Изпъкналите правилни 4-политопи (полихорони): определение и примери
Открийте изпъкналите правилни 4-политопи (полихорони): дефиниция, примери, историческо откритие на Шляфли, шестте фигури и уникалната 24-клетка.
В математиката изпъкналият правилен 4-политоп (или полихорон) е четириизмерен (4D) политоп, който е едновременно правилен и изпъкнал. С други думи, той е ограничена, симетрична четириизмерна фигура, чиито върхове, ръбове, многоъгълни лица и триизмерни клетки се държат еднакво в резултат на симетриите на фигурата. Това са четириизмерни аналози на Платоновите тела (в три измерения) и на правилните многоъгълници (в две измерения).
Тези политопи са описани за първи път от швейцарския математик Лудвиг Шляфли в средата на 19 век. Шляфли показа, че съществуват точно шест такива фигурa: пет от тях са „по-високоизмерни“ аналози на Платоновите тела в 3D, а една — 24-клетката — няма триизмерен еквивалент и е уникална за 4-измерното пространство.
Всеки изпъкнал правилен 4-политоп е ограничен от набор от триизмерни клетки, които са платонови тела от един и същи вид и размер. Те са разположени една до друга по съответните си стени по правилен (регулярен) начин: около всеки ребро се събират еднакъв брой клетки, а ъглите и дължините на ръбовете са еднакви в цялата фигура. Правилните 4-политопи се описват компактно чрез символа на Шляфли {p,q,r}, който кодира какви са 2D- и 3D-структурите в по-висшето измерение.
Шестте изпъкнали правилни 4-политопа — кратка справка
- 5-клетка (4-симплекс, 4-simplex) — Schläfli: {3,3,3}. Клетки: 5 тетраедъра. Върхове: 5; Ръбове: 10; Лица: 10 (триъгълници); Клетки: 5 (тетраедри). Самодуален (self-dual). Най-простият 4-политоп, аналог на триъгълника и тетраедъра.
- Тесеракт (8-клетка, hypercube или 4-cube) — Schläfli: {4,3,3}. Клетки: 8 куба. Върхове: 16; Ръбове: 32; Лица: 24 (квадрати); Клетки: 8 (кубове). Дуален на 16-клетката.
- 16-клетка (cross polytope, 4-orthoplex) — Schläfli: {3,3,4}. Клетки: 16 тетраедъра. Върхове: 8; Ръбове: 24; Лица: 32 (триъгълници); Клетки: 16 (тетраедри). Дуален на тесеракта.
- 24-клетка (24-cell) — Schläfli: {3,4,3}. Клетки: 24 октаедъра. Върхове: 24; Ръбове: 96; Лица: 96 (триъгълници); Клетки: 24 (октаедри). Самодуална и уникална — няма триизмерен аналог сред Платоновите тела.
- 120-клетка (120-cell) — Schläfli: {5,3,3}. Клетки: 120 додекаедъра. Върхове: 600; Ръбове: 1200; Лица: 720 (петоъгълници); Клетки: 120 (додекаедри). Дуална на 600-клетката.
- 600-клетка (600-cell) — Schläfli: {3,3,5}. Клетки: 600 тетраедъра. Върхове: 120; Ръбове: 720; Лица: 1200 (триъгълници); Клетки: 600 (тетраедри). Дуална на 120-клетката и едно от най-сложно изглеждащите правилни 4-политопи.
Свойства и връзки
- Символ на Шляфли {p,q,r} — описва какво е лицето на клетката ({p,q}) и как клетките се подреждат около ребро (числото r). Например тетраедърът има символ {3,3}, а 5-клетката като 4-симплекс се описва с {3,3,3}.
- Дуалност: двойки от тези политопи са дуални: 5-клетка е самодуална, 24-клетка е самодуална, тесерактът и 16-клетката са двойка дуални фигури, както и 120- и 600-клетката.
- Ейлерова връзка в 4D: при изпъкнали 4-политопи важи аналог на Ейлеровата характеристика, което дава връзка между броя върхове, ребра, лица и клетки (за изпъкнали 4-политопи сумата V − E + F − C = 0).
Визуализация и приложения
Четириизмерните обекти не могат да се видят директно в триизмерното пространство, но има няколко начина да се визуализират и проучват:
- Проекции в 3D (аналогично на проекциите на тримерни обекти върху 2D).
- Стереографична или ортографична проекция на хиперповърхността S^3 в R^3.
- „Нети“ (развивки) — разрязване и разгъване на клетките в триизмерни „куби“ или други конфигурации, за да се представи структурата им.
- Компютърни модели и интерактивни визуализации, използвани в математиката, графиката и образованието за изследване на симетрии и топология.
