Полярен инерционен момент

Забележка: В различните дисциплини терминът "инерционен момент" се използва за обозначаване на различни моменти. Във физиката инерционният момент е строго вторият момент на масата по отношение на разстоянието от една ос, който характеризира ъгловото ускорение на обекта, дължащо се на приложен въртящ момент. В инженерството (особено в машиностроенето и гражданското строителство) инерционният момент обикновено се отнася до втория момент на площта. Когато четете полярен инерционен момент, внимавайте да проверите дали се отнася за "полярен втори момент на площта", а не за инерционен момент. Полярният втори момент на площта ще има единици за дължина до четвъртата степен (например m 4 {\displaystyle m^{4}} или i n 4 {\displaystyle in^{4}} ), докато инерционният момент е маса, умножена по дължина на квадрат (например k g ∗ m 2 {\displaystyle kg*m^{2}} или l b ∗ i n 2 {\displaystyle lb*in^{2}}). ).

Полярният втори момент на площта (наричан още "полярен инерционен момент") е мярка за способността на обекта да се съпротивлява на усукване като функция на неговата форма. Той е един от аспектите на втория момент на площта, свързан чрез теоремата за перпендикулярната ос, където равнинният втори момент на площта използва формата на напречното сечение на гредата, за да опише нейната устойчивост на деформация (огъване), когато е подложена на сила, приложена в равнина, успоредна на неутралната ѝ ос, а полярният втори момент на площта използва формата на напречното сечение на гредата, за да опише нейната устойчивост на деформация (усукване), когато се прилага момент (въртящ момент) в равнина, перпендикулярна на неутралната ос на гредата. Докато равнинният втори момент на площта най-често се обозначава с буквата I {\displaystyle I} , полярният втори момент на площта най-често се обозначава с I z {\displaystyle I_{z}}. или с буквата J {\displaystyle J} , в учебниците по инженерни науки.

Изчислените стойности за полярния втори момент на площта най-често се използват за описание на устойчивостта на твърд или кух цилиндричен вал на усукване, както е при осите или задвижващите валове на превозните средства. Когато се прилагат към нецилиндрични греди или валове, изчисленията за полярния втори момент на площта стават погрешни поради деформацията на вала/гредите. В тези случаи трябва да се използва константа за усукване, при която към изчислението на стойността се добавя коригираща константа.

Полярният втори момент на площта пренася единиците за дължина до четвъртата степен ( L 4 {\displaystyle L^{4}} ); метрите до четвъртата степен ( m 4 {\displaystyle m^{4}} ) в метричната система единици и инчовете до четвъртата степен ( i n 4 {\displaystyle in^{4}} ) в имперската система единици. Математическата формула за директно изчисление се дава като кратен интеграл по площта на фигурата, R {\displaystyle R} , на разстояние ρ {\displaystyle \rho } от произволна ос O {\displaystyle O} .

J O = ∬ R ρ 2 d A {\displaystyle J_{O}=\iint \limits _{R}\rho ^{2}dA} .

В най-прост вид полярният втори момент на площта е сбор от двата равнинни втори момента на площта, I x {\displaystyle I_{x}} и I y {\displaystyle I_{y}}. . Използвайки Питагоровата теорема, разстоянието от оста O {\displaystyle O} , ρ {\displaystyle \rho } , може да се раздели на компонентите x {\displaystyle x} и y {\displaystyle y}, а промяната в площта, d A {\displaystyle dA} , разделена на компонентите x {\displaystyle x} и y {\displaystyle y}, d x {\displaystyle dx} и d y {\displaystyle dy} .

Дадени са двете формули за равнинните втори моменти на площта:

I x = ∬ R x 2 d x d y {\displaystyle I_{x}=\iint \limits _{R}x^{2}dxdy} и I y = ∬ R y 2 d x d y {\displaystyle I_{y}=\iint \limits _{R}y^{2}dxdy}

Връзката с полярния втори момент на площта може да се покаже по следния начин:

J O = ∬ R ρ 2 d A {\displaystyle J_{O}=\iint \limits _{R}\rho ^{2}dA}

J O = ∬ R ( x 2 + y 2 ) d x d y {\displaystyle J_{O}=\iint \limits _{R}(x^{2}+y^{2})dxdy}

J O = ∬ R x 2 d x d y + ∬ R y 2 d x d y {\displaystyle J_{O}=\iint \limits _{R}x^{2}dxdy+\iint \limits _{R}y^{2}dxdy}

∴ J = I x + I y {\displaystyle \защото J=I_{x}+I_{y}}

По същество, с увеличаване на големината на полярния втори момент на площта (т.е. голяма форма на напречното сечение на обекта) ще е необходим по-голям въртящ момент, за да се предизвика усукващо отклонение на обекта. Трябва да се отбележи обаче, че това няма никакво отношение към твърдостта на усукване, която се осигурява от съставните материали на обекта; полярният втори момент на площта е просто твърдост, която се осигурява на обекта само от неговата форма. Твърдостта на усукване, осигурявана от характеристиките на материала, е известна като модул на срязване, G {\displaystyle G} . Като се свържат тези два компонента на твърдостта, може да се изчисли ъгълът на усукване на гредата, θ {\displaystyle \theta}. , като използвате:

θ = T l J G {\displaystyle \theta ={\frac {Tl}{JG}}}

Където T {\displaystyle T} е приложеният момент (въртящ момент), а l {\displaystyle l} е дължината на гредата. Както е показано, по-големите въртящи моменти и дължини на гредата водят до по-големи ъглови отклонения, при които по-високите стойности на полярния втори момент на площта, J {\displaystyle J} и модула на срязване на материала, G {\displaystyle G}. , намалява потенциала за ъглови отклонения.

Въпроси и отговори

В: Какво представлява инерционният момент във физиката?

Въпрос: За какво се отнася полярният втори момент на площта в техниката?

Въпрос: Как се изчислява полярният втори момент на площта?

Търсене по буква