Уейвлет-преобразуване: определение и видове (дискретна, диадична)

Уейвлет-преобразуване: ясна дефиниция, видове (дискретна, диадична) и приложения за филтриране, компресия и извличане на характеристики на сигнали.

Автор: Leandro Alegsa

13-10-2025 16:12

Уейвлет трансформацията е времево-честотно представяне на сигнала. Използваме го например за намаляване на шума, извличане на характеристики или компресия на сигнала.

Уейвлетовото преобразуване на непрекъснат сигнал се определя като

[ W ψ f ] ( a , b ) = 1 a ∫ - ∞ ∞ f ( t ) ψ ∗ ( t - b a ) d t {\displaystyle \left[W_{\psi }f\right](a,b)={\frac {1}{\sqrt {a}}}\int _{-\infty }^{\infty }{f(t)\psi ^{*}\left({\frac {t-b}{a}}\right)}dt\,} $\left[W_{\psi }f\right](a,b)={\frac {1}{\sqrt {a}}}\int _{-\infty }^{\infty }{f(t)\psi ^{*}\left({\frac {t-b}{a}}\right)}dt\,$ ,

където

ψ {\displaystyle \psi } $\psi$ е така нареченият майчин уейвлет,
a {\displaystyle a} означава уейвлет дилатация,
b {\displaystyle b} $b$ означава времевото изместване на уейвлета и
$*$ Символът ∗ {\displaystyle *} обозначава комплексен конюгат.

В случай на a = a 0 m {\displaystyle a={a_{0}}^{m}} $a={a_{0}}^{m}$ и b = a 0 m k T {\displaystyle b={a_{0}}^{m}kT} $b={a_{0}}^{m}kT$ , където a 0 > 1 {\displaystyle a_{0}>1} $a_{0}>1$ , T > 0 {\displaystyle T>0} и m $T>0$ {\displaystyle m} и k {\displaystyle k} са целочислени константи, уейвлет трансформацията се нарича дискретна уейвлет трансформация (на непрекъснат сигнал).

В случай на a = 2 m {\displaystyle a=2^{m}} $a=2^{m}$ и b = 2 m k T {\displaystyle b=2^{m}kT} $b=2^{m}kT$ , където m > 0 {\displaystyle m>0} $m>0$ , дискретното уейвлет преобразуване се нарича диадично. То се дефинира по следния начин

[ W ψ f ] ( m , k ) = 1 2 m ∫ - ∞ ∞ f ( t ) ψ ∗ ( 2 - m t - k T ) d t {\displaystyle \left[W_{\psi }f\right](m,k)={\frac {1}{\sqrt {2^{m}}}}\int _{-\infty }^{\infty }{f(t)\psi ^{*}\left(2^{-m}t-kT\right)}dt\,} $\left[W_{\psi }f\right](m,k)={\frac {1}{\sqrt {2^{m}}}}\int _{-\infty }^{\infty }{f(t)\psi ^{*}\left(2^{-m}t-kT\right)}dt\,$ ,

където

m {\displaystyle m} е скалата на честотата,
k {\displaystyle k} е скалата на времето и
T {\displaystyle T} $T$ е константа, която зависи от майчиния уейвлет.

Възможно е да се препише диадичното дискретно уейвлет преобразуване като

[ W ψ f ] ( m , k ) = ∫ - ∞ ∞ f ( t ) h m ( 2 m k T - t ) d t {\displaystyle \left[W_{\psi }f\right](m,k)=\int _{-\infty }^{\infty }{f(t)h_{m}\left(2^{m}kT-t\right)}dt\,} $\left[W_{\psi }f\right](m,k)=\int _{-\infty }^{\infty }{f(t)h_{m}\left(2^{m}kT-t\right)}dt\,$ ,

където h m {\displaystyle h_{m}} $h_{m}$ е импулсна характеристика на непрекъснат филтър, която е идентична с ψ m ∗ {\displaystyle {\psi _{m}}^{*}} ${\psi _{m}}^{*}$ за дадено m {\displaystyle m} .

Аналогично, диадичното уейвлет преобразуване с дискретно време (на дискретен сигнал) се определя като

За дискретен сигнал x[n] диадичните уейвлет коефициенти на скала m и позиция k често се записват като

W(m,k) = ∑_{n} x[n] · h_{m}(2^{m}k - n),

където h_{m} е импулсният отговор (или дискретен филтър), съответстващ на уейвлета на скалата m. По-практичен и широко използван начин за изчисление на DWT е чрез двулентовите филтрови банки (Mallat алгоритъм): на всеки етап сигналът се филтрира с нискочестотен (скалиращ) филтър и височестотен (уейвлет) филтър и след това се подпремпери (downsample) с фактор 2. Това дава йерархична декомпозиция на сигнала на честотни подлентове.

