NHA
На 17 февруари 1910 г. хокейният клуб "Чикутими" играе неофициален мач срещу професионалния отбор "Монреал Канейдиънс" от Националната хокейна асоциация. Въпреки че играят с по-слаб отбор, Канадците не отбелязват гол и губят мача. Това подтиква Жозеф Катаринич, вратар на Канадците, да убеди отбора си да предложи проба на Жорж Везина, който е вратар на Чикутими. Първоначално Везина отказва предложението и остава в Чикутими до завръщането на Канадците по-късно през декември същата година. Този път те убеждават Жорж, заедно с брат му Пиер, да дойдат в Монреал. Двамата братя Везина пристигат на 22 декември 1910 г. Докато Пиер не успява да се наложи в отбора, Жорж впечатлява канадците, особено с използването на стика си за блокиране на удари. Везина подписва договор за 800 канадски долара на сезон и прави професионалния си дебют на 31 декември 1910 г. срещу Отава Сенатърс. Той изиграва всичките шестнадесет мача за Канадците през сезон 1910-11 г., като завършва с осем победи и осем загуби, като същевременно дава най-малко голове в лигата.
През следващия сезон Везина отново е с най-малко отбелязани голове в лигата и има осем победи и десет загуби. Везина записва първия си шътаут в кариерата през сезон 1912-13 г., побеждавайки Отава с 6:0 на 18 януари 1913 г. за една от деветте си победи през сезона. Канадците завършват на първо място в НХА за първи път през 1913-14 г., при равенство с Торонто Блусърс. Отново Везина оглавява лигата с най-малко допуснати голове, като в същото време постига тринадесет победи и седем загуби. Според правилата на NHA отборът, заел първо място, играе на финала за купа "Стенли", но поради равенството за първото място канадците трябваше да играят серия от два мача с общо голове срещу Торонто. Везина отстранява "сините" в първия мач, който Монреал печели с 2:0, но във втория мач допуска шест гола, което позволява на "сините" да играят за купа "Стенли", която те печелят.
След четиринадесет загубени мача и последното място в NHA през 1914-15 г., Везина и канадците печелят шестнадесет мача през сезон 1915-16 г. и отборът завършва на първо място в лигата. Като лидери в лигата Канадците са избрани да играят на финала за купа "Стенли" през 1916 г., където играят срещу Портланд Роузбъдс, шампион на конкурентната Тихоокеанска асоциация по хокей. Канадците побеждават Роузбъдс с три на два мача в най-добрата серия от пет мача и печелят купа "Стенли" за първи път в историята на отбора. Вторият син на Везина се ражда в нощта на петия мач, което заедно с бонуса от 238 долара, който всеки член на Канадците получава за шампионата, го кара да смята серията за най-добрата част от кариерата си. През следващия сезон Везина отново оглавява НХА с най-малко допуснати голове, което се случва за четвърти път в рамките на седем години, и помага на Канадците отново да достигнат до финала за купа "Стенли", където губят от Сиатъл Метрополитънс.
NHL
През ноември 1917 г. NHA е заменена от Националната хокейна лига (НХЛ), към която се присъединяват Везина и Канадците. На 18 февруари 1918 г. той става първият вратар в историята на НХЛ, който записва шътаут, като разгромява Торонто с 9:0. На 28 декември 1918 г. става първият вратар с асистенция за гол на Нюси Лалонде, който е поел шайбата след спасяване на Везина. Завършва сезона с дванадесет победи, като допуска най-малко голове във вратата си. Везина постави и рекорд, който бе поделен с Клинт Бенедикт от Отава Сенатърс, за най-малко шътаути, необходими за лидерство в лигата в тази категория, с един.
През 1918-19 г. Везина печели десет мача и помага на Канадците да победят Отава Сенатърс в плейофите на НХЛ, за да могат да играят за купа "Стенли" срещу шампиона на PCHA - Сиатъл Метрополитънс. Проведени в Сиатъл, двата отбора са с равен брой точки в най-добрата серия от пет мача, когато тя е отменена поради епидемията от испански грип, като това е първият случай, в който купа "Стенли" не е присъдена. В десетте плейофни мача преди отмяната Весина печели шест мача, губи три и завършва наравно един, като има един шътаут. През следващите два сезона Везина записва почти идентични резултати - тринадесет победи и единадесет загуби, а средният брой голове срещу един отбор е над четири както през сезон 1919-20, така и през сезон 1920-21. През следващия сезон той печели дванадесет мача, като канадците отново не успяват да се класират за купа "Стенли".
След като печели тринадесет мача през 1922-23 г., Везина повежда Канадците към плейофите на НХЛ, където те губят серията от два мача с общо голове на Отава Сенатърс, които печелят купа "Стенли". През следващия сезон Везина се завръща начело на лигата по най-малък брой отбелязани голове. Средната му стойност от 1,97 гола на мач е първият случай, в който вратар получава средно по-малко от два гола на мач. С още един сезон с тринадесет победи през 1923-24 г. Канадците достигат до плейофите в НХЛ, където отново се изправят срещу Отава Сенатърс. Този път Канадците печелят серията, след което побеждават Ванкувър Маруни от ПХКА, преди да достигнат до финала за купа "Стенли" за първи път от пет години. Играейки с Калгари Тигърс от Западноканадската хокейна лига, Везина и Канадците печелят най-добрата серия от три мача с два на нула, като Везина записва шътаут във втория мач. Шампионската титла е първата за Канадците като член на НХЛ и втората за клуба. След седемнадесет победи през сезон 1924-25 г., в който Везина записва среден брой голове срещу вратата от 1,81, с което отново оглавява лигата, Канадците достигат до финала за купа "Стенли". Канадците се класират само след като шампионите от редовния сезон Хамилтън Тайгърс са отстранени заради отказ да играят в плейофите, ако не им бъде платено повече. Изправяйки се срещу Victoria Cougars, Канадците губят серията с три на един мача.
При завръщането си в Монреал за тренировъчния лагер за сезон 1925-26 г. Везина е видимо болен, но не казва нищо за това. По време на първия мач на канадците на 28 ноември срещу Питсбърг Пиратс той е отслабнал с 35 килограма за шест седмици и има температура от 102 градуса по Фаренхайт. Въпреки това той излиза на леда и завършва първия период, без да допусне гол. Везина започна да повръща кръв в антракта, преди да се върне за началото на втория период. След това той припадна в зоната на вратата си и напусна играта, като на негово място влезе бившият вратар на олимпийския отбор на САЩ Алфонс Лакроа.
В деня след мача Везина е диагностициран с туберкулоза и му е препоръчано да се върне у дома. На 3 декември той влиза за последен път в съблекалнята на Канадците, за да каже последно сбогом на съотборниците си. По-късно Дандюран описва Везина като седящ в своя ъгъл на съблекалнята и със "сълзи, търкалящи се по бузите му". Той гледаше старите си протектори и кънки, които Еди Дюфур [треньорът на Канадците] беше подредил в ъгъла на Жорж. След това поиска една малка услуга - пуловера, който беше носил в последните световни серии". Везина се завръща в родния си град Чикутими със съпругата си Мари, където умира в ранните часове на 27 март 1926 г. в l'Hôtel-Dieu. Въпреки че изиграва само един период за Канадците през целия сезон, отборът изплаща цялата му заплата от 6 000 долара, което показва колко важен е бил Везина за отбора.