Алгебрични структури: определение и примери (магма, група, поле)

Алгебрични структури: ясно определение и примери на магма, полугрупа, моноид, група и поле — свойства, теории и илюстрации за студенти и преподаватели.

В математиката алгебрична структура е множество с една, две или повече бинарни операции върху него^. Формално това обикновено се представя като двойка (S, ⋆), (S, ⋆, ○) и т.н., където всяка двоична операция е функция S × S → S. Операциите могат да се записват както в абелова (събиране) форма, така и в мултипликативна (умножение) форма — изборът е удобен в зависимост от контекста.

Основни алгебрични структури с една двоична операция

• Магма (математика)

Множество с двоична операция. Магмата е най-елементарната структура: набор S заедно с операция ⋆, която за всеки два елемента a, b ∈ S дава елемент a ⋆ b ∈ S (затвореност). Няма допълнителни изисквания като асоциативност или наличие на неутрален/обратен елемент. Примери: множеството на реалните числа с операцията a ⋆ b = a + b (което всъщност има допълнителна структура), или множество с произволно зададена таблица за операцията.

• Полугрупа

Множество с операция, която е асоциативна. В полугрупата (S, ⋆) за всички a, b, c ∈ S е в сила (a ⋆ b) ⋆ c = a ⋆ (b ⋆ c). Полугрупите моделират ситуации, където операцията може да се съчетава без значение на групирането — например низове със свързване (конкатенация) образуват полугрупа. Ако към полугрупата се добави неутрален елемент, получаваме моноид.

• Моноид

Полугрупа с идентичен елемент. Моноидът (M, ⋆, e) е полугрупа с елемент e ∈ M такъв, че за всички a ∈ M е в сила e ⋆ a = a ⋆ e = a. Типични примери: естествените числа N с операцията събиране (неутрален елемент 0) или низовете с конкатенация (неутрален празен низ).

• Група

Моноид, в който всеки елемент има съответстващ обратен елемент. В група (G, ⋆, e) за всяко a ∈ G съществува a^{-1} ∈ G такъв, че a ⋆ a^{-1} = a^{-1} ⋆ a = e. Групите са фундаментални в математиката и природните науки, защото описват симетрии и трансформации. Примери: (Z, +) — адитивна група на цели числа; множество от обратими n×n матрици с обикновено умножение — общата линейна група GL(n, R); пермутациите на n елемента образуват симетричната група S_n.

• Комутативна група

Група с комутативна операция. В абелова (комутативна) група a ⋆ b = b ⋆ a за всички a, b. Много важни примери: (Z, +), (R, +), групата на векторите в една векторна пространствена структура и др.

Основни алгебрични структури с две двоични операции

• Пръстен

Множество с две операции, често наричани събиране и умножение. Множеството с операцията събиране образува комутативна група, а с операцията умножение - полугрупа (много хора дефинират пръстен така, че множеството с умножение всъщност е моноид). Събирането и умножението в пръстена отговарят на дистрибутивното свойство. Конкретно, ако (R, +, ·) е пръстен, то за всички a, b, c ∈ R имаме a·(b + c) = a·b + a·c и (b + c)·a = b·a + c·a. Съществуват няколко варианта на дефиницията: някои автори изискват наличие на мултипликативна единица (1), други позволяват пръстен без единица (наричан понякога rng).

• Комутативен пръстен

Пръстен, чието умножение е комутативно. Много важни обекти в теорията на числата и алгебрата — например пръстенът на целите числа Z, пръстените на полиноми F[x] над поле F и пръстените на матрици (последните обикновено не са комутативни).

• Поле

Комутативен пръстен, в който множеството с умножение е група. В поле (F, +, ·) ненулевите елементи F\{0} образуват абелова група относно умножение, а събирането образува абелова група — и двете операции са свързани чрез дистрибутивност. Полетата позволяват делене на ненулеви елементи и са основата на линейната алгебра, теорията на полиномите и теорията на кодовете. Примери: рационалните числа Q, реалните R, комплексните C, както и крайните полета GF(p) за простите p; по-общо GF(p^n) — полета с p^n елемента.

Допълнителни понятия и свързани структури

• Деление и инвертирани елементи: в групи и полета важна роля играят обратните елементи; в пръстени често се изучават единици (обратими елементи за умножение).
• Подструктури: подгрупа, подпръстен, подполе — множества, затворени относно съответните операции и съдържащи необходимите идентични елементи.
• Хомоморфизми: морфизми между алгебрични структури, които запазват операциите (напр. групов хомоморфизъм, рингов хомоморфизъм). Те позволяват дефинирането на ядра, образи и факторни структури (квотиенти).
• Идеали и нормални подгрупи: в ринговете идеалите играят ролята на „добри“ подмножества, върху които може да се формира фактор-пръстен; в групите нормалните подгрупи позволяват образуване на фактор-групи.
• Не-комутативни аналози: дивизионните пръстени (division rings или skew fields) като кватернионите H са подобни на полета, но умножението не е комутативно.

Примери са

• Групи: (Z, +) — адитивна абелова група; (R\{0}, ·) — мултипликативна група на ненулевите реални числа; S_n — симетрична група; цикличните групи C_n.
• Моноиди и полугрупи: низовата конкатенация (всички низове над азбука с операция конкатенация); N с умножение е моноид.
• Пръстени: (Z, +, ·) — пръстен на цели числа; M_n(R) — пръстен на n×n матрици над R (не е комутативен); F[x] — пръстен на полиноми над поле F.
• Полетa: Q, R, C; крайни полета GF(p) за просто p; полето на рационалните функции F(x).
• Дивизионни пръстени (skew fields): кватернионите H — всички ненулеви кватерниони имат обратен, но умножението не е комутативно.

Тези структури се изучават чрез аксиоми, примери, конструкции (подструктури, фактори, произведения) и морфизми. Разбирането на най-простите случаи (например групи и пръстени) дава основа за по-напреднали теми като алгебрична геометрия, теория на представянията, модулна теория и теория на кодовете.

Въпроси и отговори

В: Какво е алгебрична структура?

В: Кои са основните алгебрични структури с една двоична операция?

В: Кои са основните алгебрични структури с две двоични операции?

В: Какво е магма (математика)?

В: Какво е полугрупа?

В: Какво означава една операция да е комутативна?

Търсене по буква