Уейвлет: определение, свойства и приложения в обработката на сигнали

Уейвлет е математическа функция, която се използва за представяне на произволна функция или сигнал чрез комбинация от по-прости функции (уейвлети), които са локализирани както във времето, така и в спектралната област. Това позволява анализ на сигнала при различни скали (намерение за „увеличение“), което е особено полезно в задачите на обработка на сигнали. Неформално казано, чрез уейвлет трансформацията можем да „преглеждаме“ сигнала под различни степени на детайлност — малки стойности на мащаба показват бързи промени (високи честоти), а големи стойности — по-груби структури (ниски честоти). Много практически задачи в обработката на сигнали и изображения се формулират и решават ефективно от гледна точка на уейвлет трансформация.

Английският термин "wavelet" е въведен в началото на 80-те години на миналия век от френските физици Жан Морле и Алекс Гросман. Те използват френската дума "ondelette" (буквално "малка вълна"). По-късно тя е преведена на английски като "wavelet", а терминът бързо се разпространява в теорията и приложната математика.

Формално определение и основни условия

Уейвлетът е (комплексна) функция от Хилбертовото пространство ψ ∈ L 2 ( R ) {\displaystyle \psi \in L^{2}(\mathbb {R} )}. За практическите приложения ψ трябва да удовлетворява няколко важни свойства:

• Ограничена енергия (квадрат интегруема функция) — функцията има крайна норма в L2:

  ∫ - ∞ ∞ | ψ ( t ) | 2 d t < ∞ {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|\psi (t)|^{2}dt<\infty }

• Условие за допустимост (admissibility) — гарантира, че оригиналният сигнал може да бъде възстановен от уейвлет коефициентите:

  ∫ 0 ∞ | ψ ^ ( ω ) | 2 ω d ω < ∞ {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{{|{\hat {\psi }}(\omega )|^{2}} \over {\omega }}d\omega <\infty } , където ψ ^ {\displaystyle {\hat {\psi }}} е трансформация на Фурие на ψ {\displaystyle \psi \,} .

• Нулева средна стойност — следствие от условието за допустимост, което означава, че уейвлетът няма постоянна (нулева честотна) компонента:

  ∫ - ∞ ∞ ψ ( t ) d t = 0 {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\psi (t)dt=0}

• Варианти за гладкост и моментни условия — много уейвлети имат допълнителни свойства като брой на нулевите моменти (vanishing moments): за някои цели е важно да имаме ψ с ∫ t^k ψ(t) dt = 0 за k = 0,1,…,N-1. Това подобрява чувствителността към преходи и елиминира полиномиални трендове.

Майчин уейвлет и мащабирани/изместени версии

Функцията ψ {\displaystyle \psi \,} се нарича майчин уейвлет. Нейните преведени (изместени) и разширени (мащабирани) нормализирани версии се определят по следния начин:

ψ a , b ( t ) = 1 a ψ ( t - b a ) {\displaystyle \psi _{a,b}(t)={\frac {1}{\sqrt {a}}}\psi \left({{t-b} \over {a}}\right)}

Оригиналният майчин уейвлет има параметри a = 1 {\displaystyle a=1} и b = 0 {\displaystyle b=0}. Тук b описва транслацията (позицията), а дилатацията се задава с параметъра a — обикновено a>0. Нормализационният фактор 1/√a запазва L2 нормата на уейвлета при мащабиране, което е важно за правилно сравняване на коефициенти на различни скали.

Дискретни и непрекъснати уейвлети, бази и рамки

Уейвлетите могат да се използват като непрекъснато семейство (continuous wavelet transform, CWT), което дава подробна карта в скала-време, или да се дискретизират за практическа обработка (discrete wavelet transform, DWT). В дискретния случай често се използва двоично (диадично) вземане на проби: a = 2^j, b = k·2^j (j,k ∈ Z). При подходящ избор на майчин уейвлет и дискретизация получаваме ортонормална уейвлет база (или по-общо — рамка/фрейм), която позволява ефективно кодиране и реконструкция на сигнали.

Примери за популярни уейвлети

• Haar — най-простият уейвлет: стъпален, ортонормиран, компактно поддържан; бърз, но не гладки резултати.
• Daubechies — семейство с компактно поддържане и различен брой нулеви моменти; балансира между гладкост и компактност.
• Morlet — комплексен уейвлет, подходящ за анализ в честотно-времевата област (добро локализиране и в двете домейни).
• Mexican hat (Ricker) — втората производна на Гаусова функция, често използван при откриване на импулси и преходи.
• Meyer — гладък уейвлет с удобно поведение в честотната област.

Приложения в обработката на сигнали и изображения

• Деноизиране — уейвлет прагове (thresholding) за отстраняване на шум чрез запазване на значими коефициенти и отстраняване на малките шумни коефициенти.
• Компресия — представяне на сигнал/изображение с малко значими уейвлет коефициенти (пример: JPEG2000 използва уейвлетна компресия за изображения).
• Откриване на преходи и характеристики — локализация на ръбове в изображения, детекция на аномалии и транзиенти във времеви редове (например в биомедицински сигнали като ECG/EEG).
• Многоскалова (multiresolution) обработка — анализ на структурата на данните на различни резолюции; полезно при обработка на изображения, сливане на изображения и откриване на детайли.
• Сеизмичен и геофизичен анализ — анализ на времеви серии с различна скала за откриване на събития и характеристики.
• Филтриране и реконструкция — чрез филтърни банки и алгоритъма на Mallat за бърз уейвлетен трансформ.

Практически съображения

• Изборът на майчин уейвлет зависи от целта: за детекция на рязко променящи се структури често се предпочитат уейвлети с по-малко гладкост (напр. Haar), за гладко приближение — по-гладки уейвлети (напр. Daubechies с по-голям ред).
• Краищата на сигналите и граничните ефекти изискват внимателна обработка (padding, симетрични отражения и др.).
• Дискретната реализация често използва двоични скали и филтърни банки (низходяща/възходяща декомпозиция), което води до ефективни алгоритми с линейна сложност спрямо дължината на сигнала.

Уейвлетният анализ е мощен инструмент, който комбинира локализация във времето и честотата, мултискален анализ и ефективни числени алгоритми — затова намира широко приложение както в теорията, така и в практически задачи по обработка на сигнали и изображения.

Въпроси и отговори

В: Какво е уейвлет?

Въпрос: Кой въвежда термина "уейвлет"?

Въпрос: На какво трябва да отговаря един уейвлет, за да има практическо приложение?

Въпрос: Какво се има предвид под транслация и дилатация, когато се говори за уейвлети?

Въпрос: Какво означава един уейвлет да има нулева средна стойност?

Въпрос: Как се дефинират майчините вълнови линии?

Търсене по буква