Числата на Фибоначи — определение, рекурентна формула и примери
Числата на Фибоначи — ясна дефиниция, рекурентна формула и практични примери. Научете произхода, правилата и приложенията стъпка по стъпка.
Числата на Фибоначи са последователност от числа в математиката, наречена на Леонардо от Пиза, известен като Фибоначи. През 1202 г. Фибоначи написва книга, наречена Liber Abaci ("Книга за изчисленията"), с която въвежда числовия модел в западноевропейската математика, въпреки че математиците в Индия вече са знаели за него.
Първото число от модела е 0, второто число е 1, а всяко следващо число е равно на сбора на двете числа преди него. Например 0+1=1 и 3+5=8. Тази последователност продължава до безкрай.
Това може да се запише като рекурентна зависимост,
F n = F n - 1 + F n - 2 {\displaystyle F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}} 
За да има смисъл от това, трябва да се дадат поне две отправни точки. Тук F 0 = 0 {\displaystyle F_{0}=0}
и F 1 = 1 {\displaystyle F_{1}=1}
.
Първи членове и примери
Първите няколко числа на Фибоначи (при конвенцията F0 = 0, F1 = 1) са:
- F0 = 0
- F1 = 1
- F2 = 1
- F3 = 2
- F4 = 3
- F5 = 5
- F6 = 8
- F7 = 13
- F8 = 21
- F9 = 34
- F10 = 55
Пример за пресмятане: F6 = F5 + F4 = 5 + 3 = 8.
Алтернативни индекси и конвенции
Някои автори започват низа от F1 = 1, F2 = 1 (т.е. изпускат нулата). Това води до същите последователни числа, но с различни индекси; важно е да се уточни конвенцията при даден текст или приложение.
Формула на Бине и граница
Числата на Фибоначи имат затворена форма, известна като формулата на Бине. Ако обозначим
- φ = (1 + √5) / 2 (златното сечение)
- ψ = (1 − √5) / 2
то
Fn = (φn − ψn) / √5
Оттук следва, че отношението Fn+1 / Fn стреми към φ ≈ 1.6180339887... когато n → ∞.
Генерираща функция и матрична форма
- Генериращата функция на последователността е G(x) = x / (1 − x − x²).
- Матричната формула: [[1,1],[1,0]]ⁿ = [[Fn+1, Fn],[Fn, Fn−1]], което дава бърз начин за изчисление чрез бързо повдигане на матрици до степен (логаритмичен алгоритъм).
Основни свойства и идентичности
- Касини (Cassini): Fn+1Fn−1 − Fn² = (−1)n.
- Сума на първите n числа: F0 + F1 + ... + Fn = Fn+2 − 1.
- Отрицателни индекси: последователността може да се продължи назад с формулата F−n = (−1)n+1 Fn.
- Връзка с биноминалните коефициенти и Паскалова триъгълник: някои диагонали в Паскалови триъгълници дават суми, които са числа на Фибоначи.
Произход и приложения
Фибоначи е въвел тази последователност чрез задачата за размножаване на зайци в книгата Liber Abaci. Днес числата на Фибоначи се срещат в много области:
- Природа: подредба на листа, спирали в шушулки и шишарки, разпределение на семената в слънчоглед.
- Изкуство и архитектура: златното сечение и пропорции, свързани с визуална хармония.
- Компютърни науки: алгоритми (напр. Fibonacci heap), динамично програмиране, бързи алгоритми за умножение/експоненциране чрез матрици.
- Математически изследвания: продължаване към общи редици с различни начални условия; изследване на свързани редици като редицата на Лукасовите числа.
Къде още се използват
Числата на Фибоначи служат като модел в анализ на рекурентни процеси, теория на числата (напр. свойства за простота на някои членове при определени индекси), криптография и комбиниаторика (брой начини да се прескочи стълба при стъпки 1 и 2 и т.н.).
Това са основните сведения за числата на Фибоначи — дефиниция, рекурентна формула, примери, затворена форма и някои важни свойства и приложения.
Спирала на Фибоначи, създадена чрез прокарване на линия през квадратите в плочката на Фибоначи; тази използва квадрати с размери 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 и 34; вж. златна спирала
Числата на Фибоначи в природата
Числата на Фибоначи са свързани със златното сечение, което се среща на много места в сградите и в природата. Някои примери са моделът на листата върху стъбло, частите на ананаса, цъфтежът на артишока, разгъването на папратта и разположението на боровата шишарка. Числата на Фибоначи се срещат и в родословното дърво на медоносните пчели.
Слънчогледова глава със спирали от 34 и 55 цветчета от външната страна
Формула на Бине
n-тото число на Фибоначи може да се запише като златно сечение. Така се избягва използването на рекурсия за изчисляване на числата на Фибоначи, което може да отнеме много време на компютъра.
F n = φ n - ( 1 - φ ) n 5 {\displaystyle F_{n}={\frac {\varphi ^{n}-(1-\varphi )^{n}}{\sqrt {5}}}} 
Където φ = 1 + 5 2 {\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}} 
, златното сечение.
Въпроси и отговори
В: Какво представлява последователността на Фибоначи?
О: Последователността на Фибоначи е модел от числа в математиката, наречен на името на Леонардо от Пиза, известен като Фибоначи. Тя започва с 0 и 1, а всяко следващо число е равно на сбора на двете числа преди него.
Въпрос: Кой въвежда този модел на числата в математиката на Западна Европа?
О: През 1202 г. Фибоначи написва книга, наречена Liber Abaci ("Книга за изчисленията"), с която въвежда числовия модел в западноевропейската математика, въпреки че математиците в Индия вече са знаели за него.
В: Как може да се напише последователността на Фибоначи?
О: Последователността на Фибоначи може да се запише като рекурентна зависимост, където F_n = F_n-1 + F_n-2 за n ≥ 2.
В: Кои са началните точки на тази рекурентна зависимост?
О: За да има смисъл, трябва да се дадат поне две начални точки. Тук F_0 = 0 и F_1 = 1.
В: Продължава ли последователността на Фибоначи безкрайно?
О: Да, последователността продължава вечно.
Въпрос: Откъде математиците са научили за първи път за този модел на числата? О: Математиците в Индия вече са били запознати с този модел на числата, преди той да бъде представен в Западна Европа от Леонардо от Пиза (Фибоначи).
обискирам