Цилиндър | една от най-основните извити триизмерни геометрични фигури

Обща употреба

В обикновена употреба под цилиндър се разбира крайно сечение на прав кръгов цилиндър, т.е. цилиндър с генеративни линии, перпендикулярни на основите, със затворени краища, образуващи две кръгли повърхности, както е показано на фигурата (вдясно). Ако цилиндърът е с радиус r и дължина (височина) h, то обемът му се определя от:

V = πr h²

а площта на повърхността му е:

• площта на върха (πr² ) +
• площта на дъното (πr² ) +
• площта на страната (2πrh).

Следователно без горната или долната част (странична площ) площта на повърхността е:

A = 2πrh.

При горната и долната част площта е:

A = 2πr² + 2πrh = 2πr(r + h).

За даден обем цилиндърът с най-малка повърхност има h = 2r. За дадена повърхност цилиндърът с най-голям обем има h = 2r, т.е. цилиндърът се побира в куб (височина = диаметър).

 

Том

Имаме правоъгълен цилиндър с височина h единици и основа с радиус r единици, като координатните оси са избрани така, че началото да е в центъра на едната основа, а височината да се измерва по положителната ос x. Равнинното сечение на разстояние x единици от началото има площ A(x) квадратни единици, където

A ( x ) = π r 2 {\displaystyle A(x)=\pi r^{2}}

или

A ( y ) = π r 2 {\displaystyle A(y)=\pi r^{2}}

Елемент от обема, е прав цилиндър с площ на основата Aw_i квадратни единици и дебелина Δ_i x единици. Така, ако V кубични единици е обемът на десния кръгъл цилиндър, по Римановите суми,

V o l u m e o f c y l i n d e r = lim | | Δ → 0 | | ∑ i = 1 n A ( w i ) Δ i x {\displaystyle \mathrm {Volume\;of\;cylinder} =\lim _{||\Delta \to 0||}\sum _{i=1}^{n}A(w_{i})\Delta _{i}x}

= ∫ 0 h A ( y ) 2 d y {\displaystyle =\int _{0}^{h}A(y)^{2}\,dy}

= ∫ 0 h π r 2 d y {\displaystyle =\int _{0}^{h}\pi r^{2}\,dy}

= π r 2 h {\displaystyle =\pi \,r^{2}\,h\,}

Използвайки цилиндрични координати, обемът може да се изчисли чрез интегриране върху

= ∫ 0 h ∫ 0 2 π ∫ 0 r s d s d ϕ d z {\displaystyle =\int _{0}^{h}\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{r}s\,\,ds\,d\phi \,dz}

= π r 2 h {\displaystyle =\pi \,r^{2}\,h\,}

 

Цилиндрично сечение

Цилиндричните сечения са пресечните точки на цилиндри с равнини. За прав кръгов цилиндър има четири възможности. Плоскост, допирателна към цилиндъра, пресича цилиндъра в една права линия. Преместена, докато е успоредна на себе си, равнината или не пресича цилиндъра, или го пресича в две успоредни прави. Всички останали равнини пресичат цилиндъра в елипса или, когато са перпендикулярни на оста на цилиндъра, в окръжност.

 

Други видове цилиндри

Елиптичният цилиндър или цилиндроидът е квадрична повърхнина със следното уравнение в декартови координати:

( x a ) 2 + ( y b ) 2 = 1. {\displaystyle \left({\frac {x}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}=1.}

Това уравнение е за елиптичен цилиндър - обобщение на обикновения кръгъл цилиндър (a = b). Още по-общ е обобщеният цилиндър: сечението може да бъде всякаква крива.

Цилиндърът е дегенерирал квадрик, защото поне една от координатите (в случая z) не фигурира в уравнението.

При наклонения цилиндър горната и долната повърхност са изместени една от друга.

Съществуват и други по-необичайни видове цилиндри. Това са въображаемите елиптични цилиндри:

( x a ) 2 + ( y b ) 2 = - 1 {\displaystyle \left({\frac {x}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}=-1}

хиперболичния цилиндър:

( x a ) 2 - ( y b ) 2 = 1 {\displaystyle \left({\frac {x}{a}}\right)^{2}-\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}=1}

и параболичния цилиндър:

x 2 + 2 a y = 0. {\displaystyle x^{2}+2ay=0.\,}

 

 
Елиптичен цилиндър  


В проективната геометрия цилиндърът е просто конус, чийто връх е в безкрайността, което визуално съответства на цилиндър в перспектива, изглеждащ като конус към небето.