Числа на Фибоначи
Числата на Фибоначи са последователност от числа в математиката, наречена на Леонардо от Пиза, известен като Фибоначи. През 1202 г. Фибоначи написва книга, наречена Liber Abaci ("Книга за изчисленията"), с която въвежда числовия модел в западноевропейската математика, въпреки че математиците в Индия вече са знаели за него.
Първото число от модела е 0, второто число е 1, а всяко следващо число е равно на сбора на двете числа преди него. Например 0+1=1 и 3+5=8. Тази последователност продължава до безкрай.
Това може да се запише като рекурентна зависимост,
F n = F n - 1 + F n - 2 {\displaystyle F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}} 
За да има смисъл от това, трябва да се дадат поне две отправни точки. Тук F 0 = 0 {\displaystyle F_{0}=0}
и F 1 = 1 {\displaystyle F_{1}=1}
.
Спирала на Фибоначи, създадена чрез прокарване на линия през квадратите в плочката на Фибоначи; тази използва квадрати с размери 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 и 34; вж. златна спирала
Числата на Фибоначи в природата
Числата на Фибоначи са свързани със златното сечение, което се среща на много места в сградите и в природата. Някои примери са моделът на листата върху стъбло, частите на ананаса, цъфтежът на артишока, разгъването на папратта и разположението на боровата шишарка. Числата на Фибоначи се срещат и в родословното дърво на медоносните пчели.
Слънчогледова глава със спирали от 34 и 55 цветчета от външната страна
Формула на Бине
n-тото число на Фибоначи може да се запише като златно сечение. Така се избягва използването на рекурсия за изчисляване на числата на Фибоначи, което може да отнеме много време на компютъра.
F n = φ n - ( 1 - φ ) n 5 {\displaystyle F_{n}={\frac {\varphi ^{n}-(1-\varphi )^{n}}{\sqrt {5}}}} 
Където φ = 1 + 5 2 {\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}} 
, златното сечение.
Въпроси и отговори
В: Какво представлява последователността на Фибоначи?
О: Последователността на Фибоначи е модел от числа в математиката, наречен на името на Леонардо от Пиза, известен като Фибоначи. Тя започва с 0 и 1, а всяко следващо число е равно на сбора на двете числа преди него.
Въпрос: Кой въвежда този модел на числата в математиката на Западна Европа?
О: През 1202 г. Фибоначи написва книга, наречена Liber Abaci ("Книга за изчисленията"), с която въвежда числовия модел в западноевропейската математика, въпреки че математиците в Индия вече са знаели за него.
В: Как може да се напише последователността на Фибоначи?
О: Последователността на Фибоначи може да се запише като рекурентна зависимост, където F_n = F_n-1 + F_n-2 за n ≥ 2.
В: Кои са началните точки на тази рекурентна зависимост?
О: За да има смисъл, трябва да се дадат поне две начални точки. Тук F_0 = 0 и F_1 = 1.
В: Продължава ли последователността на Фибоначи безкрайно?
О: Да, последователността продължава вечно.
Въпрос: Откъде математиците са научили за първи път за този модел на числата? О: Математиците в Индия вече са били запознати с този модел на числата, преди той да бъде представен в Западна Европа от Леонардо от Пиза (Фибоначи).
