Изпъкналият правилен 4-политоп

В математиката изпъкналият правилен 4-политоп (или полихорон) е 4-измерен (4D) политоп, който е едновременно правилен и изпъкнал. Това са четириизмерни аналози на Платоновите тела (в три измерения) и на правилните многоъгълници (в две измерения).

Тези политопи са описани за първи път от швейцарския математик Лудвиг Шляфли в средата на 19 век. Шляфли открива, че съществуват точно шест такива фигури. Пет от тях могат да се разглеждат като по-високоизмерни аналози на Платоновите тела. Има още една фигура (24-клетка), която няма триизмерен еквивалент.

Всеки изпъкнал правилен 4-политоп е ограничен от набор от триизмерни клетки, които са платонови тела от един и същи вид и размер. Те са разположени една до друга по съответните си стени по правилен начин.

Свойства

В следващите таблици са изброени някои свойства на шестте изпъкнали правилни полихори. Групите на симетрия на тези полихори са всички групи на Коксетер и са дадени в означението, описано в тази статия. Числото след името на групата е редът на групата.

Имена	Семейство	Schläfli символ	Върхове	Ръбове	Лица	Клетки	Върхови фигури	Двоен политоп	Група на симетрия
Пентахорон5-клеткаПентатопХиперпирамидаХипертетраедър4-комплекс	симплекс (n-симплекс)	{3,3,3}	5	10	10 триъгълници	5 тетраедри	тетраедри	(самостоятелно дуално)	A₄	120
Тесерактактокорон8-клеткахиперкуб4-куб	хиперкуб (n-куб)	{4,3,3}	16	32	24 квадрати	8 кубчета	тетраедри	16-клетъчен	B₄	384
Хексадекахорон16-клеткаортоплексхипероктаедър4-ортоплекс	кръстосан политоп (n-ортоплекс)	{3,3,4}	8	24	32 триъгълници	16 тетраедри	октаедри	тесеракт	B₄	384
Icositetrachoron24-celloctaplexpolyoctahedron		{3,4,3}	24	96	96 триъгълници	24 октаедри	кубчета	(самостоятелно дуално)	F₄	1152
Hecatonicosachoron120-целldodecaplexhyperdodecahedronpolydodecahedron		{5,3,3}	600	1200	720 петоъгълници	120 додекаедри	тетраедри	600-клетъчен	H₄	14400
Хексакозихорон600-клетъчентетраплексхиперикозаедърполитетраедър		{3,3,5}	120	720	1200 триъгълници	600 тетраедри	икосаедри	120-клетъчен	H₄	14400

Тъй като границите на всяка от тези фигури са топологично еквивалентни на 3-сфера, чиято характеристика на Ойлер е равна на нула, получаваме 4-измерния аналог на полиедричната формула на Ойлер:

N 0- N +1 N 2- N = 3{\displaystyle0 N_{0}-N_{1}+N_{2}-N_{3}=0\,} $N_{0}-N_{1}+N_{2}-N_{3}=0\,$

където N_k означава броя на k-образите в политопа (връх е 0-образен, ръб е 1-образен и т.н.).

Визуализации

В следващата таблица са показани някои двуизмерни проекции на тези политопи. Различни други визуализации могат да бъдат намерени в другите уебсайтове по-долу. Графиките на диаграмите на Коксетер-Динкин също са дадени под символа на Шляфли.

5-клетъчен	8-клетъчен	16-клетъчен	24-клетъчен	120-клетъчен	600-клетъчен
{3,3,3}	{4,3,3}	{3,3,4}	{3,4,3}	{5,3,3}	{3,3,5}

Ортографски проекции на телена рамка в полигони на Петри.

Твърди ортографски проекции
тетраедрична обвивка (клетъчно/върхово центрирана)	кубична обвивка (центрирана в клетките)	октаедрична обвивка (центрирана по върховете)	кубоктаедрична обвивка (клетъчно центрирана)	съкратен ромбовиден контаедър ( центриран в клетките)	Пентакис икозидодекаедрична обвивка (върхово центрирана)
Диаграми на Шлегел (Перспективна проекция)
(Клетъчно ориентирано)	(Клетъчно ориентирано)	(Клетъчно ориентирано)	(Клетъчно ориентирано)	(Клетъчно ориентирано)	(Върхово ориентирано)
Стереографски проекции на телена рамка (хиперсферични)

Свързани страници

Правилен политоп
Платоново твърдо тяло

Въпроси и отговори

В: Какво представлява изпъкналият правилен 4-политоп?

О: Изпъкналият правилен 4-политоп е 4-измерен политоп, който е едновременно правилен и изпъкнал.

В: Какви са аналозите на изпъкналите правилни 4-политопи в три и две измерения?

О: Аналозите на изпъкналите правилни 4-политопи в три измерения са платоновите тела, а в две измерения - правилните многоъгълници.

Въпрос: Кой пръв е описал изпъкналите правилни 4-политопи?

О: Швейцарският математик Лудвиг Шляфли пръв описва изпъкналите правилни 4-политопи в средата на 19 век.

Въпрос: Колко изпъкнали правилни 4-политопа има?

О: Съществуват точно шест изпъкнали правилни 4-политопа.

Въпрос: Коя е уникалната характеристика на 24-клетъчния политоп сред изпъкналите правилни 4-политопи?

О: 24-клетъчният политоп няма триизмерен еквивалент сред изпъкналите правилни 4-политопи.

В: Кои са триизмерните клетки, които ограничават всеки изпъкнал правилен 4-политоп?

О: Всеки изпъкнал правилен 4-политоп е ограничен от набор от триизмерни клетки, които са всички платонови тела от един и същи вид и размер.

Въпрос: Как са разположени триизмерните клетки в изпъкналия правилен 4-политоп?

О: Триизмерните клетки са подредени една до друга по протежение на съответните си стени по правилен начин в изпъкнал правилен 4-политоп.