Principia Mathematica — Уайтхед и Ръсел: основите на математиката и логиката

Principia Mathematica — Уайтхед и Ръсел: епохално тритомно изследване на основите на математиката и символната логика, което трансформира философията и историята на математиката.

За книгата на Исак Нютон, съдържаща основните закони на физиката, вижте Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica.

Principia Mathematica е тритомно произведение за основите на математиката на Алфред Норт Уайтхед и Бъртранд Ръсел. Публикуван е през 1910, 1912 и 1913 г. През 1927 г. се появява във второ издание с важно Въведение към второто издание и различни бележки в края. Често е известна като PM.

Книгата представлява систематичен опит да се даде формална основа на математиката чрез набор от аксиоми и правила за извод в символната логика, от които да бъдат доказваеми всички математически истини. Това е един от най-амбициозните проекти в историята на логиката и философията на математиката: авторите са се стремели да сведат математиката до чиста логика — възглед, известен като логицизъм.

Структура и основно съдържание

Работата е публикувана в три тома и включва подробно развитие на логическата символика, теория на множествата и на отношението, теория на числата и конструкцията на реалните числа. В своя ход Уайтхед и Ръсел излагат формални определения, аксиоми и теореми, като систематично развиват логиката на високо ниво на абстракция. Силно характерна за произведението е сложната и плътна символика — заради това съдържанието често е трудно смилаемо за непосветени читатели.

Цели и метод

Целта на Principia Mathematica е да покаже, че основните области на математиката могат да бъдат сведени до логически принципи. За постигането на тази цел авторите използват:

• Формална симвология: прецизни правила за запис и извод;
• Аксиоматичен метод: дефиниции и аксиоми, от които да следват теореми чрез формални правила;
• Теория на типовете: сложна система за избягване на парадоксите на множествата.

Теория на типовете и аксиомата за редуцируемост

Една от основните технически иновации в PM е въвеждането на т.нар. разклонена (ramified) теория на типовете, която има за цел да предотврати парадокси като парадокса на Ръсел. За да възстановят възможността да докажат полезни математически факти в рамките на тази строга йерархия, авторите въвеждат и аксиомата за редуцируемост (Axiom of Reducibility) — допълнителен постулат, който по същество позволява да се премине от по-стриктни към по-груби типове. Тази аксиома по-късно бе възприета от мнозина критици като ад хок и като отслабване на чистия логицизъм, към който стремежът на Ръсел и Уайтхед бе насочен.

Известни детайли и примери

Известно е, че изводът на очевидни аритметични истини отнема значителен формален апарат — например доказателството на простото твърдение, че 1+1=2, се случва едва след продължително изграждане на цялата необходима логическа и теоретична база. Това и други „малки“ резултати показват колко обширен и детайлен е бил подходът на авторите.

Гьодел и последиците за проекта

През 1931 г. Курт Гьодел публикува своята теорема за непълнота, която показва, че всяка достатъчно силна, формална и ефективно аксиоматизируема теория, която обхваща аритметиката, не може едновременно да бъде последователна и пълна: винаги ще съществуват истински твърдения, които не могат да бъдат доказани в рамките на системата. Това означава, че надеждата на авторите на PM да постигнат пълната редукция на математиката до чиста логика се оказва невъзможна в посочения общ смисъл. Резултатът на Гьодел сериозно промени перспективите за програми като Хилбертската програма и пренасочи вниманието към други методи в основите на математиката.

Прием, влияние и критика

Влияние: Независимо от ограниченостите и трудностите, Principia Mathematica оказва огромно влияние върху развитието на математическата логика, философията на математиката и аналитичната философия. Работата стимулира формалната логика, теорията на доказателствата, семантиката и по-късните формализации в компютърните науки и теориите на изчислимостта.

Критика: Основните критики към PM включват обвинения в прекалена сложност и трудна за употреба система, както и съмнения относно опората върху аксиомата за редуцируемост, която мнозина смятат за не съвсем логическо допълнение. Някои философи и математици търсят по-елегантни или по-„натуралистични“ основи на математиката, а други разработват алтернативни формализации (напр. теория на множествата ZF, теория на типовете в по-модерни варианти и т.н.).

Значение и наследство

Principia Mathematica остава фундаментален труд за разбирането на ранния XX век в логиката и философията на математиката. Дори когато идеите в него са преосмислени, опростени или заменени, тяхното историческо и методологично значение е огромно: проектът демонстрира докъде може да стигне формалният метод, очертава ключови проблеми (като парадоксите и границите на формализацията) и задава отправна точка за по-нататъшни изследвания.

PM не трябва да се бърка с "Принципи на математиката" на Ръсел от 1903 г. PM гласи: Настоящият труд първоначално беше замислен от нас като... втори том на "Принципи на математиката"... Но с напредването на работата ни ставаше все по-очевидно, че темата е много по-обширна, отколкото предполагахме..."

Модерната библиотека я поставя на 23-то място в списъка на 100-те най-добри англоезични нехудожествени книги на ХХ век.

Въпроси и отговори

Въпрос: Какво е заглавието на книгата на Исак Нютон?

В: Кой е написал Principia Mathematica?

В: Кога е публикувана Principia Mathematica?

В: Какво са вярвали авторите, че могат да направят с книгата?

В: Как теоремата за непълнота на Гьодел доказва, че тази цел е невъзможна?

В: Кой вдъхнови и мотивира PM?

В: По какво се различава ПМ от "Принципи на математиката" на Ръсел от 1903 г.?

Търсене по буква