Аритметична точност — определение, значещи цифри и правила за закръгляване

Прецизността на дадена числова стойност описва броя на цифрите, които се използват за показване на тази стойност. В научна и техническа практика това най-често означава общия брой на цифрите, наричани значещи цифри (significant figures). По-рядко под прецизност се разбира броят на дробните цифри или десетичните знаци — тоест броят на цифрите след десетичната запетая). Второто определение е полезно в финансови и инженерни приложения, където броят на цифрите в дробната част е от съществено значение (например при цените и при спецификациите на компонентите).

В широк смисъл терминът „прецизност“ описва и позицията, на която ще бъде закръглен неточен резултат. Например при аритметиката с плаваща запетая резултатът често се закръгля до дадена или фиксирана точност (броя на значещите цифри, които се запазват). При финансовите изчисления числата обичайно се закръгляват до фиксиран брой места след разделителя (например до две места след десетичния разделител за много световни валути)).

Пример и проблемът с фалшивата точност

Например, десетичната стойност 12,345 може да бъде представена с различен брой значещи цифри или десетични знаци. Ако наличната точност не позволява всички цифри да бъдат запазени, числото се закръглява по установено правило. В първоначалния текст се цитира закръгляне с методът "закръгляне до четворка", но на практика има няколко стандарта за закръгляване (например „закръгляне нагоре/надолу“, „round half up“, „round half to even“ и др.).

Важно е да се избягва показването на повече цифри, отколкото позволява измерването. Например ако едно устройство измерва с точност до грам и показва 12,345 kg, то да се напише 12,34500 kg би въвело фалшива точност, тъй като двете допълнителни нули не са подкрепени от измерването.

Как се определя стойност с p значещи цифри

За положително число x представянето с точност до p значещи цифри може да се извърши чрез следната стъпка по стъпка процедура: изчисляваме експонентата n, която е позицията на скалирането, и след това закръгляваме. Формално:

round(x / 10^n) * 10^n, където n = floor(log10(x)) + 1 - p.

Тоест първо се дели x на 10^n, закръгля се до най-близката цяло (или според избраното правило за закръгляване), а след това резултатът се умножава обратно по 10^n. За отрицателни числа окончателната стойност е с минус пред същата абсолютна стойност; числото 0 при всяка точност остава 0.

Правила за броене на значещите цифри

• Всички ненулеви цифри са значещи: например 123,45 има 5 значещи цифри.
• Водещите нули (преди първата ненулева цифра) не са значещи: 0,0123 има 3 значещи цифри (1,2,3).
• Вътрешни нули (между ненулеви цифри) са значещи: 102,03 има 5 значещи цифри.
• Крайни нули след десетичната запетая са значещи: 1,2300 има 4 значещи цифри.
• Крайни нули в цяло число без десетична запетая могат да са неясни — често се явяват несигурни освен ако не е посочено, че са значещи (например чрез научна нотация 1.2300×10^3 показва 5 значещи цифри).
• Точни и дефинирани стойности (като броя на обекти: 5 ябълки) имат неограничен брой значещи цифри и не ограничават прецизността при операции.

Правила за аритметични операции

• За умножение и деление резултатът се закръглява до толкова значещи цифри, колкото има оперантът с най-малко значещи цифри. Пример: 2,5 (2 значещи) × 3,42 (3 значещи) = 8,55 → закръглено до 2 значещи цифри = 8,6.
• За събиране и изваждане резултатът се закръглява до най-малката позиция на десетичните знаци сред оперантите (т.е. до най-малката точност в абсолютен смисъл). Пример: 12,11 + 0,3 = 12,41 → закръглено до 1 десетична цифра = 12,4.

Често използвани методи за закръгляване

• Round half up (закръгляне при 0.5 нагоре): често използвано в ежедневието — при 0.5 се закръглява нагоре.
• Round half to even (банкери — закръгляне до четна): при 0.5 се закръглява към най-близката четна цифра; намалява систематичната грешка при многократни операции.
• Always round down/up: понякога се прилага в контролирани среди, но може да въведе систематично отклонение.

Примери

Върху числото 12,345 (пример от началото):

• С 5 значещи цифри: 12,345 (без промяна).
• С 4 значещи цифри: 12,35 (закръглено до 4 значещи).
• С 3 значещи цифри: 12,3.
• С 2 значещи цифри: 12.

Практически съвети

• Използвайте научна нотация (напр. 1.2345×10^1), когато искате да направите ясно колко значещи цифри са запазени.
• В отчети и публикации посочвайте и мерната единица и точността на измерване (например 12,35 ± 0,01 kg).
• При програмиране и числени изчисления бъдете внимателни с вградените формати за закръгляване на езика/библиотеката — различните среди прилагат различни правила по подразбиране.

За допълнителни уточнения относно математическите функции и логаритмите, използвани в горната формула, вижте round и log10. За отрицателни стойности на x резултатът се взема като минус абсолютната стойност на закръгленото число; за подробности относно абсолютната стойност вижте абсолютната стойност.

Въпроси и отговори

Въпрос: Какво представлява точността на цифровата стойност?

Въпрос: Как може да се използва точността, за да се опише позицията, на която ще се закръгли неточен резултат?

Въпрос: Как може да се изрази 12.345 с различен брой значещи цифри или десетични знаци?

Въпрос: Какво се случва, когато точността е недостатъчна?

Въпрос: Подходящо ли е да се показва число с повече цифри от тези, които могат да бъдат измерени?

Въпрос: Коя формула представя положителните числа x с точност p значещи цифри?

Търсене по буква