Хиперболична геометрия | неевклидова геометрия

Формално определение

Постулатът за паралела в евклидовата геометрия гласи, че в двумерното пространство за всяка дадена линия l и точка P, която не е на l, има точно една линия през P, която не пресича l. Тази линия се нарича паралелна на l. В хиперболичната геометрия има поне две такива линии през P. Тъй като те не пресичат l, постулатът за паралела е неверен. В рамките на Евклидовата геометрия са построени модели, които се подчиняват на аксиомите на хиперболичната геометрия. Тези модели доказват, че паралелният постулат е независим от другите постулати на Евклид.

Тъй като няма хиперболичен аналог на евклидовите успоредни линии, хиперболичната употреба на паралелни и свързани с тях термини варира при различните автори. В тази статия двете гранични линии се наричат асимптотични, а линиите, които имат общ перпендикуляр, се наричат ултрапаралелни; простата дума паралел може да се прилага и за двете.

 
Линии, минаващи през дадена точка P и асимптотични на линия l.  

Непресичащи се линии

Интересно свойство на хиперболичната геометрия произтича от наличието на повече от една успоредна линия през точка P: има два класа несекващи линии. Нека B е точката върху l, така че линията PB да е перпендикулярна на l. Да разгледаме линията x през P, така че x да не пресича l, а ъгълът θ между PB и x обратно на часовниковата стрелка от PB да е възможно най-малък; т.е. всеки по-малък ъгъл ще принуди линията да пресече l. Това се нарича асимптотична линия в хиперболичната геометрия. Симетрично, линията y, която образува същия ъгъл θ между PB и себе си, но по посока на часовниковата стрелка от PB, също ще бъде асимптотична. x и y са единствените две линии, асимптотични на l през P. Всички други линии през P, които не пресичат l, с ъгли, по-големи от θ с PB, се наричат ултрапаралелни (или дисекционно успоредни) на l. Обърнете внимание, че тъй като съществуват безкрайно много възможни ъгли между θ и 90 градуса и всеки от тях ще определи две прави през P и дисоциално успоредни на l, съществуват безкрайно много ултрапаралелни прави.

По този начин получаваме тази модифицирана форма на паралелния постулат: В хиперболичната геометрия, при дадена линия l и точка P, която не лежи на l, има точно две прави през P, които са асимптотични на l, и безкрайно много прави през P, които са ултрапаралелни на l.

Разликите между тези видове линии могат да бъдат разгледани и по следния начин: разстоянието между асимптотичните линии се изчерпва до нула в едната посока и нараства без ограничение в другата; разстоянието между ултрапаралелните линии нараства и в двете посоки. Теоремата за ултрапаралелните линии гласи, че в хиперболичната равнина има уникална линия, която е перпендикулярна на всяка от дадена двойка ултрапаралелни линии.

В Евклидовата геометрия ъгълът на успоредност е константа, т.е. всяко разстояние ‖ B P ‖ {\displaystyle \lVert BP\rVert } между успоредни линии дава ъгъл на успоредност, равен на 90°. В хиперболичната геометрия ъгълът на успоредност се променя с функцията Π ( p ) {\displaystyle \Pi (p)} . Тази функция, описана от Николай Иванович Лобачевски, дава уникален ъгъл на успоредност за всяко разстояние p = ‖ B P ‖ {\displaystyle p=\lVert BP\rVert } . С намаляване на разстоянието Π ( p ) {\displaystyle \Pi (p)} се приближава към 90°, докато с увеличаване на разстоянието Π ( p ) {\displaystyle \Pi (p)} се приближава към 0°. По този начин с намаляване на разстоянията хиперболичната равнина все повече прилича на Евклидовата геометрия. Наистина, при малки мащаби в сравнение с 1 - K {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {-K}}}} , където K {\displaystyle K\!} е (постоянната) Гаусова кривина на равнината, наблюдателят трудно би определил дали се намира в Евклидовата или в хиперболичната равнина.

 

История

В продължение на векове геометрите се опитват да докажат постулата за паралелите. Те не успяват, но усилията им довеждат до появата на хиперболичната геометрия. Теоремите на Алхасен и Хайям за четириъгълниците са първите теореми за хиперболичната геометрия. Техните трудове по хиперболична геометрия оказват влияние върху развитието ѝ сред по-късните европейски геометри, включително Витело, Алфонсо и Джон Уолис.

През XIX в. хиперболичната геометрия е изследвана от Янош Боляй и Николай Иванович Лобачевски, на чието име понякога е наричана. Лобачевски публикува през 1830 г., а Боляй я открива самостоятелно и публикува през 1832 г. Карл Фридрих Гаус също изучава хиперболичната геометрия, като в писмо до Таурин от 1824 г. описва, че я е конструирал, но не публикува работата си. През 1868 г. Еудженио Белтрами предоставя нейни модели и използва това, за да докаже, че хиперболичната геометрия е последователна, ако Евклидовата геометрия е такава.

