Конюгираните променливи (понякога наричани канонични променливи) са специални двойки физични величини, за които редът на прилагане на съответните математически операции има значение. В класическата механика произведението на две реални числа или функции е комутативно (x·y = y·x), но в квантовата механика съответните наблюдаеми се представят чрез оператори или матрици, за които общият операторен продукт по правило не е комутативен: QP ≠ PQ. Тази некомутативност е в основата на много от характерните свойства на квантовите системи.
Идеята на Хайзенберг и матричната механика
Физикът Вернер Хайзенберг и неговите колеги развиват теория, в която наблюдаемите се описват чрез матрици (или оператори). Те откриват, че импулсът (обикновено означаван с P) и позицията (означавана с Q) са конюгирана двойка: произведението P*Q не дава същия резултат като Q*P в рамките на квантовата механика. Това е фундаментална разлика спрямо класическата интуиция.
Матрични елементи и примерни уравнения
В матричната форма на механиката всеки оператор има елементи между състояния, отбелязвани често с индекси. В текста по-долу са дадени две изразени форми, които описват компонентите на произведенията на два оператора (например p и q) по начина, по който Хайзенберг ги формулира:
Първото уравнение може да се използва за определяне на произведението на импулса и позицията:
Y ( n , n - b ) = ∑ a p ( n , n - a ) q ( n - a , n - b ) {\displaystyle Y(n,n-b)=\sum _{a}^{}\,p(n,n-a)q(n-a,n-b)} 
Второто уравнение може да се използва за изчисляване на произведението на позицията и импулса (с разменени фактори):
Z ( n , n - b ) = ∑ a q ( n , n - a ) p ( n - a , n - b ) {\displaystyle Z(n,n-b)=\sum _{a}^{}\,q(n,n-a)p(n-a,n-b)} 
Тези изрази са конкретизация на това как се умножават матриците: елементът на произведението в ред n и колона n−b е сума от произведения на подходящи елементи на първата и втората матрица. Затова в общия случай Y ≠ Z — тоест QP ≠ PQ.
Комутаторът и формулата на Борн и Хайзенберг
Малко по-късно Макс Борн формулира и математически характеризира разликата между двата продукта чрез комутатора, който се дефинира като [Q,P] = QP − PQ. Той установява, че за позиция и импулс комутаторът има фиксирана стойност (в единиците на квантовата механика):
Q ∗ P - P ∗ Q = i h 2 π {\displaystyle {Q*P-P*Q={\frac {ih}{2\pi }}}} 
По често употребяваната форма на тази връзка използва намалената константа на Планк ħ = h / (2π) и се записва кратко като:
[Q, P] = iħ.
Тази простичка формула има дълбоки последици: означава, че Q и P не могат да имат едновременно добре определени стойности при измерване — те са несъвместими наблюдаеми.
Връзката с принципа на неопределеността
От комутатора следва математическият вариант на принципа на неопределеността на Хайзенберг: за стандартните отклонения ΔQ и ΔP на двете наблюдаеми важи неравенството
ΔQ · ΔP ≥ ħ / 2.
Това означава, че точността, с която може да се измери позицията на частица, поставя граница на точността, с която може да се измери нейният импулс, и обратното. Този резултат е директна последица от некомутативността на съответните оператори.
Пример в координатна (вълнова) представяне
В стандартното представяне върху вълновите функции операторът на позицията действа чрез умножение: Qψ(x) = xψ(x), а операторът на импулса в една размерност може да се запише като диференциален оператор P = -iħ d/dx. Тогава за всеки ψ(x) се проверява:
[Q,P]ψ = Q(Pψ) − P(Qψ) = x(-iħ dψ/dx) − (-iħ d/dx)(xψ) = iħ ψ,
тоест като оператор [Q,P] = iħ·I (I е единичният оператор).
Други конюгирани двойки и приложения
Позиция и импулс са най-известната конюгирана двойка, но има и други такива: например енергията и времето имат тясно свързана (макар и по-деликатна) връзка, свързана с ширината на енергийните нива и продължителността на процесите. В квантовата теория на полетата и в статистическата физика концепцията за конюгирани променливи и комутатори играе централна роля при квантизацията на класически системи (т.нар. канонична квантизация).
Конюгираните променливи и тяхната некомутативна алгебра намират приложение не само във фундаменталната физика, но и в химията (напр. при спектроскопия и квантовохимични изчисления), в теорията на сигурността на информация (квантови изчисления и криптография) и в много други области на науката и технологиите.
[Бележка: Символът i в горните формули е мнимата единица (i2 = −1), а h е константата на Планк. Често удобство е да се използва ħ = h/(2π), затова формулите се виждат и в тази еквивалентна форма.]