Полярен втори момент на площта — дефиниция, формула и приложение

Забележка: В различните дисциплини терминът "инерционен момент" се използва за обозначаване на различни моменти. Във физиката инерционният момент е строго вторият момент на масата по отношение на разстоянието от една ос, който характеризира ъгловото ускорение на обекта, дължащо се на приложен въртящ момент. В инженерството (особено в машиностроенето и гражданското строителство) инерционният момент обикновено се отнася до втория момент на площта. Когато четете полярен инерционен момент, внимавайте да проверите дали се отнася за "полярен втори момент на площта", а не за инерционен момент. Полярният втори момент на площта ще има единици за дължина до четвъртата степен (например m 4 {\displaystyle m^{4}} $m^{4}$ или i n 4 {\displaystyle in^{4}} $in^{4}$ ), докато инерционният момент е маса, умножена по дължина на квадрат (например k g ∗ m 2 {\displaystyle kg*m^{2}} $kg*m^{2}$ или l b ∗ i n 2 {\displaystyle lb*in^{2}}). $lb*in^{2}$ ).

Полярният втори момент на площта (наричан още "полярен инерционен момент") е мярка за способността на обекта да се съпротивлява на усукване като функция на неговата форма. Той е един от аспектите на втория момент на площта, свързан чрез теоремата за перпендикулярната ос, където равнинният втори момент на площта използва формата на напречното сечение на гредата, за да опише нейната устойчивост на деформация (огъване), когато е подложена на сила, приложена в равнина, успоредна на неутралната ѝ ос, а полярният втори момент на площта използва формата на напречното сечение на гредата, за да опише нейната устойчивост на деформация (усукване), когато се прилага момент (въртящ момент) в равнина, перпендикулярна на неутралната ос на гредата. Докато равнинният втори момент на площта най-често се обозначава с буквата I {\displaystyle I} , полярният втори момент на площта най-често се обозначава с I z {\displaystyle I_{z}}. $I_{z}$ или с буквата J {\displaystyle J} $J$ , в учебниците по инженерни науки.

Изчислените стойности за полярния втори момент на площта най-често се използват за описание на устойчивостта на твърд или кух цилиндричен вал на усукване, както е при осите или задвижващите валове на превозните средства. Когато се прилагат към нецилиндрични греди или валове, изчисленията за полярния втори момент на площта стават погрешни поради деформацията на вала/гредите. В тези случаи трябва да се използва константа за усукване, при която към изчислението на стойността се добавя коригираща константа.

Полярният втори момент на площта пренася единиците за дължина до четвъртата степен ( L 4 {\displaystyle L^{4}} $L^{4}$ ); метрите до четвъртата степен ( m 4 {\displaystyle m^{4}} $m^{4}$ ) в метричната система единици и инчовете до четвъртата степен ( i n 4 {\displaystyle in^{4}} $in^{4}$ ) в имперската система единици. Математическата формула за директно изчисление се дава като кратен интеграл по площта на фигурата, R {\displaystyle R} $R$ , на разстояние ρ {\displaystyle \rho } $\rho$ от произволна ос O {\displaystyle O} $O$ .

J O = ∬ R ρ 2 d A {\displaystyle J_{O}=\iint \limits _{R}\rho ^{2}dA} $J_{O}=\iint \limits _{R}\rho ^{2}dA$ .

В най-прост вид полярният втори момент на площта е сбор от двата равнинни втори момента на площта, I x {\displaystyle I_{x}} $I_{x}$ и I y {\displaystyle I_{y}}. $I_{y}$ . Използвайки Питагоровата теорема, разстоянието от оста O {\displaystyle O} $O$ , ρ {\displaystyle \rho } $\rho$ , може да се раздели на компонентите x {\displaystyle x} $x$ и y {\displaystyle y} $y$ , а промяната в площта, d A {\displaystyle dA} $dA$ , разделена на компонентите x {\displaystyle x} $x$ и y {\displaystyle y} $y$ , d x {\displaystyle dx} $dx$ и d y {\displaystyle dy} $dy$ .

Дадени са двете формули за равнинните втори моменти на площта:

I x = ∬ R x 2 d x d y {\displaystyle I_{x}=\iint \limits _{R}x^{2}dxdy} $I_{x}=\iint \limits _{R}x^{2}dxdy$ и I y = ∬ R y 2 d x d y {\displaystyle I_{y}=\iint \limits _{R}y^{2}dxdy} $I_{y}=\iint \limits _{R}y^{2}dxdy$

Връзката с полярния втори момент на площта може да се покаже по следния начин:

J O = ∬ R ρ 2 d A {\displaystyle J_{O}=\iint \limits _{R}\rho ^{2}dA} $J_{O}=\iint \limits _{R}\rho ^{2}dA$

J O = ∬ R ( x 2 + y 2 ) d x d y {\displaystyle J_{O}=\iint \limits _{R}(x^{2}+y^{2})dxdy} $J_{O}=\iint \limits _{R}(x^{2}+y^{2})dxdy$

J O = ∬ R x 2 d x d y + ∬ R y 2 d x d y {\displaystyle J_{O}=\iint \limits _{R}x^{2}dxdy+\iint \limits _{R}y^{2}dxdy} $J_{O}=\iint \limits _{R}x^{2}dxdy+\iint \limits _{R}y^{2}dxdy$

