Уейвлет

Уейвлет е математическа функция, която се използва за записване на функция или сигнал в термините на други функции, които са по-прости за изучаване. Много задачи за обработка на сигнали могат да се разглеждат от гледна точка на уейвлет трансформация. Неформално казано, сигналът може да се види под леща с увеличение, дадено от мащаба на уейвлета. По този начин можем да видим само информацията, която се определя от формата на използвания уейвлет.

Английският термин "wavelet" е въведен в началото на 80-те години на миналия век от френските физици Жан Морле и Алекс Гросман. Те използват френската дума "ondelette" (която означава "малка вълна"). По-късно тази дума е въведена в английския език чрез превод на "onde" на "wave", като се получава "wavelet".

Уейвлетът е (комплексна) функция от Хилбертовото пространство ψ L 2 ( R ) {\displaystyle \psi \in L^{2}(\mathbb {R} )}{\displaystyle \psi \in L^{2}(\mathbb {R} )} . За практическите приложения той трябва да отговаря на следните условия.

Тя трябва да има ограничена енергия.

∫ - ∞ ∞ | ψ ( t ) | 2 d t < ∞ {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|\psi (t)|^{2}dt<\infty } {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|\psi (t)|^{2}dt<\infty }

То трябва да отговаря на условие за допустимост.

∫ 0 ∞ | ψ ^ ( ω ) | 2 ω d ω < ∞ {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{{|{\hat {\psi }}(\omega )|^{2}} \over {\omega }}d\omega <\infty } {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{{|{\hat {\psi }}(\omega )|^{2}} \over {\omega }}d\omega <\infty }, където ψ ^ {\displaystyle {\hat {\psi }}}{\displaystyle {\hat {\psi }}} е трансформация на Фурие на ψ {\displaystyle \psi \,} {\displaystyle \psi \,}

Условието за нулева средна стойност произтича от условието за допустимост.

∫ - ∞ ∞ ψ ( t ) d t = 0 {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\psi (t)dt=0} {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\psi (t)dt=0}

Функцията ψ {\displaystyle \psi \,}{\displaystyle \psi \,} се нарича майчин уейвлет. Нейните преведени (изместени) и разширени (мащабирани) нормализирани версии се определят по следния начин.

ψ a , b ( t ) = 1 a ψ ( t - b a ) {\displaystyle \psi _{a,b}(t)={\frac {1}{\sqrt {a}}}\psi \left({{t-b} \over {a}}\right)} {\displaystyle \psi _{a,b}(t)={\frac {1}{\sqrt {a}}}\psi \left({{t-b} \over {a}}\right)}

Оригиналният майчин уейвлет има параметри a = 1 {\displaystyle a=1}{\displaystyle a=1} и b = 0 {\displaystyle b=0}{\displaystyle b=0} . Транслацията се описва с параметъра b {\displaystyle b}{\displaystyle b}, а дилатацията - с параметъра a {\displaystyle a}a.

Вълна на МорлеZoom
Вълна на Морле

Въпроси и отговори

В: Какво е уейвлет?


О: Уейвлет е математическа функция, която се използва за записване на функция или сигнал по отношение на други функции, които са по-прости за изучаване. Тя може да се види под леща с увеличение, дадено от мащаба на уейвлета, което ни позволява да видим само информацията, определена от формата му.

Въпрос: Кой въвежда термина "уейвлет"?


О: Английският термин "wavelet" е въведен в началото на 80-те години на миналия век от френските физици Жан Морле и Алекс Гросман, които използват френската дума "ondelette" (която означава "малка вълна"). По-късно тази дума е въведена в английския език, като "onde" е преведена на "wave" и така се получава "wavelet".

Въпрос: На какво трябва да отговаря един уейвлет, за да има практическо приложение?


О: За практически приложения един уейвлет трябва да има крайна енергия и да отговаря на условие за допустимост. Това условие за допустимост гласи, че той трябва да има нулева средна стойност и също така да отговаря на интеграл по честота, който е по-малък от безкрайност.

Въпрос: Какво се има предвид под транслация и дилатация, когато се говори за уейвлети?


О: Транслацията се отнася до изместване или преместване на основния уейвлет по времевата ос, докато дилатацията се отнася до мащабиране или разтягане/свиване на основните уейвлети по времевата ос. Тези два параметъра (транслация и дилатация) се описват съответно с b и a.

Въпрос: Какво означава един уейвлет да има нулева средна стойност?


О: Нулевата средна стойност означава, че когато се интегрира върху всички стойности на t от отрицателна безкрайност до положителна безкрайност, сумата трябва да е равна на 0, т.е. ∫-∞∞ψ(t)dt=0 . Това изискване следва от самото условие за допустимост, както беше споменато по-горе.

Въпрос: Как се дефинират майчините вълнови линии?


О: Майчините уейвлети се дефинират като нормализирани версии на транслираната (изместена) и дилатираната (мащабирана) версия на оригиналните майчини уейвлети, които имат параметри "a" = 1 и "b" = 0 .

AlegsaOnline.com - 2020 / 2023 - License CC3