Последната теорема на Ферма: формулировка, история и доказателство

Последната теорема на Ферма: формулировка, история и революционно доказателство — от Ферма до Уайлс. Разберете ключовите идеи, значението и хронологията на решението.

Автор: Leandro Alegsa

19-12-2025 12:37

Последната теорема на Ферма или FLT е много известна идея в математиката. Тя гласи, че:

Ако n {\displaystyle n} е цяло число, по-голямо от 2, тогава уравнението $x^{n}+y^{n}=z^{n}$ няма решения, когато x, y и z са естествени числа.

Или,

Невъзможно е да се изразят с цели числа два куба, които събрани са равни на трети куб. Нещо повече, това е невъзможно и с всичко, което е по-високо от квадрат.

Това означава, че няма примери, в които x {\displaystyle x} , y {\displaystyle y} и z {\displaystyle z} $z$ са естествени числа, т.е. цели числа, по-големи от нула, и в които n {\displaystyle n} е цяло число, по-голямо от 2. Пиер дьо Ферма пише за това през 1637 г. в своя екземпляр на книга, наречена Arithmetica. Той казал: "Имам доказателство на тази теорема, но в това поле няма достатъчно място". В продължение на 357 години обаче не е намерено правилно доказателство. Най-накрая тя е доказана през 1995 г. Повечето математици не смятат, че Ферма всъщност някога е имал доказателство за тази теорема в полето.

В оригинал задачата е следната:

Cubum autem in duos cubos, aut quadratoquadratum in duos quadratoquadratos & generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos eiusdem nominis fas est dividere cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet.

По-пълна формулировка

Формулата на Последната теорема на Ферма може да се даде по-точно така: няма ненулеви цели числа x, y, z и цяло n > 2, такива че xⁿ + yⁿ = zⁿ. Стандартно при разглеждане се предполага, че решението е примитивно (т.е. x, y, z са взаимно прости), защото общ общ делител може да бъде изваден.

Кратка историческа справка и важни частични резултати

1637 г. — Пиер дьо Ферма записва прочутата бележка в полето на Arithmetica, от която произлиза името "Последната теорема на Ферма".
XVII–XVIII в. — Ферма сам доказва случая n = 4, като прилага метода на безкрайния низходящ ред (infinite descent). Това позволява да се намали общият случай до простите степени (достатъчно е да се разглеждат простите n).
1770-те — Леонард Ойлер дава доказателство за случая n = 3.
XIX в. — развитие на теорията на числата: Софие Жермен, Коши и по-късно Е. Кюмер доказват множество частични резултати. Кюмер (Kummer) въвежда идеята за идеалните числа и доказва теоремата за "регулярни" прости числа, т.е. за много конкретни случаи на n.
XX в. — натрупани са много частични доказателства и компютърни проверки за голям набор от стойности на n.

Ключов пробив през XX век — връзката с елиптичните криви и модулярните форми

Прочутото окончателно доказателство на Последната теорема на Ферма не е "елементарно", а е следствие от дълбока връзка между две области: теория на елиптичните криви и теория на модулярните форми (модулярна теория). Основните стъпки бяха:

1980-те — Жермен и особено Жером Фре (Germaine? Actually Jean-Pierre Serre suggested and Gerhard Frey proposed) предложат идеята, че ако съществува нетривиално решение на xⁿ + yⁿ = zⁿ, може да се свърже т.нар. "Frey крива" — специална елиптична крива, която би имала редки свойства.
1986 — Кенет Рибе (Ken Ribet) доказва, че ако подобна Frey крива съществува, то тя би била немодулярна, което би ставало в противоречие с предполагаемата модулярност (точно формулираното ниво-понижаващо твърдение позволява тази стъпка).
1993–1994 — Андрю Уайлс (Andrew Wiles) доказва модулярността за семистабилни елиптични криви (с помощта и на Ричард Тейлър за корекцията). Тъй като Frey кривата е семистабилна, резултатът на Уайлс и Рибе дават противоречие с допускането за съществуване на решение на уравнението. Оттук следва, че не могат да съществуват нетривиални цели решения за n > 2.
1995 — окончателните научни публикации с корекции (Taylor–Wiles и последващи работи) оформят пълното признато доказателство. По-късно, в началото на XXI в., група математици (Breuil, Conrad, Diamond, Taylor и др.) довършват пълната модулярност (модулярна теорема) за всички елиптични криви над Q.

