Шварцшилдова метрика — решение на Общата теория на относителността за черни дупки

Научете Шварцшилдовата метрика: математическо решение на общата теория на относителността, описващо пространство-времето и гравитацията около невъртящи, сферични черни дупки.

Автор: Leandro Alegsa

18-09-2025 23:57

Метриката на Шварцшилд е изчислена от Карл Шварцшилд през 1916 г. като решение на уравненията на Айнщайн за полето. Известно още като решение на Шварцшилд, то е важно уравнение от общата теория на относителността, използвано често в астрофизиката. Това решение описва пространството-време около стационарна, сферично симетрична и невъртяща се маса, при положение че космологичната константа е нула и няма електричен заряд или магнитно поле. В частност метриката на Шварцшилд се използва за моделиране на гравитационното поле на идеализирана черна дупка без въртене (Шварцшилдова черна дупка) и за външното поле на сферично симетрични звезди.

В общи линии метриката е формула, която дава разстоянието (интервала) между две близки събития в пространството-време и така определя как частици и светлина следват своя път (геодезични линии) около масата. Тя задава и ефектите като гравитационно забавяне на времето, изкривяване на траектории на частици и лъчите, и гравитационно червено/синьо отклонение.

( d s ) 2 = - c 2 ( 1 - 2 G M r c 2 ) ( d t ) 2 + 1 ( 1 - 2 G M r c 2 ) ( d r ) 2 + r 2 ( d θ ) 2 + r 2 sin 2 ( θ ) ( d ϕ ) 2 {\displaystyle (ds)^{2}=-c^{2}(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}})(dt)^{2}+{\frac {1}{(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}})}}(dr)^{2}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )(d\phi )^{2}} $(ds)^{2}=-c^{2}(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}})(dt)^{2}+{\frac {1}{(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}})}}(dr)^{2}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )(d\phi )^{2}$

Обяснение на символите и основни величини

c — скоростта на светлината в празно пространство.
G — гравитационната константа на Нютон.
M — масата на централния обект (например черна дупка или звезда).
t, r, θ, φ — координати: t е координатно време, r е радиална координата (не задължително равно на обикновеното „радиално разстояние“ в евклидово пространство), θ и φ са ъгловите координати на сферична система.
Шварцшилдов радиус: r_s = 2GM/c^2. Това е характерният мащаб при който поведението на метриката се променя значително.

Ключови свойства и физически значения

Събитийният хоризонт: при r = r_s (r = 2GM/c^2) факторът (1 − 2GM/(rc^2)) става нула — това е хоризонтът на събитията за черната дупка. В координатите на Шварцшилд това изглежда като „сингулярност“ на метриката, но тя е координатна (премахва се в други координатни системи като Eddington–Finkelstein или Kruskal–Szekeres), т.е. физиката е редовна там за външни наблюдатели, докато за падащ наблюдател преминаването през хоризонта не е нито драматично, нито локално различно.
Физическа сингулярност: при r = 0 метриката има истинска (курватурна) сингулярност — скаларите на кривината (напр. Кретчмановият инвариант) стават безкрайни. Това показва край на класическата теория и нужда от квантова гравитация.
Асимптотична равнина: за r → ∞ метриката се доближава до метриката на плоско пространство-време (Мinkowski), т.е. решението е асимптотично плоско.
Геодезични движения: движението на частици и светлинни лъчи се получава като решение на уравненията за геодезични линии, извлечени от метриката. От тях следват много наблюдаеми ефекти: прецесия на перихелия (напр. на Меркурий), огъване на светлина, гравитационно забавяне на времето и червено изместване на спектрите.
Приложимост: метриката на Шварцшилд описва само невъртяща, ненатоварена (без заряд) сфера — за въртящи се черни дупки (като реалистичните астрономически обекти) се използва метриката на Кер или Кер–Нюман за въртящи/заредени случаи.

Кратко за координатите и разширенията

Координатите на Шварцшилд са удобни за външния регион (r > r_s), но при r = r_s появата на безкрайни компонентни стойности е чисто артефакт от избора на координати. За да се опише цялото пространство-време, включително вътрешността на хоризонта, се използват координатни системи като Eddington–Finkelstein или Kruskal–Szekeres, които показват ясно, че хоризонтът е светоподобна граница, през която падащата материя и светлината могат да преминат еднопосочно към центъра.

Наблюдения и значение в астрофизиката

Шварцшилдовата метрика е основна за разбирането на идеализирани черни дупки и дава предсказания, потвърдени експериментално и астрономически: прецесията на орбитите, огъването на светлината, гравитационното забавяне на времето и червеното изместване. Макар реалните черни дупки да често въртят и да са по-сложни, Шварцшилдовото решение служи като полезен първичен модел и отправна точка при изучаването на по-реалистични сценарии. Съвременни наблюдения като изображенията от Event Horizon Telescope и анализите на гравитационни вълни използват по-сложни решения, но принципите, показани от Шварцшилд, остават фундаментални.

В обобщение: метриката на Шварцшилд е първото и най-просто аналитично решение на полевите уравнения на Айнщайн за сферично симетрична маса, дава ясно разбиране за понятието хоризонт на събития и служи като основа за по-нататъшни общи и прикладни изследвания в гравитацията и астрофизиката.

