В математиката изпъкналият правилен 4-политоп (или полихорон) е четириизмерен (4D) политоп, който е едновременно правилен и изпъкнал. С други думи, той е ограничена, симетрична четириизмерна фигура, чиито върхове, ръбове, многоъгълни лица и триизмерни клетки се държат еднакво в резултат на симетриите на фигурата. Това са четириизмерни аналози на Платоновите тела (в три измерения) и на правилните многоъгълници (в две измерения).

Тези политопи са описани за първи път от швейцарския математик Лудвиг Шляфли в средата на 19 век. Шляфли показа, че съществуват точно шест такива фигурa: пет от тях са „по-високоизмерни“ аналози на Платоновите тела в 3D, а една — 24-клетката — няма триизмерен еквивалент и е уникална за 4-измерното пространство.

Всеки изпъкнал правилен 4-политоп е ограничен от набор от триизмерни клетки, които са платонови тела от един и същи вид и размер. Те са разположени една до друга по съответните си стени по правилен (регулярен) начин: около всеки ребро се събират еднакъв брой клетки, а ъглите и дължините на ръбовете са еднакви в цялата фигура. Правилните 4-политопи се описват компактно чрез символа на Шляфли {p,q,r}, който кодира какви са 2D- и 3D-структурите в по-висшето измерение.

Шестте изпъкнали правилни 4-политопа — кратка справка

  • 5-клетка (4-симплекс, 4-simplex) — Schläfli: {3,3,3}. Клетки: 5 тетраедъра. Върхове: 5; Ръбове: 10; Лица: 10 (триъгълници); Клетки: 5 (тетраедри). Самодуален (self-dual). Най-простият 4-политоп, аналог на триъгълника и тетраедъра.
  • Тесеракт (8-клетка, hypercube или 4-cube) — Schläfli: {4,3,3}. Клетки: 8 куба. Върхове: 16; Ръбове: 32; Лица: 24 (квадрати); Клетки: 8 (кубове). Дуален на 16-клетката.
  • 16-клетка (cross polytope, 4-orthoplex) — Schläfli: {3,3,4}. Клетки: 16 тетраедъра. Върхове: 8; Ръбове: 24; Лица: 32 (триъгълници); Клетки: 16 (тетраедри). Дуален на тесеракта.
  • 24-клетка (24-cell) — Schläfli: {3,4,3}. Клетки: 24 октаедъра. Върхове: 24; Ръбове: 96; Лица: 96 (триъгълници); Клетки: 24 (октаедри). Самодуална и уникална — няма триизмерен аналог сред Платоновите тела.
  • 120-клетка (120-cell) — Schläfli: {5,3,3}. Клетки: 120 додекаедъра. Върхове: 600; Ръбове: 1200; Лица: 720 (петоъгълници); Клетки: 120 (додекаедри). Дуална на 600-клетката.
  • 600-клетка (600-cell) — Schläfli: {3,3,5}. Клетки: 600 тетраедъра. Върхове: 120; Ръбове: 720; Лица: 1200 (триъгълници); Клетки: 600 (тетраедри). Дуална на 120-клетката и едно от най-сложно изглеждащите правилни 4-политопи.

Свойства и връзки

  • Символ на Шляфли {p,q,r} — описва какво е лицето на клетката ({p,q}) и как клетките се подреждат около ребро (числото r). Например тетраедърът има символ {3,3}, а 5-клетката като 4-симплекс се описва с {3,3,3}.
  • Дуалност: двойки от тези политопи са дуални: 5-клетка е самодуална, 24-клетка е самодуална, тесерактът и 16-клетката са двойка дуални фигури, както и 120- и 600-клетката.
  • Ейлерова връзка в 4D: при изпъкнали 4-политопи важи аналог на Ейлеровата характеристика, което дава връзка между броя върхове, ребра, лица и клетки (за изпъкнали 4-политопи сумата V − E + F − C = 0).

Визуализация и приложения

Четириизмерните обекти не могат да се видят директно в триизмерното пространство, но има няколко начина да се визуализират и проучват:

  • Проекции в 3D (аналогично на проекциите на тримерни обекти върху 2D).
  • Стереографична или ортографична проекция на хиперповърхността S^3 в R^3.
  • „Нети“ (развивки) — разрязване и разгъване на клетките в триизмерни „куби“ или други конфигурации, за да се представи структурата им.
  • Компютърни модели и интерактивни визуализации, използвани в математиката, графиката и образованието за изследване на симетрии и топология.

Изпъкналите правилни 4-политопи са класически обекти в геометрията и теорията на групите — те дават богати примери за симетрия, групи на ротации в четири измерения и връзки между полиедрите в различни измерения. Макар да са абстрактни, те имат важна роля в съвременни изследвания по теория на симетриите, топология и физика (напр. в изучаването на множество от конфигурации и мрежови структури в по-високи измерения).