Метрика на Шварцшилд
Метриката на Шварцшилд е изчислена от Карл Шварцшилд през 1916 г. като решение на уравненията на Айнщайн за полето. Известно още като решение на Шварцшилд, то е уравнение от общата теория на относителността в областта на астрофизиката. Метриката се отнася до уравнение, което описва пространство-времето; в частност метриката на Шварцшилд описва гравитационното поле около черна дупка на Шварцшилд - невъртяща се, сферична черна дупка без магнитнополе, при която космологичната константа е нула.
По същество това е уравнение, което описва как една частица се движи в пространството в близост до черна дупка.
( d s ) 2 = - c 2 ( 1 - 2 G M r c 2 ) ( d t ) 2 + 1 ( 1 - 2 G M r c 2 ) ( d r ) 2 + r 2 ( d θ ) 2 + r 2 sin 2 ( θ ) ( d ϕ ) 2 {\displaystyle (ds)^{2}=-c^{2}(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}})(dt)^{2}+{\frac {1}{(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}})}}(dr)^{2}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )(d\phi )^{2}} 
Производни
Макар че по-сложен начин за изчисляване на метриката на Шварцшилд може да се намери с помощта на символите на Кристофел, тя може да се получи и с помощта на уравненията за скоростта на бягство ( v e {\displaystyle v_{e}}
), разширението на времето (dt'), свиването на дължината (dr'):
v e = v = 2 G M r {\displaystyle v_{e}=v={\sqrt {\frac {2GM}{r}}}} 
(1)
v е скоростта на частицата
G е гравитационната константа
M е масата на черната дупка
r е колко близо е частицата до тежкия обект
d t ′ = d t 1 - v 2 c 2 {\displaystyle dt'=dt{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}} 
(2)
d r ′ = d r 1 - v 2 c 2 {\displaystyle dr'={\frac {dr}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}} 
(3)
dt' е истинското изменение на времето на частицата
dt е изменението на времето на частицата
dr' е истинското изминато разстояние
dr е изменението на разстоянието на частицата
v е скоростта на частицата
c е скоростта на светлината
Забележка: истинският интервал от време и истинското разстояние, изминато от частицата, се различават от времето и разстоянието, изчислени в изчисленията на класическата физика, тъй като тя се движи в толкова силно гравитационно поле!
Използвайте уравнението за плоско пространство-време в сферични координати:
( d s ) 2 = - c 2 ( d t ) 2 + ( d r ) 2 + r 2 ( d θ ) 2 + r 2 sin 2 ( θ ) ( d ϕ ) 2 {\displaystyle (ds)^{2}=-c^{2}(dt)^{2}+(dr)^{2}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )(d\phi )^{2}} 
(4)
ds е пътят на частицата
θ {\displaystyle \theta } 
е ъгълът
d θ {\displaystyle \theta } и d ϕ {\displaystyle \phi } 
са промените в ъглите
Въвеждане на уравненията за скоростта на бягство, разширението на времето и свиването на дължината (уравнения 1, 2 и 3) в уравнението за плоско пространство-време (уравнение 4), за да се получи метриката на Шварцшилд:
( d s ) 2 = - c 2 ( 1 - 2 G M r c 2 ) ( d t ) 2 + ( d r ) 2 ( 1 - 2 G M r c 2 ) + r 2 ( d θ ) 2 + r 2 sin 2 ( θ ) ( d ϕ ) 2 {\displaystyle (ds)^{2}=-c^{2}(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}})(dt)^{2}+{\frac {(dr)^{2}}{(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}})}}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )(d\phi )^{2}} 
(5)
От това уравнение можем да извадим радиуса на Шварцшилд ( r s {\displaystyle r_{s}}
) - радиусът на тази черна дупка. Въпреки че това най-често се използва за описание на черна дупка на Шварцшилд, радиусът на Шварцшилд може да се изчисли за всеки тежък обект.
( d s ) 2 = - c 2 ( 1 - r s r ) ( d t ) 2 + 1 ( 1 - r s r ) ( d r ) 2 + r 2 ( d θ ) 2 + r 2 sin 2 ( θ ) ( d ϕ ) 2 {\displaystyle (ds)^{2}=-c^{2}(1-{\frac {r_{s}}{r}})(dt)^{2}+{\frac {1}{(1-{\frac {r_{s}}{r}})}}(dr)^{2}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )(d\phi )^{2}} 
(6)
r s {\displaystyle r_{s}} е зададената граница на радиуса на обекта
Въпроси и отговори
В: Какво представлява метриката на Шварцшилд?
О: Метриката на Шварцшилд е уравнение от общата теория на относителността в областта на астрофизиката, което описва как една частица се движи в пространството близо до черна дупка. То е изчислено от Карл Шварцшилд като решение на полевите уравнения на Айнщайн през 1916 г.
Въпрос: За какво се отнася метриката?
О: Метриката се отнася до уравнение, което описва пространство-времето; в частност метриката на Шварцшилд описва гравитационното поле около черна дупка на Шварцшилд.
В: Какви са някои характеристики на черната дупка на Шварцшилд?
О: Черната дупка на Шварцшилд не се върти, има сферична форма и няма магнитно поле. Освен това космологичната ѝ константа е нула.
В: Как можем да опишем гравитационното поле около черна дупка на Шварцшилд?
О: Можем да го опишем, като използваме метричното уравнение на Шварцшилд, което описва как частиците се движат в пространството в близост до този тип черни дупки.
В: Кой пръв е изчислил това уравнение?
О: Карл Шварцшилд изчислява това уравнение през 1916 г. като решение на полевите уравнения на Айнщайн.
В: Какво представлява (ds)^2 в това уравнение?
О: (ds)^2 представлява разстоянието между две точки в пространство-времето, измерено по отношение на времевите и пространствените координати.
