Числата на Фибоначи са последователност от числа в математиката, наречена на Леонардо от Пиза, известен като Фибоначи. През 1202 г. Фибоначи написва книга, наречена Liber Abaci ("Книга за изчисленията"), с която въвежда числовия модел в западноевропейската математика, въпреки че математиците в Индия вече са знаели за него.

Първото число от модела е 0, второто число е 1, а всяко следващо число е равно на сбора на двете числа преди него. Например 0+1=1 и 3+5=8. Тази последователност продължава до безкрай.

Това може да се запише като рекурентна зависимост,

F n = F n - 1 + F n - 2 {\displaystyle F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}} {\displaystyle F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}}

За да има смисъл от това, трябва да се дадат поне две отправни точки. Тук F 0 = 0 {\displaystyle F_{0}=0}{\displaystyle F_{0}=0} и F 1 = 1 {\displaystyle F_{1}=1}{\displaystyle F_{1}=1} .

Първи членове и примери

Първите няколко числа на Фибоначи (при конвенцията F0 = 0, F1 = 1) са:

  • F0 = 0
  • F1 = 1
  • F2 = 1
  • F3 = 2
  • F4 = 3
  • F5 = 5
  • F6 = 8
  • F7 = 13
  • F8 = 21
  • F9 = 34
  • F10 = 55

Пример за пресмятане: F6 = F5 + F4 = 5 + 3 = 8.

Алтернативни индекси и конвенции

Някои автори започват низа от F1 = 1, F2 = 1 (т.е. изпускат нулата). Това води до същите последователни числа, но с различни индекси; важно е да се уточни конвенцията при даден текст или приложение.

Формула на Бине и граница

Числата на Фибоначи имат затворена форма, известна като формулата на Бине. Ако обозначим

  • φ = (1 + √5) / 2 (златното сечение)
  • ψ = (1 − √5) / 2

то

Fn = (φn − ψn) / √5

Оттук следва, че отношението Fn+1 / Fn стреми към φ ≈ 1.6180339887... когато n → ∞.

Генерираща функция и матрична форма

  • Генериращата функция на последователността е G(x) = x / (1 − x − x²).
  • Матричната формула: [[1,1],[1,0]]ⁿ = [[Fn+1, Fn],[Fn, Fn−1]], което дава бърз начин за изчисление чрез бързо повдигане на матрици до степен (логаритмичен алгоритъм).

Основни свойства и идентичности

  • Касини (Cassini): Fn+1Fn−1 − Fn² = (−1)n.
  • Сума на първите n числа: F0 + F1 + ... + Fn = Fn+2 − 1.
  • Отрицателни индекси: последователността може да се продължи назад с формулата F−n = (−1)n+1 Fn.
  • Връзка с биноминалните коефициенти и Паскалова триъгълник: някои диагонали в Паскалови триъгълници дават суми, които са числа на Фибоначи.

Произход и приложения

Фибоначи е въвел тази последователност чрез задачата за размножаване на зайци в книгата Liber Abaci. Днес числата на Фибоначи се срещат в много области:

  • Природа: подредба на листа, спирали в шушулки и шишарки, разпределение на семената в слънчоглед.
  • Изкуство и архитектура: златното сечение и пропорции, свързани с визуална хармония.
  • Компютърни науки: алгоритми (напр. Fibonacci heap), динамично програмиране, бързи алгоритми за умножение/експоненциране чрез матрици.
  • Математически изследвания: продължаване към общи редици с различни начални условия; изследване на свързани редици като редицата на Лукасовите числа.

Къде още се използват

Числата на Фибоначи служат като модел в анализ на рекурентни процеси, теория на числата (напр. свойства за простота на някои членове при определени индекси), криптография и комбиниаторика (брой начини да се прескочи стълба при стъпки 1 и 2 и т.н.).

Това са основните сведения за числата на Фибоначи — дефиниция, рекурентна формула, примери, затворена форма и някои важни свойства и приложения.