Изпъкналите правилни 4-политопи са класически обекти в геометрията и теорията на групите — те дават богати примери за симетрия, групи на ротации в четири измерения и връзки между полиедрите в различни измерения. Макар да са абстрактни, те имат важна роля в съвременни изследвания по теория на симетриите, топология и физика (напр. в изучаването на множество от конфигурации и мрежови структури в по-високи измерения).
Свойства
В следващите таблици са изброени някои свойства на шестте изпъкнали правилни полихори. Групите на симетрия на тези полихори са всички групи на Коксетер и са дадени в означението, описано в тази статия. Числото след името на групата е редът на групата.
| Имена | Семейство | Schläfli | Върхове | Ръбове | Лица | Клетки | Върхови фигури | Двоен политоп | Група на симетрия | |
| Пентахорон5-клеткаПентатопХиперпирамидаХипертетраедър4-комплекс | симплекс | {3,3,3} | 5 | 10 | 10 | 5 | тетраедри | (самостоятелно дуално) | A4 | 120 |
| Тесерактактокорон8-клеткахиперкуб4-куб | хиперкуб | {4,3,3} | 16 | 32 | 24 | 8 | тетраедри | 16-клетъчен | B4 | 384 |
| Хексадекахорон16-клеткаортоплексхипероктаедър4-ортоплекс | кръстосан политоп | {3,3,4} | 8 | 24 | 32 | 16 | октаедри | тесеракт | B4 | 384 |
| Icositetrachoron24-celloctaplexpolyoctahedron | {3,4,3} | 24 | 96 | 96 | 24 | (самостоятелно дуално) | F4 | 1152 | ||
| Hecatonicosachoron120-целldodecaplexhyperdodecahedronpolydodecahedron | {5,3,3} | 600 | 1200 | 720 | 120 | тетраедри | 600-клетъчен | H4 | 14400 | |
| Хексакозихорон600-клетъчентетраплексхиперикозаедърполитетраедър | {3,3,5} | 120 | 720 | 1200 | 600 | икосаедри | 120-клетъчен | H4 | 14400 | |
Тъй като границите на всяка от тези фигури са топологично еквивалентни на 3-сфера, чиято характеристика на Ойлер е равна на нула, получаваме 4-измерния аналог на полиедричната формула на Ойлер:
N 0- N +1 N 2- N = 3{\displaystyle0 N_{0}-N_{1}+N_{2}-N_{3}=0\,} 
където Nk означава броя на k-образите в политопа (връх е 0-образен, ръб е 1-образен и т.н.).
Визуализации
В следващата таблица са показани някои двуизмерни проекции на тези политопи. Различни други визуализации могат да бъдат намерени в другите уебсайтове по-долу. Графиките на диаграмите на Коксетер-Динкин също са дадени под символа на Шляфли.
| 5-клетъчен | 8-клетъчен | 16-клетъчен | 24-клетъчен | 120-клетъчен | 600-клетъчен |
| {3,3,3} | {4,3,3} | {3,3,4} | {3,4,3} | {5,3,3} | {3,3,5} |
|
|
|
|
|
|
|
| Ортографски проекции на телена рамка в полигони на Петри. | |||||
|
|
|
|
|
|
|
| Твърди ортографски проекции | |||||
|
|
|
|
|
|
|
| Диаграми на Шлегел (Перспективна проекция) | |||||
|
|
|
|
|
|
|
| Стереографски проекции на телена рамка (хиперсферични) | |||||
|
|
|
|
|
|
|
Свързани страници
- Правилен политоп
- Платоново твърдо тяло
Въпроси и отговори
В: Какво представлява изпъкналият правилен 4-политоп?
О: Изпъкналият правилен 4-политоп е 4-измерен политоп, който е едновременно правилен и изпъкнал.
В: Какви са аналозите на изпъкналите правилни 4-политопи в три и две измерения?
О: Аналозите на изпъкналите правилни 4-политопи в три измерения са платоновите тела, а в две измерения - правилните многоъгълници.
Въпрос: Кой пръв е описал изпъкналите правилни 4-политопи?
О: Швейцарският математик Лудвиг Шляфли пръв описва изпъкналите правилни 4-политопи в средата на 19 век.
Въпрос: Колко изпъкнали правилни 4-политопа има?
О: Съществуват точно шест изпъкнали правилни 4-политопа.
Въпрос: Коя е уникалната характеристика на 24-клетъчния политоп сред изпъкналите правилни 4-политопи?
О: 24-клетъчният политоп няма триизмерен еквивалент сред изпъкналите правилни 4-политопи.
В: Кои са триизмерните клетки, които ограничават всеки изпъкнал правилен 4-политоп?
О: Всеки изпъкнал правилен 4-политоп е ограничен от набор от триизмерни клетки, които са всички платонови тела от един и същи вид и размер.
Въпрос: Как са разположени триизмерните клетки в изпъкналия правилен 4-политоп?
О: Триизмерните клетки са подредени една до друга по протежение на съответните си стени по правилен начин в изпъкнал правилен 4-политоп.
обискирам