Алгебрично решение — определение, формули и теорема Абел-Руфини

Алгебрично решение: дефиниция, формули за квадратни, кубични и квартични уравнения и теоремата на Абел–Руфини за невъзможност при n ≥ 5.

Алгебричното решение е алгебричен израз за корен на алгебрично уравнение по отношение на коефициентите на променливите. То се получава само чрез крайно множество от операции: събиране, изваждане, умножение, деление и извличане на корени (квадратни, кубични, n‑ти корени и т.н.). Такива изрази често се наричат също радикали или решения чрез радикали.

Определение и свойства

• Алгебрично решение (чрез радикали) — израз, който се получава от коефициентите на уравнението чрез поредица от гореизброените операции и вложени (неколичествени) корени.
• В общия случай извличането на корени включва избор на клонове в комплексните числа; поради това едно уравнение може да има няколко еквивалентни форми на алгебричното си решение в зависимост от подбора на корените.
• Алгебричното решение трябва да бъде изразено само чрез основните аритметични операции и коренови операции — не са позволени функции като експонента, логаритъма, тригонометрични или други трансцендентни функции.

Класически примери

Най-известният пример е общото квадратно уравнение. Формулата за корените е:

x = - b ± b 2 - 4 a c 2 a , {\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}},}

a x 2 + b x + c = 0 {\displaystyle ax^{2}+bx+c=0\,}

(където a ≠ 0).

За общото кубично и квартично уравнение също съществуват формули чрез радикали (методите на Кардано за кубичното и на Ферари за четвъртопроизводното), но те са много по-сложни отколкото квадратичната формула.

Теоремата на Абел‑Руфини

Теоремата на Абел‑Руфини (понякога посочвана като просто теорема на Абел) гласи, че общото квинтично уравнение няма алгебрично решение чрез радикали. Това означава, че полином от степен n с произволни (символични) коефициенти не може генерално да се реши чрез крайна последователност от операции +, −, ×, ÷ и извличане на корени, когато n ≥ 5.

По-точно: няма формула, даваща корените на общия полином от степен 5 (или по-висока) като рационални комбинации и вграждания на коренови операции върху коефициентите. Това не пречи някои специални пето- или по‑високо степенни уравнения да бъдат решими чрез радикали — въпросът е за общия случай с произволни коефициенти.

Причина и свързаност с теория на Галоа

• Съвременната интерпретация използва теорията на Галоа: едно полиномно уравнение е решимо чрез радикали точно когато неговата Галоа група е разрешима (solvable) група.
• За степен ≤ 4 Галоа групите на "общия" полином са разрешими, което обяснява съществуването на формули чрез радикали. За степен 5 и повече общата Галоа група е симетричната група S_n, която за n ≥ 5 не е разрешима, откъдето следва невъзможността за обща формула чрез радикали.

Изключения и примери на разрешими случаи

• Някои специфични пето- или по‑високо степенни полиноми имат алгебрични решения — например полиноми с особена симетрия или такива, чиито Галоа групи са разрешими.
• Цикломични уравнения (напр. x^n = 1) и уравнения от вида x^m = a могат да се решат чрез корени: например уравнението x 10 = a {\displaystyle x^{10}=a} има явен радикален корен x = a 1/10 . {\displaystyle x=a^{1/10}. }
• Други примери: уравнения, които чрез линейни или алгебрични промени на променливата се привеждат към вид с по‑малка Галоа група, могат да бъдат решими чрез радикали.

Кратка историческа бележка

• Първи опити за общи формули за корените на полиноми правят Ръфини (Paolo Ruffini) и Абел (Niels Henrik Abel) — Абел формално доказва невъзможността за общо решение на квинтичните уравнения чрез радикали. По‑късно концепцията е систематизирана от Еварист Галуа, който свързва въпроса със структурата на Галоа групите.

Заключение

Алгебричното решение (чрез радикали) дава мощен инструмент за решаване на полиноми до четвърта степен включително. Теоремата на Абел‑Руфини поставя граница на този подход за общите случаи при степени ≥ 5, но изучаването на специални случаи, галоа групи и алтернативни функции (например елиптични функции при някои равенства от степен 5) остава активна и богата област в математиката.

Въпроси и отговори

В: Какво е алгебрично решение?

Въпрос: Кой е добре познатият пример за алгебрично решение?

В: Има ли по-сложно решение за уравнения от по-висока степен?

В: Всяко полиномно уравнение ли има алгебрично решение?

Въпрос: Съществуват ли условия, при които можем да получим алгебрично решение за уравнения от по-висока степен?

В: Как се решава квадратно уравнение?

Търсене по буква