Основни свойства и условия

Адмисибилност: майчиният уейвлет ψ трябва да удовлетворява условието за адмисибилност, което гарантира възможност за възстановяване. На практика това означава, че ψ има нулева средна стойност (∫ ψ(t) dt = 0) и преобразуването на ψ във фреквенционната област удовлетворява интегрална условие (интегралът |Ψ̂(ω)|^2/|ω| е краен).
Възстановяване (рекаструкция): при подходящ избор на майчиния уейвлет и филтри съществуват синтезни филтри, които позволяват точно обратно преобразуване (перфектно възстановяване) към оригиналния сигнал.
Ванишинг моменти: уейвлетите могат да имат различен брой vanishing moments (нулави моменти). Например уейвлет с N vanishing moments е ортогонален на полиноми до степен N-1 и е добър за представяне на сигнали със гладки участъци и локални преходи.
Локализация във времето и честотата: уейвлет трансформацията предлага добра времево-честотна локализация, особено за анализ на транзиентни явления — високочестотните компоненти са локализирани в кратки временни интервали, нискочестотните — в по-дълги.

Мултирезолюционен анализ и филтрови банки

Мултирезолюционният анализ (MRA) дава теоретична основа за дискретните уейвлети чрез скалираща функция φ (phi) и уейвлет функция ψ. Дискретните уейвлети на практика се реализират чрез краткозаписни FIR филтри (например коефициенти на Daubechies, Haar и др.).

Алгоритъмът на Mallat (пирамида) работи рекурсивно:

филтриране на входния сигнал с нискочестотен филтър (low-pass) → подизвад (approximation),
филтриране с високочестотен филтър (high-pass) → детайлни коефициенти (detail),
подпробация (downsampling) на всеки резултат с фактор 2 и повторение на процеса върху приблизителната част за следващите нива.

За възстановяване се използват синтезни филтри и операция на надпробация (upsampling) и филтриране, които могат да възстановят оригиналния сигнал при правилни условия (перфектна реконтрукция).

Примери за уейвлети и приложения

Често използвани уейвлети: Haar (най-прост), Daubechies (dbN), Symlets, Coiflets, Meyer, Morlet (често в непрекъснатия случай).
Приложения: кодиране и компресия (например JPEG 2000 за изображения), филтриране и намаляване на шум, детекция на преходи/събития, извличане на характеристики в биомедицински сигнали (ЕКГ, ЕЕГ), анализ на вибрации, обработка на изображения и др.

Сравнение с други методи

В сравнение със СТОХ (STFT) уейвлет трансформацията предлага адаптивна времево-честотна резолюция: при високи честоти — добра времева резолюция (къси прозорци), при ниски — добра честотна резолюция (дълги прозорци). Това я прави по-подходяща за анализ на сигнали с транзиенти и нестационарни характеристики.

Практически бележки

Изборът на майчин уейвлет и дължината на филтрите зависи от задачата: по-гладки уейвлети (по-дълги филтри) дават по-добра честотна селективност, но по-лоша времева локализация и по-голяма изчислителна сложност.
При дискретни данни трябва да се вземе предвид границата на сигнала (padding), за да се избегнат артефакти при филтриране и под-/надпробация.
Съвременните библиотеки (напр. MATLAB Wavelet Toolbox, PyWavelets) предоставят готови реализации за DWT, IDWT и различни видове уейвлети и филтри.

Целта на този преглед е да даде общо и практично разбиране за уейвлет-преобразуването, неговите разновидности (непрекъсната, дискретна, диадична), основни свойства, реализация и приложения. За по-задълбочено математическо третиране се разглеждат допълнително условията за адмисибилност, теориите на мултирезолюцията и конкретните коефициенти на филтрите за различни семейства уейвлети.

Непрекъснато уейвлет преобразуване на сигнал за честотно разбиване. Използван е симлет с 5 изчезващи момента.

Въпроси и отговори

Въпрос: Какво представлява вълновото преобразуване?

О: Уейвлет трансформацията е времево-честотно представяне на сигнал, което се използва за намаляване на шума, извличане на характеристики или компресия на сигнала.

В: Как се дефинира уейвлет трансформацията на непрекъснати сигнали?

О.: Уейвлет трансформацията на непрекъснати сигнали се определя като интеграл над всички стойности на функцията, умножена по майчин уейвлет, където параметрите "a" и "b" означават съответно разширение и изместване във времето.

В: Какво представляват диадичните дискретни уейвлет трансформации?

О: Диадичните дискретни уейвлет трансформации са дискретни версии на обикновените дискретни уейвлет трансформации с честотна скала "m", времева скала "k" и константа "T". Те могат да се пренапишат като интеграл над всички стойности на функцията, умножен по импулсен филтър, който е идентичен с майчиния уейвлет за дадено m.

Въпрос: Какво означава "майчин уейвлет" в този контекст?

О: В този контекст "майчини уейвлети" се отнася за функции, които се използват заедно с други функции, за да формират основата за изчисляване на определен вид трансформация (в този случай - уейвлет трансформация).

В: Как се изчисляват диадични дискретни уейвлети?

О: Дядовите дискретни уейвлети се изчисляват, като се използва интеграл върху всички стойности на функцията, умножен по импулсен характерен филтър, който е идентичен с майчиния уейвлет за дадено m. Освен това те изискват като параметри честотна скала m, времева скала k и константа T.

Въпрос: Какво представляват "a" и "b" при дефинирането на непрекъснати уейвлети?

О: При дефинирането на непрекъснати уейвлети "a" представлява разширение, а "b" - изместване във времето.

обискирам