Накратко за идеята на доказателството

Стратегията на доказателството е непряка (доказване чрез противоречие):

Предположи, че съществува нетривиално примитивно решение (x, y, z) за някое просто n > 2.
Свържи към това решение специална елиптична крива (Frey крива), чиито арифметични свойства изглеждат "необичайни" и която би трябвало да бъде немодулярна.
Ако се приеме Модулярната (Таниям–Шимура, по-късно Модулярната теорема), всяка такава елиптична крива трябва да бъде модулярна. Рибет показва, че Frey кривата би нарушавала това, тоест съществуването ѝ противоречи на модулярността.
Уайлс доказва модулярността за нужния клас елиптични криви (семистабилни), следователно Frey кривата не може да съществува, което означава, че първоначалното уравнение няма нетривиални цели решения.

Значение и последици

Последната теорема на Ферма има голямо историческо и концептуално значение. Тя стимулира развитието на теорията на числата и доведе до дълбоки връзки между аритметика, геометрия и аналитични методи. Доказателството на Уайлс е пример за това как едно класическо проблемче от аритметиката може да бъде решено чрез техники от модерната алгебрична геометрия и теория на модулните форми.

Защо Ферма вероятно не е имал общо доказателство

В историческата бележка Ферма твърди, че има "чудесно доказателство", но не оставя подробности. Повечето съвременни историци и математици считат, че Ферма е имал доказателство само за частни случаи (например n = 4), а не за цялата теорема за всички n > 2. Общото доказателство, както видяхме, използва много хомогенни за XIX–XX век идеи, които през XVII век не са били развити.

Допълнителни бележки

Случаят n = 2 е класическата теорема на Питагор — има безброй цели решения (Питагорови тройки).
При разглеждане на проблеми често се работи с примитивни решения (x, y, z взаимно прости) и с редукцията до простите степени n.
Доказателството на Уайлс не е "елементарно" и не прилича на методите, използвани от Ферма; то е резултат от комбиниране на много дълбоки области на модерната математика.

Ако желаете, мога да добавя по-подробна хронология с имената и годините на ключовите приноси, или да дам по-техническа, но все пак разбираема, схема на конструкцията на Frey-кривата и на аргументите на Рибет и Уайлс.

Пиер дьо Ферма

Преглед

Последната теорема на Ферма е по-обща форма на Питагоровата теорема, която представлява уравнение, което казва:

$a^{2}+b^{2}=c^{2}$

Когато a {\displaystyle a} , b {\displaystyle b} $b$ и c {\displaystyle c} $c$ са цели числа, това се нарича "Питагорова тройка". Например, $3^{2}+4^{2}=9+16=25$ , и тъй като ${\sqrt[{2}]{25}}=5$ , можем да кажем, че $3^{2}+4^{2}=5^{2}$ е питагорова тройка. Последната теорема на Ферма преписва това като

$x^{n}+y^{n}=z^{n}$

и твърди, че ако направите n {\displaystyle n} по-голямо цяло число от 2, тогава a {\displaystyle a} , b {\displaystyle b} $b$ и c {\displaystyle c} $c$ не могат да бъдат естествени числа. Например, $3^{3}+4^{3}=27+64=91$ и ${\sqrt[{3}]{91}}=4.49794144528$ , и така $3^{3}+4^{3}=4.49794144528^{3}$ е пример, който потвърждава това.

За квадратичното уравнение

x и y са две неизвестни суми, които сумират въображаемата трета сума z. Въпреки че има 4 члена: n, x, y и z, n е функция, която сумира общата сума на неизвестните суми. Нулата липсва в това уравнение по правилото "1 плюс 1 е 2 и не повече", написано 1+1=2+0.

За пояснение: известно е, че n е сума.

Доказателство

Доказателството е направено за някои стойности на n {\displaystyle n} , като например n = 3 {\displaystyle n=3} $n=3$ , n = 4 {\displaystyle n=4} $n=4$ , n = 5 {\displaystyle n=5} $n=5$ и n = 7 {\displaystyle n=7} $n=7$ , с което са се занимавали много математици, включително Ферма, Ойлер и Софи Жермен. Тъй като обаче има безкраен брой питагорови тройки, тъй като числата се броят нагоре завинаги, това прави Последната теорема на Ферма трудна за доказване или опровергаване; пълното доказателство трябва да покаже, че уравнението няма решение за всички стойности на n {\displaystyle n} (когато n {\displaystyle n} е цяло число, по-голямо от 2), но не е възможно просто да се провери всяка комбинация от числа, ако те продължават завинаги.

