Изпъкналият правилен 4-политоп

В математиката изпъкналият правилен 4-политоп (или полихорон) е 4-измерен (4D) политоп, който е едновременно правилен и изпъкнал. Това са четириизмерни аналози на Платоновите тела (в три измерения) и на правилните многоъгълници (в две измерения).

Тези политопи са описани за първи път от швейцарския математик Лудвиг Шляфли в средата на 19 век. Шляфли открива, че съществуват точно шест такива фигури. Пет от тях могат да се разглеждат като по-високоизмерни аналози на Платоновите тела. Има още една фигура (24-клетка), която няма триизмерен еквивалент.

Всеки изпъкнал правилен 4-политоп е ограничен от набор от триизмерни клетки, които са платонови тела от един и същи вид и размер. Те са разположени една до друга по съответните си стени по правилен начин.

Свойства

В следващите таблици са изброени някои свойства на шестте изпъкнали правилни полихори. Групите на симетрия на тези полихори са всички групи на Коксетер и са дадени в означението, описано в тази статия. Числото след името на групата е редът на групата.

Имена

Семейство

Schläfli
символ

Върхове

Ръбове

Лица

Клетки

Върхови фигури

Двоен политоп

Група на симетрия

Пентахорон5-клеткаПентатопХиперпирамидаХипертетраедър4-комплекс

симплекс
 (n-симплекс)

{3,3,3}

5

10

10
триъгълници

5
тетраедри

тетраедри

(самостоятелно дуално)

A4

120

Тесерактактокорон8-клеткахиперкуб4-куб

хиперкуб
 (n-куб)

{4,3,3}

16

32

24
квадрати

8
кубчета

тетраедри

16-клетъчен

B4

384

Хексадекахорон16-клеткаортоплексхипероктаедър4-ортоплекс

кръстосан политоп
(n-ортоплекс)

{3,3,4}

8

24

32
триъгълници

16
тетраедри

октаедри

тесеракт

B4

384

Icositetrachoron24-celloctaplexpolyoctahedron

{3,4,3}

24

96

96
триъгълници

24
октаедри

кубчета

(самостоятелно дуално)

F4

1152

Hecatonicosachoron120-целldodecaplexhyperdodecahedronpolydodecahedron

{5,3,3}

600

1200

720
петоъгълници

120
додекаедри

тетраедри

600-клетъчен

H4

14400

Хексакозихорон600-клетъчентетраплексхиперикозаедърполитетраедър

{3,3,5}

120

720

1200
триъгълници

600
тетраедри

икосаедри

120-клетъчен

H4

14400

Тъй като границите на всяка от тези фигури са топологично еквивалентни на 3-сфера, чиято характеристика на Ойлер е равна на нула, получаваме 4-измерния аналог на полиедричната формула на Ойлер:

N 0- N +1 N 2- N = 3{\displaystyle0 N_{0}-N_{1}+N_{2}-N_{3}=0\,} {\displaystyle N_{0}-N_{1}+N_{2}-N_{3}=0\,}

където Nk означава броя на k-образите в политопа (връх е 0-образен, ръб е 1-образен и т.н.).

Визуализации

В следващата таблица са показани някои двуизмерни проекции на тези политопи. Различни други визуализации могат да бъдат намерени в другите уебсайтове по-долу. Графиките на диаграмите на Коксетер-Динкин също са дадени под символа на Шляфли.

5-клетъчен

8-клетъчен

16-клетъчен

24-клетъчен

120-клетъчен

600-клетъчен

{3,3,3}

{4,3,3}

{3,3,4}

{3,4,3}

{5,3,3}

{3,3,5}

Ортографски проекции на телена рамка в полигони на Петри.

Твърди ортографски проекции


тетраедрична
 обвивка

 (клетъчно/върхово центрирана)


кубична обвивка
 (центрирана в клетките)


октаедрична
 обвивка

 (центрирана по върховете)


кубоктаедрична обвивка

 (клетъчно центрирана)


съкратен ромбовиден контаедър (
центриран в клетките)


Пентакис икозидодекаедрична обвивка
(върхово центрирана)

Диаграми на Шлегел (Перспективна проекция)


(Клетъчно ориентирано)


(Клетъчно ориентирано)


(Клетъчно ориентирано)


(Клетъчно ориентирано)


(Клетъчно ориентирано)


(Върхово ориентирано)

Стереографски проекции на телена рамка (хиперсферични)

Свързани страници

  • Правилен политоп
  • Платоново твърдо тяло

Въпроси и отговори

В: Какво представлява изпъкналият правилен 4-политоп?


О: Изпъкналият правилен 4-политоп е 4-измерен политоп, който е едновременно правилен и изпъкнал.

В: Какви са аналозите на изпъкналите правилни 4-политопи в три и две измерения?


О: Аналозите на изпъкналите правилни 4-политопи в три измерения са платоновите тела, а в две измерения - правилните многоъгълници.

Въпрос: Кой пръв е описал изпъкналите правилни 4-политопи?


О: Швейцарският математик Лудвиг Шляфли пръв описва изпъкналите правилни 4-политопи в средата на 19 век.

Въпрос: Колко изпъкнали правилни 4-политопа има?


О: Съществуват точно шест изпъкнали правилни 4-политопа.

Въпрос: Коя е уникалната характеристика на 24-клетъчния политоп сред изпъкналите правилни 4-политопи?


О: 24-клетъчният политоп няма триизмерен еквивалент сред изпъкналите правилни 4-политопи.

В: Кои са триизмерните клетки, които ограничават всеки изпъкнал правилен 4-политоп?


О: Всеки изпъкнал правилен 4-политоп е ограничен от набор от триизмерни клетки, които са всички платонови тела от един и същи вид и размер.

Въпрос: Как са разположени триизмерните клетки в изпъкналия правилен 4-политоп?


О: Триизмерните клетки са подредени една до друга по протежение на съответните си стени по правилен начин в изпъкнал правилен 4-политоп.

AlegsaOnline.com - 2020 / 2023 - License CC3