Усукване и въртящ момент: дефиниция, формули и примери

Ясно обяснение на усукване и въртящ момент с ключови формули, примери и изчисления за напрежение на срязване и ъгъл на усукване — практично и стегнато.

В механиката на твърдото тяло усукването е усукване на обект, което е резултат от приложен въртящ момент. При кръгли сечения резултантното напрежение на срязване е перпендикулярно на радиуса.

Напрежението на срязване в точка на вала е:

τ θ z = T r J {\displaystyle \tau _{\theta _{z}}={Tr \over J}}

T е приложеният въртящ момент, r е разстоянието от центъра на въртене, а J е полярният инерционен момент.

Ъгълът на усукване може да се определи с помощта на:

θ = T L J G {\displaystyle \theta _{}={TL \over JG}}

Къде:

• T — приложен въртящ момент (момент на усукване), обикновено в Н·м (Nm).
• r — радиално разстояние от центъра на сечението до точката, където се пресмята напрежението (в метри, m). За външната повърхност r = c (половината от диаметъра).
• J — полярен инерционен момент (полярна моментна инерция) на пресечната площ, в m4. За кръгли сечения J определя как разпределението на материала влияе на съпротивлението срещу усукване.
• G — модул на срязване (сърцевинният модул или модул на напречен лищ), в Па (N/m2). За стомана G ≈ 79 GPa, за алуминий ≈ 26 GPa и т.н.
• L — дължина на вала/отреза, върху който се прилага усукването (в m).
• θ — ъгъл на усукване за дължина L, обикновено в радиани (rad).

Основни формули и специални случаи

• Нормално напрежение на срязване в радиална позиция r: τ(r) = T·r / J. Максималното напрежение при кръгло сечение е на външната повърхност (r = c): τmax = T·c / J.
• Полярен инерционен момент за твърд кръгъл вал (солиден цилиндър): J = π·d4 / 32 = (π/32)·d4, където d е диаметърът.
• За кух (тънкостенен) кръгъл вал: J = (π/32)·(do4 − di4), където do е външен, а di — вътрешен диаметър.
• За много тънкостенни затворени пръстени (приближено): J ≈ 2π·r3·t, където r е средният радиус и t — дебелината на стената (валидно за тънки стени).
• Ъгъл на усукване: θ = T·L / (J·G). Често полезна величина е усукването на единица дължина (наклон на ъгъла): φ = dθ/dx = T / (G·J) (в рад/м).
• Свързани величини: деформацията на срязване γ при радиус r е γ = r·(dθ/dx) = r·T/(GJ).
• Твърдост при усукване (торсионна жесткост) на прът с дължина L: K = G·J / L. Това е съотношението между приложен момент и ъгъл на усукване (T = K·θ).
• При въртящи машини мощността, предавана от въртящ момент T при ъглова скорост ω (в рад/s) е: P = T·ω. Ако се използва обороти n (об/мин), то ω = 2π·n/60.

Практически пример

Пример: солиден стоманен вал предава момент T = 10 000 N·m (10 kN·m), диаметър d = 50 mm (0.05 m), дължина L = 1 m. Приемаме G = 79·10^9 Pa (79 GPa).

• Полярен инерционен момент: J = (π/32)·d4 = (π/32)·(0.05)4 ≈ 6.136·10−7 m4.
• Външен радиус: c = d/2 = 0.025 m.
• Максимално напрежение на срязване: τmax = T·c / J = 10 000·0.025 / 6.136·10−7 ≈ 4.07·108 Pa ≈ 407 MPa.
• Ъгъл на усукване: θ = T·L / (J·G) = 10 000·1 / (6.136·10−7·79·10^9) ≈ 0.206 rad ≈ 11.8°.

Коментар: при този пример напрежението (~407 MPa) е много високо и би надхвърлило допустимите граници за много видове стомана без подходяща безопасност или увеличен диаметър. Също така ъгълът на усукване е голям за дължина 1 m. Това показва как изчисленията за усукване са критични за избора на размери във връзка с якостта и експлоатационните изисквания.

Забележки и дизайн

• За немногокръгли сечения (напр. правоъгълни, отворени профили) теорията на Saint-Venant и допълнителни коефициенти се използват — формулита за τ = Tr/J важи само за призводни полярни моменти при тесни условия; при не-окружни сечения възниква допълнително «warping» (деформация на сечението) и torsional constant (торсионна константа), различна от геометричния J.
• Проектиране: избира се диаметър/сечение така, че τmax да бъде по-малко или равно на допустимата стойност (с включен коефициент на безопасност) и ъгълът на усукване да е в границите на допустимото за работата на системата.
• Динамика: при променящи се моменти или въртящи скорости трябва да се вземат предвид умората и резонансните явления.

Кратко резюме

Усукването се характеризира с връзката между приложен въртящ момент, разпределение на напреженията на срязване и ъгъла на усукване. За кръгли секции формулите τ = T·r / J и θ = T·L / (J·G) са основни и дават бърза оценка на напреженията и деформациите. При проектиране се използват правилните изрази за J (солидни, кухи и тънкостенни сечения), модул G и изисквания за безопасност и функционалност.

Въпроси и отговори

Въпрос: Какво е усукване?

В: Как напрежението на срязване е свързано с усукването?

В: Кое уравнение може да се използва за изчисляване на напрежението на срязване в точка на вала?

Въпрос: Кое уравнение може да се използва за намиране на ъгъла на усукване?

В: Какво представлява "Т" в уравненията за напрежението на срязване и ъгъла на усукване?

В: Какво представлява "r" в уравнението за напрежението на срязване?

В: Какво представлява "J" и в двете уравнения?

Търсене по буква