Еудженио Белтрами (16 ноември 1835 г. - 18 февруари 1900 г.) е италиански математик, известен с работата си върху неевклидовата геометрия, електричеството и магнетизма.

Роден е в Кремона, Ломбардия, тогава част от Австрийската империя, а днес част от Италия. Белтрами започва да учи математика в университета в Павия през 1853 г., но е принуден да прекъсне обучението си през 1856 г. поради финансови затруднения. Назначен е за професор в Болонския университет през 1862 г. - годината, в която публикува първата си статия. По-късно Белтрами преподава в университетите в Пиза, Рим и Павия. Умира в Рим през 1900 г.

През 1868 г. (в "Есе за тълкуването на неевклидовата геометрия") Белтрами дава първия модел на хиперболичната геометрия. В модела на Белтрами линиите на хиперболичната геометрия са представени чрез геодезични линии върху псевдосферата. По този начин Белтрами предоставя първото доказателство, че паралелният постулат на Евклид не може да бъде изведен от другите аксиоми на Евклидовата геометрия.

Развитие и значение на модела

Моделът на Белтрами използва повърхността, наречена псевдосфера (построена като повърхнина на въртене на трактрикс), която има постоянна отрицателна Гаусова кривина. В този контекст точките и правите (геодезичните линии) на хиперболичната равнина се интерпретират като точки и геодезични криви върху псевдосферата; метричните и ъгловите отношения съвпадат локално. Това показва, че ако евклидовата геометрия е свободна от противоречия, то и хиперболичната геометрия е относително непротиворечива.

Важно ограничение на този модел е, че псевдосферата не дава глобален (пълен) модел на цялата хиперболична равнина — тя притежава края и сингулярности, вследствие на което моделът е валиден само локално. По-късно други математици, като Клайн и Пуанкаре, ще предложат модели (дисковия модел на Пуанкаре, моделите на Клайн и Пуанкаре в горна полуплоскост и диск), които са глобално по-удобни и пълни за теоретична употреба и изследване.

Други приноси и дейност

  • Диференциална геометрия: Белтрами изследва въпроси, свързани с теориите за повърхнини и кривини, и развива техники в изучаването на повърхности със специфична Гаусова кривина.
  • Математически анализ и уравнения: работи върху линейни частни диференциални уравнения и техните приложения.
  • Физически изследвания: публикува и трудове по електричество и магнетизъм, както и по въпроси от приложната математика и механиката.

Наследство

Белтрами остава ключова фигура в историята на геометрията, защото неговото доказателство за относителната консистентност на неевклидовите системи премахва дълго съществувалото усещане за мистерия около паралелния постулат. Неговата работа подготвя почвата за по-нататъшното формално изучаване на модели на геометрии с постоянна отрицателна кривина и оказва влияние върху развитието на модерната геометрия и математическата логика.

Белтрами е пример за математик, който комбинира чисто теоретични идеи с внимание към конкретни модели и приложения — както в чистата геометрия, така и в физическите науки.