При едно число, а именно a, и друго по-малко число b, отношението на двете числа се намира, като се разделят. Тяхното съотношение е a/b. Друго съотношение се намира, като се съберат двете числа и се разделят на по-голямото число a. Новото съотношение е (a+b)/a. Ако тези две съотношения са равни на едно и също число, то това число се нарича златно сечение. Гръцката буква {\displaystyle \varphi } (фи) обикновено се използва като наименование на златното сечение.

Аналитична дефиниция и извеждане на формулата

Ако означим търсеното число с {\displaystyle \varphi } и вземем b=1 за улеснение, то a=φ. Второто съотношение (a+b)/a става {\displaystyle (\varphi +1)/\varphi }. Тъй като двете съотношения са равни, имаме:

{\displaystyle \varphi ={\frac {\varphi +1}{\varphi }}}

Умножавайки двете страни по φ получаваме квадратно уравнение:

φ² = φ + 1, т.е. φ² − φ − 1 = 0. Решението на това уравнение дава формулата

{\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=1.618...}

Тук {\displaystyle {\sqrt {5}}} означава корен квадратен от 5, т.е. число, което умножено по себе си дава 5 ({\displaystyle {\sqrt {5}}\times {\sqrt {5}}=5}).

Числена стойност и свойства

  • Десетично приближение: φ ≈ 1.6180339887... Това е ирационално число — има безкрайно непериодично десетично развитие.
  • Рекурентна и обратна връзка: φ има свойството, че φ − 1 = 1/φ ≈ 0.6180339887.... Това е характерно само за числото φ и дава самоподобие: ако извадите 1 от φ или разделите 1 на φ, получавате една и съща стойност (вж. примера по-горе).
  • Безкраен непрекъснат дроб (continued fraction): φ = 1 + 1/(1 + 1/(1 + 1/(1 + ...))). Това е най-простият непериодичен непрекъснат дроб със всички частни равни на 1.
  • Алгебрични свойства: другият корен на уравнението φ² − φ − 1 = 0 е φ' = (1 − √5)/2 ≈ −0.6180339887.... Имайте предвид, че φ + φ' = 1 и φ·φ' = −1.

Връзка с Фибоначи и приближения

Последователността на Фибоначи (F₁ = 1, F₂ = 1, Fₙ = Fₙ₋₁ + Fₙ₋₂) е тясно свързана със златното сечение. Отношението на две последователни числа от последователността приближава φ:

  • lim (Fₙ₊₁ / Fₙ) = φ, когато n → ∞.
  • Бинетова формула: Fₙ = (φⁿ − φ'ⁿ) / √5, която дава затворена форма за n-тия член на последователността.
  • Рационални приближения на φ се получават от дробите Fₙ₊₁ / Fₙ, например 2/1, 3/2, 5/3, 8/5, 13/8, 21/13 и т.н.; с нарастване на n тези дроби доближават φ все по-точно.

Геометрия и приложения

Златното сечение се появява многократно в геометрията и изкуството:

  • Правоъгълникът на златното сечение: правоъгълник, при който отношението на по-дългата страна към по-късата е φ; този правоъгълник има свойството, че при отрязване на квадрат от него остава по-малък правоъгълник със същото отношение (самоподобие).
  • Пентагон и пентаграма: диагоналите на правилния петоъгълник или отношенията в пентаграма дават φ.
  • Спирали и природни форми: приближени „златни“ спирали, свързани с изложените правоъгълници и с последователността на Фибоначи, се използват за моделиране на спиралите при охлюви, някои растения и др.
  • Изкуство и архитектура: отношения близки до φ често са използвани като естетически ориентир в композициите и конструкциите (макар че значение и приложение са обсъждани).

Ирационалност — кратък коментар

Златното сечение е ирационално: то не може да бъде представено като отношение на две цели числа. Съществуват няколко доказателства за това; един класически подход е чрез непрекъснатата дроб и свойствата на нейното безкрайно неповтарящо се развитие или чрез аргумент с безкрайна низходяща редукция при допускане, че е рационално.

Кратко обобщение

  • Дефиниция: φ е реалното число, при което отношение на по-голямо число към по-малко е равно на отношението на сумата им към по-голямото.
  • Формула: φ = (1 + √5) / 2 ≈ 1.6180339887....
  • Свойства: φ² = φ + 1, φ − 1 = 1/φ, φ е ирационално, свързано е с Фибоначи и има многобройни приложения в геометрията, природата и изкуството.

Златното сечение продължава да бъде обект на изследване и приложение, защото съчетава елементи от алгебра, геометрия, теория на числата и визуална хармония.