Функция на плътността на вероятността (PDF): определение и свойства

Във вероятностите и статистиката функцията на плътността на вероятността е функция, която характеризира всяко непрекъснато разпределение на вероятността. За случайна променлива X функцията на плътността на вероятността на X понякога се записва като f X ( x ) {\displaystyle f_{X}(x)}. Интегралът на функцията на плътността на вероятността в интервала [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} дава вероятността дадена случайна променлива с дадената плътност да се съдържа в посочения интервал. По дефиниция функцията на плътността на вероятността е неотрицателна в цялата си област, и нейният интеграл през цялата стойностна област (обикновено R или подмножество от R) е равен на 1.

Основни свойства

• Неотрицателност: за всички x имаме f_X(x) ≥ 0 почти навсякъде (т.е. с изключение на множество с мярка нула).
• Нормировка: интегралът на плътността върху цялата област е 1: ∫ f_X(x) dx = 1. Това гарантира, че общата вероятност е 1.
• Вероятности за интервали: за всеки интервал [a, b] вероятността X да лежи в него се дава от интеграла ∫_a^b f_X(x) dx (при условие, че интегралите са с подходящата интерпретация).
• Отношение към функцията на разпределение (CDF): ако F_X(x) е функцията на разпределение, то F′_X(x) = f_X(x) за почти всички x, т.е. плътността е производна на CDF там, където CDF е диференцируема.
• Очаквания и моменти: математическото очакване на X се изчислява като E[X] = ∫ x f_X(x) dx, а моменти и функции на X — чрез съответните интеграли (при съществуване).
• Промяна на променливите: ако Y = g(X) и g е подходящо диференцируема, плътността на Y може да се намери чрез формулата за вероятностна трансформация (включваща абсолютната стойност на Якобиана при многомерни случаи).

Допълнителни пояснения и важни идеи

• Непрекъснато срещу дискретно: при непрекъснати разпределения вероятността отделна точка {x} обикновено има нулева вероятност; вероятности се определят чрез интеграли. За дискретни разпределения се използва функция на вероятностна маса (PMF), а не плътност.
• „Почти навсякъде“ и нулеви множества: условия като неотрицателност и равенство на интеграла до 1 се разбират в смисъл на Лебегова мярка — може да има изключения на множества с мярка нула, които нямат влияние върху вероятностните изчисления.
• Съвместни и маргинални плътности: за векторна случайна променлива (X, Y) има съвместна плътност f_X,Y(x,y). Маргиналната плътност на X се получава чрез интегриране по Y: f_X(x) = ∫ f_X,Y(x,y) dy. Независимостта на променливите се изразява чрез произведение на маргиналите: f_X,Y(x,y) = f_X(x) f_Y(y).
• Условни плътности: условната плътност на X при условие Y = y е f_X|Y(x|y) = f_X,Y(x,y) / f_Y(y), когато f_Y(y) > 0.
• Интерпретация на стойностите на плътността: стойността f_X(x) сама по себе си не е вероятност, а плътност (вероятност на единица дължина около x). По-голяма плътност в един регион означава по-голяма вероятност за попадане в малък интервал около него.

Често срещани непрекъснати разпределения

• Нормално разпределение (Gaussian): симетрично, описано от два параметъра — средна стойност и дисперсия.
• Унивърсално (равномерно) разпределение: постоянна плътност върху краен интервал и нула извън него.
• Експоненциално разпределение: използва се за моделиране на времена между събития при процес на Пуасон.
• Гамма, Бета, Cauchy и други — всяко има своя формула за плътността и специфични свойства.

Практически бележки

• В числени изчисления често се работи със сгъстяване (density) оценено от данни — например чрез ядрен метод (kernel density estimation).
• Преди да прилагате аналитични формули, уверете се, че съществуването на интегралите и моменти е гарантирано (някои разпределения нямат крайни моменти, напр. Cauchy не има дефинирано математическо очакване).

Тези понятия осигуряват основата за разбиране и използване на функцията на плътността на вероятността в приложни и теоретични задачи. За по-детайлно математическо третиране се използват инструменти от реален и функционален анализ, мярка и интеграл на Лебег.