Алгебрично уравнение
В математиката алгебрично уравнение, наричано още полиномно уравнение в дадено поле, е уравнение от вида
P = Q {\displaystyle P=Q} 
където P и Q са полиноми над това поле и имат една (едномерна) или повече от една (многомерна) променлива. Например:
y 4 + x y 2 = x 3 3 - x y 2 + y 2 - 1 7 {\displaystyle y^{4}+{\frac {xy}{2}}={\frac {x^{3}}{3}}-xy^{2}+y^{2}-{\frac {1}{7}}}} 
е алгебрично уравнение над рационалните числа.
Две уравнения се наричат еквивалентни, ако имат един и същ набор от решения. Това означава, че всички решения на второто уравнение трябва да са решения и на първото и обратно. Уравнението P = Q {\displaystyle P=Q} е еквивалентно на P - Q = 0 {\displaystyle P-Q=0}
. Така че изучаването на алгебричните уравнения е еквивалентно на изучаването на полиномите.
Ако едно алгебрично уравнение е в областта на рационалните числа, то винаги може да се преобразува в еквивалентно, където всички коефициенти са цели числа. Например, в даденото по-горе уравнение умножаваме по 42 = 2-3-7 и групираме членовете в първия член. Уравнението се преобразува в
42 y 4 + 21 x y - 14 x 3 + 42 x y 2 - 42 y 2 + 6 = 0 {\displaystyle 42y^{4}+21xy-14x^{3}+42xy^{2}-42y^{2}+6=0} 
Решенията на едно уравнение са стойностите на променливите, за които уравнението е вярно. Но при алгебричните уравнения има и корени. Когато решаваме едно уравнение, трябва да кажем в кое множество са допустими решенията. Например за едно уравнение над рационалните числа може да се намерят решения в целите числа. Тогава уравнението е диофантово уравнение. Може да се търсят решения и в областта на комплексните числа. Може да се търсят решения и в реалните числа.
Древните математици са искали решенията на едномерни уравнения (т.е. уравнения с една променлива) под формата на радикални изрази, като x = 1 + 5 2 {\displaystyle x={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}
за положителното решение на x 2 + x - 1 = 0 {\displaystyle x^{2}+x-1=0}
. Древните египтяни са знаели как да решават уравнения от степен 2 (т.е. уравнения, в които най-голямата степен на променливата е 2) по този начин. По време на Ренесанса Джероламо Кардано решава уравнение от степен 3, а Лодовико Ферари - уравнение от степен 4. Накрая Нилс Хенрик Абел доказва през 1824 г., че уравнението от степен 5 и уравненията от по-висока степен не винаги могат да бъдат решени с помощта на радикали. Теорията на Галоа, наречена на името на Еварист Галоа, е въведена, за да даде критерии, по които се решава дали едно уравнение е решимо с помощта на радикали.
Въпроси и отговори
В: Какво представлява алгебричното уравнение?
О: Алгебрично уравнение е уравнение от вида P = Q, където P и Q са полиноми над дадено поле с една или повече променливи.
В: Как две уравнения могат да бъдат еквивалентни?
О: Две уравнения се считат за еквивалентни, ако имат еднакъв набор от решения, което означава, че всички решения на едното трябва да са решения и на другото и обратно.
В: Какво означава да се реши едно уравнение?
О: Решаването на едно уравнение означава намиране на стойностите на променливите, които правят уравнението вярно. Тези стойности се наричат корени.
Въпрос: Могат ли алгебричните уравнения върху рационални числа винаги да се преобразуват в такива с цели коефициенти?
О: Да, чрез умножаване на двете страни с число, например 42 = 2-3-7, и групиране на членовете в първия член всяко алгебрично уравнение над рационални числа може да се превърне в уравнение с цели коефициенти.
Въпрос: Кога древните математици са искали радикални изрази за едномерни уравнения?
О: Древните математици са искали радикални изрази (като x=1+√5/2) за едномерни уравнения (уравнения с една променлива) през периода на Ренесанса.
Въпрос: Кой е решавал уравнения от 3 и 4 степен през този период?
О: Джероламо Кардано решава уравнения от степен 3, а Лодовико Ферари решава уравнения от степен 4 по това време.
Въпрос: Кой доказва, че уравненията от по-висока степен невинаги могат да се решат с помощта на радикали?
О: Нилс Хенрик Абел доказва през 1824 г., че уравненията от по-висока степен невинаги могат да се решават с помощта на радикали.
