Уейвлет трансформация

Уейвлет трансформацията е времево-честотно представяне на сигнала. Използваме го например за намаляване на шума, извличане на характеристики или компресия на сигнала.

Уейвлетовото преобразуване на непрекъснат сигнал се определя като

[ W ψ f ] ( a , b ) = 1 a ∫ - ∞ ∞ f ( t ) ψ ∗ ( t - b a ) d t {\displaystyle \left[W_{\psi }f\right](a,b)={\frac {1}{\sqrt {a}}}\int _{-\infty }^{\infty }{f(t)\psi ^{*}\left({\frac {t-b}{a}}\right)}dt\,} $\left[W_{\psi }f\right](a,b)={\frac {1}{\sqrt {a}}}\int _{-\infty }^{\infty }{f(t)\psi ^{*}\left({\frac {t-b}{a}}\right)}dt\,$ ,

където

ψ {\displaystyle \psi } $\psi$ е така нареченият майчин уейвлет,
a {\displaystyle a} означава уейвлет дилатация,
b {\displaystyle b} $b$ означава времевото изместване на уейвлета и
$*$ Символът ∗ {\displaystyle *} обозначава комплексен конюгат.

В случай на a = a 0 m {\displaystyle a={a_{0}}^{m}} $a={a_{0}}^{m}$ и b = a 0 m k T {\displaystyle b={a_{0}}^{m}kT} $b={a_{0}}^{m}kT$ , където a 0 > 1 {\displaystyle a_{0}>1} $a_{0}>1$ , T > 0 {\displaystyle T>0} и m $T>0$ {\displaystyle m} и k {\displaystyle k} са целочислени константи, уейвлет трансформацията се нарича дискретна уейвлет трансформация (на непрекъснат сигнал).

В случай на a = 2 m {\displaystyle a=2^{m}} $a=2^{m}$ и b = 2 m k T {\displaystyle b=2^{m}kT} $b=2^{m}kT$ , където m > 0 {\displaystyle m>0} $m>0$ , дискретното уейвлет преобразуване се нарича диадично. То се дефинира по следния начин

[ W ψ f ] ( m , k ) = 1 2 m ∫ - ∞ ∞ f ( t ) ψ ∗ ( 2 - m t - k T ) d t {\displaystyle \left[W_{\psi }f\right](m,k)={\frac {1}{\sqrt {2^{m}}}}\int _{-\infty }^{\infty }{f(t)\psi ^{*}\left(2^{-m}t-kT\right)}dt\,} $\left[W_{\psi }f\right](m,k)={\frac {1}{\sqrt {2^{m}}}}\int _{-\infty }^{\infty }{f(t)\psi ^{*}\left(2^{-m}t-kT\right)}dt\,$ ,

където

m {\displaystyle m} е скалата на честотата,
k {\displaystyle k} е скалата на времето и
T {\displaystyle T} $T$ е константа, която зависи от майчиния уейвлет.

Възможно е да се препише диадичното дискретно уейвлет преобразуване като

[ W ψ f ] ( m , k ) = ∫ - ∞ ∞ f ( t ) h m ( 2 m k T - t ) d t {\displaystyle \left[W_{\psi }f\right](m,k)=\int _{-\infty }^{\infty }{f(t)h_{m}\left(2^{m}kT-t\right)}dt\,} $\left[W_{\psi }f\right](m,k)=\int _{-\infty }^{\infty }{f(t)h_{m}\left(2^{m}kT-t\right)}dt\,$ ,

където h m {\displaystyle h_{m}} $h_{m}$ е импулсна характеристика на непрекъснат филтър, която е идентична с ψ m ∗ {\displaystyle {\psi _{m}}^{*}} ${\psi _{m}}^{*}$ за дадено m {\displaystyle m} .

Аналогично, диадичното уейвлет преобразуване с дискретно време (на дискретен сигнал) се определя като

Непрекъснато уейвлет преобразуване на сигнал за честотно разбиване. Използван е симлет с 5 изчезващи момента.

Въпроси и отговори

Въпрос: Какво представлява вълновото преобразуване?

О: Уейвлет трансформацията е времево-честотно представяне на сигнал, което се използва за намаляване на шума, извличане на характеристики или компресия на сигнала.

В: Как се дефинира уейвлет трансформацията на непрекъснати сигнали?

О.: Уейвлет трансформацията на непрекъснати сигнали се определя като интеграл над всички стойности на функцията, умножена по майчин уейвлет, където параметрите "a" и "b" означават съответно разширение и изместване във времето.

В: Какво представляват диадичните дискретни уейвлет трансформации?

О: Диадичните дискретни уейвлет трансформации са дискретни версии на обикновените дискретни уейвлет трансформации с честотна скала "m", времева скала "k" и константа "T". Те могат да се пренапишат като интеграл над всички стойности на функцията, умножен по импулсен филтър, който е идентичен с майчиния уейвлет за дадено m.

Въпрос: Какво означава "майчин уейвлет" в този контекст?

О: В този контекст "майчини уейвлети" се отнася за функции, които се използват заедно с други функции, за да формират основата за изчисляване на определен вид трансформация (в този случай - уейвлет трансформация).

В: Как се изчисляват диадични дискретни уейвлети?

О: Дядовите дискретни уейвлети се изчисляват, като се използва интеграл върху всички стойности на функцията, умножен по импулсен характерен филтър, който е идентичен с майчиния уейвлет за дадено m. Освен това те изискват като параметри честотна скала m, времева скала k и константа T.

Въпрос: Какво представляват "a" и "b" при дефинирането на непрекъснати уейвлети?

О: При дефинирането на непрекъснати уейвлети "a" представлява разширение, а "b" - изместване във времето.