Терминът "хиперболична геометрия" е въведен от Феликс Клайн през 1871 г. За повече информация вижте статията за неевклидовата геометрия.

 

Модели на хиперболичната равнина

Съществуват три модела, които обикновено се използват за хиперболичната геометрия: моделът на Клайн, моделът на диска на Поанкаре и моделът на Лоренц или хиперболоидният модел. Тези модели определят реално хиперболично пространство, което отговаря на аксиомите на хиперболичната геометрия. Въпреки наименованията, двата модела на диска и моделът на полуплоскостта са въведени като модели на хиперболичното пространство от Белтрами, а не от Поанкаре или Клайн.

1. Моделът на Клайн, известен още като модел на проективния диск и модел на Белтрами-Клайн, използва вътрешността на кръг за хиперболична равнина, а хордите на кръга - за линии.
2. Моделът на Поанкаре на половината равнина приема половината от Евклидовата равнина, определена от Евклидовата линия B, за хиперболична равнина (самата B не е включена).
• Тогава хиперболичните линии са или полукръгове, перпендикулярни на B, или лъчи, перпендикулярни на B.
• И двата модела на Поанкаре запазват хиперболичните ъгли и по този начин са конформни. Следователно всички изометрии в рамките на тези модели са трансформации на Мьобиус.
• Моделът на полуплоскостта е идентичен (на границата) с модела на диска на Поанкаре в края на диска
• Този модел има пряко приложение в специалната теория на относителността, тъй като 3-пространството на Минковски е модел на пространство-времето, в който се потиска едно пространствено измерение. Може да се приеме, че хиперболоидът представлява събитията, които различни движещи се наблюдатели, излъчващи се навън в пространствена равнина от една точка, ще достигнат за определено време. Хиперболичното разстояние между две точки на хиперболоида може да се идентифицира с относителната скорост между двамата съответни наблюдатели.

 
Модел на диска на Поанкаре на голяма ромбоидна плочка {3,7}  

Визуализиране на хиперболична геометрия

M. Известните гравюри на К. Ешер Circle Limit III Archived 2009-03-18 at the Wayback Machine и Circle Limit IV Archived 2009-03-18 at the Wayback Machine илюстрират доста добре конформния модел на диска. И на двете могат да се видят геодезичните линии. (В III белите линии не са геодезични, а хиперцикли, които минават покрай тях.) Също така може да се види съвсем ясно отрицателната кривина на хиперболичната равнина чрез ефекта ѝ върху сумата от ъглите в триъгълниците и квадратите.

В Евклидовата равнина ъглите им биха били общо 450°, т.е. кръг и четвърт. Оттук виждаме, че сборът от ъглите на един триъгълник в хиперболичната равнина трябва да е по-малък от 180°. Друго видимо свойство е експоненциалният растеж. В "Предел на кръга IV" например може да се види, че броят на ангелите и демоните Archived 2009-03-18 at Wayback Machine на разстояние n от центъра нараства експоненциално. Демоните имат еднаква хиперболична площ, така че площта на кълбо с радиус n трябва да нараства експоненциално в n.

Съществуват няколко начина за физическа реализация на хиперболична равнина (или нейно приближение). Особено известен хартиен модел, базиран на псевдосфера, се дължи на Уилям Търстън. Изкуството на плетене на една кука е използвано за демонстриране на хиперболични равнини, като първата е изработена от Дайна Таймина. През 2000 г. Кийт Хендерсън демонстрира бърз за изработване хартиен модел, наречен "хиперболична футболна топка".

 
Колекция от плетени на една кука хиперболични плоскости, имитиращи коралов риф, от Института за фигуриране  

Литература

• Coxeter, H. S. M. (1942) Non-Euclidean geometry, University of Toronto Press, Toronto
• Николай И. Лобачевски, Пангеометрия, преводач и редактор: Пападопулос, поредица "Наследство на европейската математика", том 4, Европейско математическо общество, 2010 г.
• Milnor, John W. (1982) Hyperbolic geometry: (Първите 150 години), Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.), том 6, брой 1, стр. 9-24.
• Рейнолдс, Уилям Ф. (1993) Хиперболична геометрия върху хиперболоид, American Mathematical Monthly 100:442-455.
• Стилвел, Джон. (1996) Източници в хиперболичната геометрия, том 10 от поредицата "История на математиката" на AMS/LMS.
• Самюълс, Дейвид. (март 2006 г.) Knit Theory Discover Magazine, том 27, брой 3.
• Джеймс У. Андерсън, Хиперболична геометрия, Springer 2005, ISBN 1-85233-934-9