Число на Ферма
Числото на Ферма е специално положително число. Числата на Ферма са кръстени на Пиер дьо Ферма. Формулата, която ги генерира, е
F n = 2 2 n + 1 {\displaystyle F_{n}=2^{2^{\overset {n}{}}}+1} 
където n е неотрицателно цяло число. Първите девет числа на Ферма са (последователност A000215 в OEIS):
F0 = 21 + 1 = 3
F1 = 22 + 1 = 5
F2 = 24 + 1 = 17
F3 = 28 + 1 = 257
F4 = 216 + 1 = 65537
F5 = 232 + 1 = 4294967297 = 641 × 6700417
F6 = 264 + 1 = 18446744073709551617 = 274177 × 67280421310721
F7 = 2128 + 1 = 340282366920938463463374607431768211457 = 59649589127497217 × 5704689200685129054721
F8 = 2256 + 1 = 115792089237316195423570985008687907853269984665640564039457584007913129639937 = 1238926361552897 × 93461639715357977769163558199606896584051237541638188580280321
Към 2007 г. само първите 12 числа на Ферма са напълно разчетени. Тези факторизации могат да бъдат намерени на адрес Prime Factors of Fermat Numbers.
Ако 2n + 1 е просто число и n > 0, може да се докаже, че n трябва да е степен на две. Всяко просто число от вида 2n + 1 е число на Ферма и такива числа се наричат числа на Ферма. Единствените известни първични числа на Ферма са F0,...,F4.
Интересни неща за числата на Ферма
- Няма две числа на Ферма, които да имат общи делители.
- Числата на Ферма могат да се изчисляват рекурсивно: За да получите N-тото число, умножете всички числа на Ферма преди него и прибавете две към резултата.
За какво се използват
Днес числата на Ферма могат да се използват за генериране на случайни числа между 0 и някаква стойност N, която е степен на 2.
Предположението на Ферма
Когато изучавал тези числа, Ферма предположил, че всички числа на Ферма са прости. Леонхард Ойлер доказва, че това е грешка, като през 1732 г. прави фактор на F 5 {\displaystyle F_{5}}.
Въпроси и отговори
В: Какво е число на Ферма?
О: Числото на Ферма е специално положително число, наречено на името на Пиер дьо Ферма. То се получава по формулата F_n = 2^2^(n) + 1, където n е неотрицателно цяло число.
В: Колко са числата на Ферма?
О: Към 2007 г. само първите 12 числа на Ферма са напълно фактологизирани.
В: Кои са първите девет числа на Ферма?
A: Първите девет числа на Ферма са: F0 = 3, F1 = 5, F2 = 17, F3 = 257, F4 = 65537, F5 = 4294967297 (641 × 6700417), F6 = 18446744073709551617 (274177 × 67280421310721), F7 = 340282366920938463463374607431768211457 (59649589127497217 × 5704689200685129054721), и F8 = 115792089237316195423570985008687907853269984665640564039457584007913129639937 (1238926361552897 × 93461639715357977769163558199606896584051237541638188580280321).
Въпрос: Какво може да се каже за простите числа от вида 2n + 1?
О: Ако 2n + 1 е просто число и n > 0, тогава може да се покаже, че n трябва да е степен на две. Всяко просто число от вида 2n + 1 е също число на Ферма и такива числа се наричат числа на Ферма. Единствените известни първични числа на Ферма са от 0 до 4.
Въпрос: Къде могат да се намерят факторизациите на всички 12 известни фактории на числата на Ферма?
О: Факторизациите на всички 12 известни факторирани числа на Ферма могат да бъдат намерени на адрес Prime Factors of Fermat Numbers.
В: Кой е бил Пиер дьо Ферма?
О: Пиер дьо Ферма е влиятелен френски математик, живял през XVII в., чиито трудове полагат основите на съвременната математика. Той е известен най-вече с приноса си към теорията на вероятностите и аналитичната геометрия, както и с известната си последна теорема, която остава нерешена до 1995 г., когато най-накрая е доказана от Андрю Уайлс с помощта на методи от алгебричната геометрия.