Производни

Макар че по-сложен начин за изчисляване на метриката на Шварцшилд може да се намери с помощта на символите на Кристофел, тя може да се получи и с помощта на уравненията за скоростта на бягство ( v e {\displaystyle v_{e}} $v_{e}$ ), разширението на времето (dt'), свиването на дължината (dr'):

v e = v = 2 G M r {\displaystyle v_{e}=v={\sqrt {\frac {2GM}{r}}}} $v_{e}=v={\sqrt {\frac {2GM}{r}}}$ (1)

v е скоростта на частицата
G е гравитационната константа
M е масата на черната дупка
r е колко близо е частицата до тежкия обект

d t ′ = d t 1 - v 2 c 2 {\displaystyle dt'=dt{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}} $dt'=dt{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}$ (2)
d r ′ = d r 1 - v 2 c 2 {\displaystyle dr'={\frac {dr}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}} $dr'={\frac {dr}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}$ (3)

dt' е истинското изменение на времето на частицата
dt е изменението на времето на частицата
dr' е истинското изминато разстояние
dr е изменението на разстоянието на частицата
v е скоростта на частицата
c е скоростта на светлината

Забележка: истинският интервал от време и истинското разстояние, изминато от частицата, се различават от времето и разстоянието, изчислени в изчисленията на класическата физика, тъй като тя се движи в толкова силно гравитационно поле!

Използвайте уравнението за плоско пространство-време в сферични координати:

( d s ) 2 = - c 2 ( d t ) 2 + ( d r ) 2 + r 2 ( d θ ) 2 + r 2 sin 2 ( θ ) ( d ϕ ) 2 {\displaystyle (ds)^{2}=-c^{2}(dt)^{2}+(dr)^{2}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )(d\phi )^{2}} $(ds)^{2}=-c^{2}(dt)^{2}+(dr)^{2}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )(d\phi )^{2}$ (4)

ds е пътят на частицата

θ {\displaystyle \theta } $\theta$ е ъгълът
d θ {\displaystyle \theta } $\theta$ и d ϕ {\displaystyle \phi } $\phi$ са промените в ъглите

Въвеждане на уравненията за скоростта на бягство, разширението на времето и свиването на дължината (уравнения 1, 2 и 3) в уравнението за плоско пространство-време (уравнение 4), за да се получи метриката на Шварцшилд:

( d s ) 2 = - c 2 ( 1 - 2 G M r c 2 ) ( d t ) 2 + ( d r ) 2 ( 1 - 2 G M r c 2 ) + r 2 ( d θ ) 2 + r 2 sin 2 ( θ ) ( d ϕ ) 2 {\displaystyle (ds)^{2}=-c^{2}(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}})(dt)^{2}+{\frac {(dr)^{2}}{(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}})}}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )(d\phi )^{2}} $(ds)^{2}=-c^{2}(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}})(dt)^{2}+{\frac {(dr)^{2}}{(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}})}}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )(d\phi )^{2}$ (5)

От това уравнение можем да извадим радиуса на Шварцшилд ( r s {\displaystyle r_{s}} $r_{s}$ ) - радиусът на тази черна дупка. Въпреки че това най-често се използва за описание на черна дупка на Шварцшилд, радиусът на Шварцшилд може да се изчисли за всеки тежък обект.

( d s ) 2 = - c 2 ( 1 - r s r ) ( d t ) 2 + 1 ( 1 - r s r ) ( d r ) 2 + r 2 ( d θ ) 2 + r 2 sin 2 ( θ ) ( d ϕ ) 2 {\displaystyle (ds)^{2}=-c^{2}(1-{\frac {r_{s}}{r}})(dt)^{2}+{\frac {1}{(1-{\frac {r_{s}}{r}})}}(dr)^{2}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )(d\phi )^{2}} $(ds)^{2}=-c^{2}(1-{\frac {r_{s}}{r}})(dt)^{2}+{\frac {1}{(1-{\frac {r_{s}}{r}})}}(dr)^{2}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )(d\phi )^{2}$ (6)

r s {\displaystyle r_{s}} $r_{s}$ е зададената граница на радиуса на обекта

Въпроси и отговори

В: Какво представлява метриката на Шварцшилд?

О: Метриката на Шварцшилд е уравнение от общата теория на относителността в областта на астрофизиката, което описва как една частица се движи в пространството близо до черна дупка. То е изчислено от Карл Шварцшилд като решение на полевите уравнения на Айнщайн през 1916 г.

Въпрос: За какво се отнася метриката?

О: Метриката се отнася до уравнение, което описва пространство-времето; в частност метриката на Шварцшилд описва гравитационното поле около черна дупка на Шварцшилд.

В: Какви са някои характеристики на черната дупка на Шварцшилд?

О: Черната дупка на Шварцшилд не се върти, има сферична форма и няма магнитно поле. Освен това космологичната ѝ константа е нула.

В: Как можем да опишем гравитационното поле около черна дупка на Шварцшилд?

О: Можем да го опишем, като използваме метричното уравнение на Шварцшилд, което описва как частиците се движат в пространството в близост до този тип черни дупки.

В: Кой пръв е изчислил това уравнение?

О: Карл Шварцшилд изчислява това уравнение през 1916 г. като решение на полевите уравнения на Айнщайн.

В: Какво представлява (ds)^2 в това уравнение?

О: (ds)^2 представлява разстоянието между две точки в пространство-времето, измерено по отношение на времевите и пространствените координати.

обискирам