Златно сечение (φ): дефиниция, формула и числова стойност

При едно число, а именно a, и друго по-малко число b, отношението на двете числа се намира, като се разделят. Тяхното съотношение е a/b. Друго съотношение се намира, като се съберат двете числа и се разделят на по-голямото число a. Новото съотношение е (a+b)/a. Ако тези две съотношения са равни на едно и също число, то това число се нарича златно сечение. Гръцката буква φ {\displaystyle \varphi } (фи) обикновено се използва като наименование на златното сечение.

Аналитична дефиниция и извеждане на формулата

Ако означим търсеното число с φ {\displaystyle \varphi } и вземем b=1 за улеснение, то a=φ. Второто съотношение (a+b)/a става ( φ + 1 ) / φ {\displaystyle (\varphi +1)/\varphi } . Тъй като двете съотношения са равни, имаме:

φ = φ + 1 φ {\displaystyle \varphi ={\frac {\varphi +1}{\varphi }}}

Умножавайки двете страни по φ получаваме квадратно уравнение:

φ² = φ + 1, т.е. φ² − φ − 1 = 0. Решението на това уравнение дава формулата

φ = 1 + 5 2 = 1.618... {\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=1.618...}

Тук 5 {\displaystyle {\sqrt {5}}} означава корен квадратен от 5, т.е. число, което умножено по себе си дава 5 (5 × 5 = 5 {\displaystyle {\sqrt {5}} пъти {\sqrt {5}}=5}).

Числена стойност и свойства

• Десетично приближение: φ ≈ 1.6180339887... Това е ирационално число — има безкрайно непериодично десетично развитие.
• Рекурентна и обратна връзка: φ има свойството, че φ − 1 = 1/φ ≈ 0.6180339887.... Това е характерно само за числото φ и дава самоподобие: ако извадите 1 от φ или разделите 1 на φ, получавате една и съща стойност (вж. примера по-горе).
• Безкраен непрекъснат дроб (continued fraction): φ = 1 + 1/(1 + 1/(1 + 1/(1 + ...))). Това е най-простият непериодичен непрекъснат дроб със всички частни равни на 1.
• Алгебрични свойства: другият корен на уравнението φ² − φ − 1 = 0 е φ' = (1 − √5)/2 ≈ −0.6180339887.... Имайте предвид, че φ + φ' = 1 и φ·φ' = −1.

Връзка с Фибоначи и приближения

Последователността на Фибоначи (F₁ = 1, F₂ = 1, Fₙ = Fₙ₋₁ + Fₙ₋₂) е тясно свързана със златното сечение. Отношението на две последователни числа от последователността приближава φ:

• lim (Fₙ₊₁ / Fₙ) = φ, когато n → ∞.
• Бинетова формула: Fₙ = (φⁿ − φ'ⁿ) / √5, която дава затворена форма за n-тия член на последователността.
• Рационални приближения на φ се получават от дробите Fₙ₊₁ / Fₙ, например 2/1, 3/2, 5/3, 8/5, 13/8, 21/13 и т.н.; с нарастване на n тези дроби доближават φ все по-точно.

Геометрия и приложения

Златното сечение се появява многократно в геометрията и изкуството:

• Правоъгълникът на златното сечение: правоъгълник, при който отношението на по-дългата страна към по-късата е φ; този правоъгълник има свойството, че при отрязване на квадрат от него остава по-малък правоъгълник със същото отношение (самоподобие).
• Пентагон и пентаграма: диагоналите на правилния петоъгълник или отношенията в пентаграма дават φ.
• Спирали и природни форми: приближени „златни“ спирали, свързани с изложените правоъгълници и с последователността на Фибоначи, се използват за моделиране на спиралите при охлюви, някои растения и др.
• Изкуство и архитектура: отношения близки до φ често са използвани като естетически ориентир в композициите и конструкциите (макар че значение и приложение са обсъждани).

Ирационалност — кратък коментар

Златното сечение е ирационално: то не може да бъде представено като отношение на две цели числа. Съществуват няколко доказателства за това; един класически подход е чрез непрекъснатата дроб и свойствата на нейното безкрайно неповтарящо се развитие или чрез аргумент с безкрайна низходяща редукция при допускане, че е рационално.

Кратко обобщение

• Дефиниция: φ е реалното число, при което отношение на по-голямо число към по-малко е равно на отношението на сумата им към по-голямото.
• Формула: φ = (1 + √5) / 2 ≈ 1.6180339887....
• Свойства: φ² = φ + 1, φ − 1 = 1/φ, φ е ирационално, свързано е с Фибоначи и има многобройни приложения в геометрията, природата и изкуството.

Златното сечение продължава да бъде обект на изследване и приложение, защото съчетава елементи от алгебра, геометрия, теория на числата и визуална хармония.

Златното сечение в природата

В природата златното сечение често се използва при подреждането на листа или цветя. Те използват златния ъгъл от приблизително 137,5 градуса. Листата или цветята, подредени под този ъгъл, използват най-добре слънчевата светлина.

Освен това разстоянието между центъра на тялото и пода и разстоянието между върха на главата и основата на гръбначния стълб са в съответствие със златното сечение. Въпреки че не присъства в общоприетите архитектурни и дизайнерски модели, откритието на Леонардо Фибоначи е широко признато като новаторско. То може да приеме формата на урагани, бивни на слонове, мравки, морски таралежи, морски звезди, медоносни пчели и много други неща.

Последователността на Фибоначи започва с 0 и продължава до безкрай: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55. Преди всяка цифра има сбор от две цифри. Самият модел е доста елементарен и незабележителен.

Докато не научите, че това съотношение е в основата на красотата на Мона Лиза, на човешките крайници, на криптирането на данни и дори на броя на спиралите върху главата на слънчогледа. Изглежда, че Вселената има естествен начин да следи числата.

Цветята винаги имат нечетен брой венчелистчета, което съответства на последователността на Фибоначи. Например лилията на мира има три венчелистчета, лютичето - пет, цикорията - 21, маргаритките - 34 и т.н.

 Ето още няколко естествени проявления на златното сечение:

Глави на семена. Цветовете произвеждат семена в сърцевината си, които след това се завъртат навън, за да запълнят главичката на цвета.

Ананаси, карфиол и броколи романеско. По същия начин те отговарят на последователността на Фибоначи.

Борови шишарки. Шишарките имат спираловидни шарки на семенните си шушулки, като две спирали на всяка шишарка растат в противоположни посоки, докато растат.

Клони на дърво. В природата този модел се наблюдава, когато едно дърво развива клон и след това се разделя на две нови точки на растеж. След това само едно от двете нови стъбла ще расте активно, а другото ще е в покой.

Методи за летене на птиците. Най-добрият ъгъл на атака на ястреба е перпендикулярен на траекторията на полета на целта, което е същото като височината на спиралата.

Спирални галактики. В Млечния път има няколко спирални ръкава, всеки с логаритмична спирала около 12 градуса.

 
Използването на златния ъгъл ще използва оптимално светлината на слънцето. Това е изглед от върха.  


Лист от обикновен бръшлян, показващ златното сечение  

Въпроси и отговори

Въпрос: Какво е съотношението на две числа?

В: Как може да се намери друго съотношение?

В: Как се нарича случаят, когато тези две съотношения са равни едно на друго?

В: Ако b = 1 и a/b = צ , какво означава това за a?

В: Как може да се запише това число?

В: Какво означава, ако извадите 1 от него или разделите 1 на него?

Въпрос: Златното съотношение ирационално число ли е?

Търсене по буква