, двата модела на диска и моделът на полуплоскостта са въведени като модели на хиперболичното пространство от Белтрами, а не от Поанкаре или Клайн.

1. Моделът на Клайн, известен още като модел на проективния диск и модел на Белтрами-Клайн, използва вътрешността на кръг за хиперболична равнина, а хордите на кръга - за линии.
2. Моделът на Поанкаре на половината равнина приема половината от Евклидовата равнина, определена от Евклидовата линия B, за хиперболична равнина (самата B не е включена).
• Тогава хиперболичните линии са или полукръгове, перпендикулярни на B, или лъчи, перпендикулярни на B.
• И двата модела на Поанкаре запазват хиперболичните ъгли и по този начин са конформни. Следователно всички изометрии в рамките на тези модели са трансформации на Мьобиус.
• Моделът на полуплоскостта е идентичен (на границата) с модела на диска на Поанкаре в края на диска
• Този модел има пряко приложение в специалната теория на относителността, тъй като 3-пространството на Минковски е модел на пространство-времето, в който се потиска едно пространствено измерение. Може да се приеме, че хиперболоидът представлява събитията, които различни движещи се наблюдатели, излъчващи се навън в пространствена равнина от една точка, ще достигнат за определено време. Хиперболичното разстояние между две точки на хиперболоида може да се идентифицира с относителната скорост между двамата съответни наблюдатели.

M. Известните гравюри на К. Ешер Circle Limit III Archived 2009-03-18 at the Wayback Machine и Circle Limit IV Archived 2009-03-18 at the Wayback Machine илюстрират доста добре конформния модел на диска. И на двете могат да се видят геодезичните линии. (В III белите линии не са геодезични, а хиперцикли, които минават покрай тях.) Също така може да се види съвсем ясно отрицателната кривина на хиперболичната равнина чрез ефекта ѝ върху сумата от ъглите в триъгълниците и квадратите.

В Евклидовата равнина ъглите им биха били общо 450°, т.е. кръг и четвърт. Оттук виждаме, че сборът от ъглите на един триъгълник в хиперболичната равнина трябва да е по-малък от 180°. Друго видимо свойство е експоненциалният растеж. В "Предел на кръга IV" например може да се види, че броят на ангелите и демоните Archived 2009-03-18 at Wayback Machine на разстояние n от центъра нараства експоненциално. Демоните имат еднаква хиперболична площ, така че площта на кълбо с радиус n трябва да нараства експоненциално в n.

Съществуват няколко начина за физическа реализация на хиперболична равнина (или нейно приближение). Особено известен хартиен модел, базиран на псевдосфера, се дължи на Уилям Търстън. Изкуството на плетене на една кука е използвано за демонстриране на хиперболични равнини, като първата е изработена от Дайна Таймина. През 2000 г. Кийт Хендерсън демонстрира бърз за изработване хартиен модел, наречен "хиперболична футболна топка".

• Coxeter, H. S. M. (1942) Non-Euclidean geometry, University of Toronto Press, Toronto
• Николай И. Лобачевски, Пангеометрия, преводач и редактор: Пападопулос, поредица "Наследство на европейската математика", том 4, Европейско математическо общество, 2010 г.
• Milnor, John W. (1982) Hyperbolic geometry: (Първите 150 години), Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.), том 6, брой 1, стр. 9-24.
• Рейнолдс, Уилям Ф. (1993) Хиперболична геометрия върху хиперболоид, American Mathematical Monthly 100:442-455.
• Стилвел, Джон. (1996) Източници в хиперболичната геометрия, том 10 от поредицата "История на математиката" на AMS/LMS.
• Самюълс, Дейвид. (март 2006 г.) Knit Theory Discover Magazine, том 27, брой 3.
• Джеймс У. Андерсън, Хиперболична геометрия, Springer 2005, ISBN 1-85233-934-9