∴ J = I x + I y {\displaystyle \защото J=I_{x}+I_{y}} $\therefore J=I_{x}+I_{y}$

По същество, с увеличаване на големината на полярния втори момент на площта (т.е. голяма форма на напречното сечение на обекта) ще е необходим по-голям въртящ момент, за да се предизвика усукващо отклонение на обекта. Трябва да се отбележи обаче, че това няма никакво отношение към твърдостта на усукване, която се осигурява от съставните материали на обекта; полярният втори момент на площта е просто твърдост, която се осигурява на обекта само от неговата форма. Твърдостта на усукване, осигурявана от характеристиките на материала, е известна като модул на срязване, G {\displaystyle G} $G$ . Като се свържат тези два компонента на твърдостта, може да се изчисли ъгълът на усукване на гредата, θ {\displaystyle \theta}. $\theta$ , като използвате:

θ = T l J G {\displaystyle \theta ={\frac {Tl}{JG}}} $\theta ={\frac {Tl}{JG}}$

Където T {\displaystyle T} $T$ е приложеният момент (въртящ момент), а l {\displaystyle l} $l$ е дължината на гредата. Както е показано, по-големите въртящи моменти и дължини на гредата водят до по-големи ъглови отклонения, при които по-високите стойности на полярния втори момент на площта, J {\displaystyle J} $J$ и модула на срязване на материала, G {\displaystyle G}. $G$ , намалява потенциала за ъглови отклонения.

Често използвани аналитични формули

За някои стандартни форми има затворени формули за полярния втори момент J (за напречното сечение около централната ос):

За солиден кръговствен напречен отвор с диаметър d (радиус R = d/2):
J = π d⁴ / 32 = (π/2) R⁴.
За кух (трубен) кръг с външен диаметър d_o и вътрешен d_i:
J = π (d_o⁴ − d_i⁴) / 32 = (π/2) (R_o⁴ − R_i⁴).
За правоъгълен прът (стандартният полярен момент J не е еднакъв с константата на усукване при не-кръгли секции — виж по-долу). При симетричен правоъгълник a × b (a ≥ b) равнинните моменти са известни и J = I_x + I_y, но при изчисляване на усукване на не-кръгли напречни сечения се използва константата на усукване (torsional constant C) която е по-малка от J и зависи от войнене/деформация.

Разлика между J и константата на усукване (torsional constant)

За кръгови напречни сечения полярният втори момент J съвпада с torsional constant C (т.е. работи в θ = T l / (G J)). За не-кръгови сечения обаче линейната теория на Saint‑Venant показва, че деформацията на напречното сечение не е чисто твърдо телесна ротация и се появява „warping“ (изкривяване). В този случай действителната константа на усукване C (понякога отбелязвана като J_t или k) е по-малка от аналитичното J = I_x + I_y и трябва да се използват корекционни фактори или числени методи (напр. крайни елементи) за правилен резултат.

Приложение и практическа употреба

Полярният втори момент на площта и константата на усукване се използват при проектиране и анализ на:

валове и оси (drive shafts),
елементи, подложени на усукващи моменти (напр. кормилна рейка, торсионни пръти),
структурни профили, където усукването влияе на работата или устойчивостта.

Практически числов пример

Пример: солиден стоманен вал с диаметър d = 20 mm, дължина l = 1.0 m, приложен въртящ момент T = 100 N·m. Модулът на срязване за стомана приблизително G = 79 GPa = 79×10⁹ N/m².

Изчисляваме J: J = π d⁴ / 32 = π (0.02 m)⁴ / 32 ≈ 1.57×10⁻⁸ m⁴.

Ъгъл на усукване: θ = T l / (G J) ≈ 100 * 1 / (79×10⁹ * 1.57×10⁻⁸) ≈ 0.081 rad ≈ 4.6°.

Това показва как с малък диаметър и дълга щанга се получават значителни ъгли на усукване; увеличаването на диаметъра значително повишава J (четвърта степен) и намалява усукването.

Кога да използваме числени методи

Ако напречното сечение е неправилно или има вложки/отвори, или когато точност е критична, се препоръчва използване на числени методи (например метод на крайните елементи) за определяне на torsional constant C и разпределението на напреженията. За профили като I- и H-щанги, правоъгълни тръби и др., аналитичните приближения често дават само ориентировъчни резултати.

Обобщение

Полярният втори момент на площта (J или I_z) е геометрична мярка за съпротивлението на напречно сечение срещу усукване. За кръгли сечения той дава директно съотношение към ъгъла на усукване чрез θ = T l / (G J). За не-кръгли форми трябва да се има предвид разликата между J и действителната константа на усукване, както и възможна необходимост от числени или емпирични корекции.

Схема, показваща как се изчислява полярният втори момент на площта ("Полярен момент на инерция") за произволна форма на площта R около ос o, където ρ е радиалното разстояние до елемента dA.

Свързани страници

Момент (физика)
Втори момент на площта
Списък на вторите моменти на площта за стандартни фигури
Модул на срязване

Въпроси и отговори

В: Какво представлява инерционният момент във физиката?

О: Във физиката инерционният момент е строго вторият момент на масата по отношение на разстоянието от една ос, който характеризира ъгловото ускорение на обекта, дължащо се на приложен въртящ момент.

Въпрос: За какво се отнася полярният втори момент на площта в техниката?

О: В инженерството (особено в машиностроенето и строителството) инерционният момент обикновено се отнася до втория момент на площта. Когато четете полярния инерционен момент, внимавайте да проверите дали се отнася за "полярния втори момент на площта", а не за инерционния момент. Полярният втори момент на площта ще има единици за дължина до четвъртата степен (напр. m^4 или in^4).

Въпрос: Как се изчислява полярният втори момент на площта?

О: Математическата формула за директно изчисление е дадена като кратен интеграл по площта на фигурата, R, на разстояние ρ от произволна ос O. J_O=∬Rρ2dA. В най-проста форма полярната втора