Алгебрично (полиномно) уравнение — дефиниция, примери и свойства

Алгебрично (полиномно) уравнение — дефиниция, примери и свойства: ясно обяснение, методи за решаване, диофантови и комплексни решения с илюстративни примери и приложения.

В математиката алгебрично уравнение, наричано още полиномно уравнение в дадено поле, е уравнение от вида

P = Q {\displaystyle P=Q}

където P и Q са полиноми над това поле и имат една (едномерна) или повече от една (многомерна) променлива. Така понятието обхваща както класическите уравнения с една променлива (напр. квадратични, кубични и т.н.), така и системи или уравнения с няколко променливи.

Пример

Например:

y 4 + x y 2 = x 3 3 - x y 2 + y 2 - 1 7 {\displaystyle y^{4}+{\frac {xy}{2}}={\frac {x^{3}}{3}}-xy^{2}+y^{2}-{\frac {1}{7}}}}

е алгебрично уравнение над рационалните числа. Ако всички коефициенти лежат в поле K (напр. рационални, реални или комплексни числа), казваме, че уравнението е над това поле.

Еквивалентност и преобразуване

Две уравнения се наричат еквивалентни, ако имат един и същ набор от решения. Това означава, че всички решения на второто уравнение трябва да са решения и на първото и обратно. Уравнението P = Q {\displaystyle P=Q} е еквивалентно на P - Q = 0 {\displaystyle P-Q=0}. Следователно изучаването на алгебричните уравнения често се свежда до изучаване на полиномите и тяхната нулева множина.

Ако едно алгебрично уравнение е в областта на рационалните числа, то винаги може да се преобразува в еквивалентно уравнение, където всички коефициенти са цели числа. За целта се умножава с общ знаменател (най-малкото общо кратно на знаменателите на коефициентите). В примера по-горе умножихме по 42 = 2·3·7 и групирахме членовете, получавайки

42 y 4 + 21 x y - 14 x 3 + 42 x y 2 - 42 y 2 + 6 = 0 {\displaystyle 42y^{4}+21xy-14x^{3}+42xy^{2}-42y^{2}+6=0}

Така получените цели коефициенти улесняват прилагането на теореми и алгоритми за намиране на рационални или цели решения.

Решения и корени

Решенията на едно уравнение са стойностите на променливите (една или няколко), за които уравнението е вярно. При полиномите за едномерни уравнения често говорим за корени на полинома — стойности x, за които полиномът приема стойност 0. За многомерни полиноми (с няколко променливи) решенията са т.нар. точки на нулевата множина (напр. точки от алгебрично множество или многообразие).

Важно е да се уточни над кое множество търсим решенията: над целите числа, рационалните, реалните или комплексните числа. Например, ако търсим решения в целите числа, тогава уравнението става диофантово и подборът на методи е различен от случая, когато търсим решения в комплексните числа.

Степен, кратност и основни свойства

Степента (или редът) на полиномно уравнение е степента на полинома с най-голяма степен. Някои ключови понятия и резултати:

• Кратност на корен: Ако (x − a)^m дели полинома, то казваме, че a е корен от кратност m. Кратността влияе на поведението на графиката и при факторизация.
• Фундаментална теорема на алгебрата: Всеки ненулев комплексен едночленен полином от степен n има точно n корена в комплексните числа, ако се броят с кратности. Следователно всеки такъв полином се факторизира в произведение от линейни множители над C.
• Факторизация над полета: В зависимост от полето на коефициентите (Q, R, C или други полета) полиномът може да се разложи по различен начин — например над R всеки полином се факторизира в линейни и неприводими квадратични множители.

Методи за решаване

Подходите за решаване зависят от степента, броя променливи и полето на коефициентите. Често използвани методи:

• Факторизация: намиране на общи множители, спазмиране на формули (квадратна формула за n=2, методи за n=3, n=4 и пр.).
• Теореми за рационални корени: при полиноми с цели коефициенти рационалните корени са от вида делител на свободния член, делен на делител на водещия коефициент (теорема за рационалните корени).
• Алгоритмични методи: Еуклидов алгоритъм за НОД, изчислителна факторизация, алгоритми за решаване на системи от полиномни уравнения (Гробнерови базиси).
• Числени методи: Нютон-Рафсън, разделяне на интервали, методи за приближаване на комплексни корени; използват се когато затворена форма липсва или е трудна за намиране.
• Теоретични критерии: Теория на Галуа определя кога уравнението е решимо с помощта на радикали (решимост на Галуа групата дава критерий за „решимост чрез корени“).

Диофантови уравнения и полета

Когато коефициентите и търсените решения са ограничени до определено подмножество (напр. цели или рационални числа), задачата често става трудна и води до дълбоки теореми (Ферма, Хилберт–Диофантови проблеми и пр.). Различните полета дават различен контекст — например над комплексните числа имаме пълна факторизация, докато над Q или Z ситуацията е по-ограничена и по-интересна от аритметична гледна точка.

Многовариантни уравнения и алгебрични множества

За полиноми с повече от една променлива решаването на един полином означава намиране на геометрично място — алгебрично множество или алгебрична вариетета. Системи от полиномни уравнения дефинират пресичания на такива множества. Този подход е основата на алгебричната геометрия и има приложение в геометрията, теоретичната физика, криптографията и др.

Кратка историческа справка

Древните математици са търсили решения на едномерни уравнения чрез радикали. Пример е решението

x = 1 + 5 2 {\displaystyle x={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}

за положителното решение на

x 2 + x - 1 = 0 {\displaystyle x^{2}+x-1=0}

Древните египтяни и вавилонци умеели да решават квадратични уравнения. По-късно, през Ренесанса, Джероламо Кардано и други развиват методи за кубични и четвъртни уравнения (Лодовико Ферари). Накрая, Нилс Хенрик Абел доказва през 1824 г., че общо уравнение от пета степен или по-висока степен не може винаги да бъде решено чрез радикали. Теорията на Галуа, назована на Еварист Галоа, дава критерии за решимост на уравнения чрез радикали: уравнението е решимо чрез радикали точно когато неговата Галуа група е решима.

Заключение

Алгебричните (полиномни) уравнения са централен обект в алгебрата и геометрията, свързващ аритметика, теория на полета, числени методи и геометрични интерпретации. В зависимост от контекста — едномерно или многомерно, над Q, R или C — инструментите и трудността при намиране на решения се различават, а богатството от теории (като теория на Галуа и алгебрична геометрия) дава дълбоко разбиране на възможностите и ограниченията при решаването на тези уравнения.

Въпроси и отговори

В: Какво представлява алгебричното уравнение?

В: Как две уравнения могат да бъдат еквивалентни?

В: Какво означава да се реши едно уравнение?

Въпрос: Могат ли алгебричните уравнения върху рационални числа винаги да се преобразуват в такива с цели коефициенти?

Въпрос: Кога древните математици са искали радикални изрази за едномерни уравнения?

Въпрос: Кой е решавал уравнения от 3 и 4 степен през този период?

Въпрос: Кой доказва, че уравненията от по-висока степен невинаги могат да се решат с помощта на радикали?

Търсене по буква