Английски математик на име Андрю Уайлс намира решение през 1995 г., 358 години след като Ферма го е написал. Ричард Тейлър му помага да намери решението. Доказателството отнема осем години изследвания. Той доказал теоремата, като първо доказал теоремата за модуларността, която тогава се наричала предположението на Танияма-Шимура. Използвайки теоремата на Рибе, той успял да даде доказателство за Последната теорема на Ферма. През юни 1997 г. получава наградата "Волфскел" от Академията в Гьотинген: тя възлиза на около 50 000 щатски долара.

След няколко години дебати хората се съгласиха, че Андрю Уайлс е решил проблема. Андрю Уайлс е използвал много съвременни математически методи и дори е създал нови математически методи, когато е направил своето решение. Тази математика не е била позната, когато Ферма е написал известната си бележка, така че дьо Ферма не е могъл да я използва. Това навежда на мисълта, че дьо Ферма всъщност не е имал пълно решение на задачата.

Критика на доказателствата

През 1995 г. Вос Савант пише, че доказателството на Уайлс трябва да бъде отхвърлено заради използването на неевклидова геометрия. Според нея "веригата на доказателството се основава на хиперболична (Лобачевска) геометрия" и тъй като тази геометрия позволява неща като квадратиране на окръжността, което е "известна невъзможност", въпреки че е възможно в хиперболичната геометрия, то "ако отхвърлим хиперболичния метод за квадратиране на окръжността, трябва да отхвърлим и хиперболичното доказателство на последната теорема на Ферма".

Доказателство без елиптични

Когато е известно, че n събира две редови стойности, то не може да надхвърля пресметнатата стойност 2, ако по-голямата се приеме за 1 единица.

Британският математик Андрю Уайлс

Обобщение

Обобщаващата хипотеза на Бил, или хипотезата на Бил, поставена от инвеститора Андрю Бил, задава въпроса защо в уравнения като това, с обща форма aˣ+bʸ=cᶻ, винаги има общи фактори (като клетките в батериите).

Още четене

Aczel, Amir (30 септември 1996 г.). Последната теорема на Ферма: разкриване на тайната на един древен математически проблем. Четири стени осем прозореца. ISBN 978-1-568-58077-7.
Friberg, Joran (2007 г.). Удивителни следи от вавилонски произход в гръцката математика. World Scientific Publishing Company. ISBN 978-9812704528.
Kleiner I (2000 г.). "От Ферма до Уайлс: Последната теорема на Ферма се превръща в теорема" (PDF). Elem. Math. 55: 19-37. doi:10.1007/PL00000079. S2CID 53319514. Архивирано от оригинала (PDF) на 2012-02-19. Извлечено 2011-08-17.
Mordell L.J. (1921). Три лекции върху последната теорема на Ферма. Cambridge: Cambridge University Press.
Панчишкин, Алексей Алексеевич (2007 г.). Въведение в съвременната теория на числата (Енциклопедия на математическите науки. Шпрингер Берлин Хайделберг Ню Йорк. ISBN 978-3-540-20364-3.
Ribenboim P (2000). Последната теорема на Ферма за аматьори. Ню Йорк: Springer-Verlag. ISBN 978-0387985084.
Сингх, Саймън (октомври 1998 г.). Загадката на Ферма. Ню Йорк: Anchor Books. ISBN 978-0-385-49362-8.

Въпроси и отговори

В: Какво представлява последната теорема на Ферма?

О: Последната теорема на Ферма (FLT) гласи, че ако n е цяло число, по-голямо от 2, то уравнението x^n + y^n = z^n няма решения, когато x, y и z са естествени числа. С други думи, не е възможно да се изразят с цели числа два куба, които събрани са равни на трети куб или на нещо по-високо от квадрати.

Въпрос: Кога е написан FLT?

О: Пиер дьо Ферма пише за FLT през 1637 г. в своя екземпляр от книга, наречена Arithmetica.

В: Какво казва Ферма за теоремата?

О: Той казал: "Имам доказателство за тази теорема, но в това поле няма достатъчно място".

Въпрос: Колко време е отнело доказването на FLT?

О: Отне 357 години, за да бъде доказана правилно FLT; най-накрая това беше направено през 1995 г.

Въпрос: Смятат ли математиците, че Ферма е имал действително доказателство на теоремата?

О: Повечето математици не смятат, че Ферма действително е имал доказателство на тази теорема.

В: Какво гласи първоначалната задача?

О: Първоначалната задача гласи, че е невъзможно да се раздели cubum autem (куб) на два куба или quadratoquadratum (квадрат) на два квадрата и изобщо нищо извън квадратите не може да се раздели на две едноименни, като демонстрацията е забележителна, но твърде голяма за размера на полето.

обискирам