Централна гранична теорема | теореми за граничното поведение на агрегирани вероятностни разпределения

В теорията на вероятностите и статистиката централните гранични теореми, наричани съкратено CLT, са теореми за граничното поведение на агрегирани вероятностни разпределения. Те казват, че при голям брой независими случайни величини тяхната сума ще следва стабилно разпределение. Ако дисперсията на случайните величини е крайна, тогава ще се получи Гаусово разпределение. Това е една от причините, поради които това разпределение е известно и като нормално разпределение.

Най-известната и най-важната от тях е известна като централна гранична теорема. Тя се отнася за голям брой случайни величини с едно и също разпределение, всяка от които има идентична крайна дисперсия и очаквана стойност.

По-конкретно, ако X 1 , ... , X n {\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}} $X_{1},\ldots ,X_{n}$ са n идентични и независимо разпределени случайни величини със средна стойност μ {\displaystyle \mu } $\mu$ и стандартно отклонение σ {\displaystyle \sigma } $\sigma$ , то разпределението на тяхната средна стойност в извадката, ( X 1 + ⋯ $(X_{1}+\cdots +X_{n})/n$ , тъй като n става голямо, е приблизително нормално със средна стойност μ {\displaystyle \mu } $\mu$ и стандартно отклонение σ n {\displaystyle {\tfrac {\sigma }{\sqrt {n}}}} ${\tfrac {\sigma }{\sqrt {n}}}$ . Освен това разпределението на тяхната сума, X 1 + ⋯ $X_{1}+\cdots +X_{n}$ , тъй като n става голямо, също е приблизително нормално, със средна стойност n μ {\displaystyle n\mu } $n\mu$ и стандартно отклонение n σ {\displaystyle {\sqrt {n}}\sigma } ${\sqrt {n}}\sigma$ .

Съществуват различни обобщения на тази теорема. Някои от тези обобщения вече не изискват идентично разпределение на всички случайни величини. В тези обобщения друго предварително условие гарантира, че нито една случайна променлива няма по-голямо влияние върху резултата от останалите. Примери за това са условията на Линдеберг и Ляпунов.

Името на теоремата се основава на статията на Джордж Поля, написана през 1920 г., "За централната гранична теорема в теорията на вероятностите и проблема за момента".

Свързани страници

Стандартна грешка

Въпроси и отговори

В: Какво представлява централната гранична теорема?

О: Централната гранична теорема (ЦГТ) е теорема за граничното поведение на агрегирани вероятностни разпределения. Тя гласи, че при голям брой независими случайни величини тяхната сума ще следва стабилно разпределение. Ако дисперсията на случайните променливи е крайна, тогава ще се получи Гаусово разпределение.

Въпрос: Кой е написал статията, на която се основава тази теорема?

О: През 1920 г. Джордж Пَля написва статията "За централната гранична теорема в теорията на вероятностите и проблема за момента", която служи за основа на тази теорема.

Въпрос: Какъв тип разпределение се получава, когато всички случайни величини имат крайна дисперсия?

О: Когато всички случайни променливи имат крайна дисперсия, в резултат на прилагането на CLT ще се получи Гаусово или нормално разпределение.

В: Има ли някакви обобщения на CLT?

О: Да, има различни обобщения на CLT, които вече не изискват идентично разпределение на всички случайни променливи. Тези обобщения включват условията на Линдеберг и Ляпунов, които гарантират, че нито една случайна променлива няма по-голямо влияние върху резултата от другите.

Въпрос: Как работят тези обобщения?

О: Тези обобщения гарантират, че нито една случайна променлива не оказва по-голямо влияние върху резултата от другите, като въвеждат допълнителни предварителни условия, като например условията на Линдеберг и Ляпунов.

Въпрос: Какво казва CLT за средната стойност на извадката и сумата на голям брой независими случайни величини с едно и също разпределение?

О: Според CLT, ако n идентични и независимо разпределени случайни величини със средна стойност ى {\displaystyle \mu } и стандартно отклонение َ {\displaystyle \sigma } , то средната им стойност в извадката (X1+...+Xn)/n ще бъде приблизително нормална със средна стойност ى {\displaystyle \mu } и стандартно отклонение َ/√n {\displaystyle {\tfrac {\sigma }{\sqrt {n}}}} . Освен това тяхната сума X1+...+Xn също ще бъде приблизително нормална със средна стойност nى {\displaystyle n\mu } и стандартно отклонение √nَ {\displaystyle {\sqrt {n}}\sigma } .