Хиперкуб: n-измерен куб в геометрията — дефиниция и свойства

Научете всичко за хиперкуба: дефиниция, свойства, диагонали и приложения на n-измерния куб (n-куб) с ясни обяснения и илюстрации.

В геометрията хиперкубът е n-измерен аналог на квадрата (n = 2) и куба (n = 3)). Хиперкубът е затворена, компактна и изпъкнала фигура, чийто 1-скелет се състои от групи противоположни успоредни отсечки, подредени във всяко от измеренията на пространството, перпендикулярни една на друга и със еднаква дължина.

Дефиниция. n-измерен хиперкуб (често наричан n-куб или n-измерен куб) се дефинира като декартовото произведение на n еднакви интервала от реалните числа. В координатно представяне единичният хиперкуб в Rn е множеството [0,1]^n; върховете му са всички 2^n точки, чиито координати са равни на 0 или 1.

Единичен хиперкуб и основни метрични свойства

Единичен хиперкуб е хиперкуб със страна 1 (най-често се има предвид [0,1]^n). За единичния хиперкуб важат следните простички, но полезни зависимости:

• брой върхове: 2^n;
• брой ребра: n·2^{n-1};
• размер (n-мерно съдържание, обем): 1 (за страна 1); за страна a обемът е a^n;
• обем на повърхнината (n−1-мярка): за страна a е 2n·a^{\,n-1}, за единичен хиперкуб — 2n;
• най-дългият диагонал (пространствен диагонал) на единичния хиперкуб в n измерения е равен на √n —

например: за квадрат (n=2) диагоналът е √2, за куб (n=3) — √3. Разстоянието от центъра на единичния хиперкуб (координатите (1/2,...,1/2)) до който и да е връх е √n/2.

Брой на k-измерните лица

Броят на k-измерните лица (k-формация) на n-куб е

• 2^{\,n-k} · C(n,k),

където C(n,k) е биномен коефициент. Тази формула дава, например, върховете при k=0: 2^n; ребрата при k=1: n·2^{n-1}; фасетите (n−1-измерни лица) при k=n−1: 2n.

Комбинаторни и графови свойства

Скелетът на хиперкуба (графът на върховете и ребрата) е добре познатият двоичен хиперкубен граф Q_n:

• има 2^n върха и е n-регулярен (всеки връх е свързан с n други върха);
• графът е двуделим (bipartite) — върховете се делят по четност на сумата от координатите (0/1);
• диаметърът на графа е n (най-дългият кратък път между два върха е n);
• съдържа Хамилтонови цикли и е често използван в компютърните науки за моделиране на мрежи и архитектури (връзка с Gray кодове и двоични низове).

Симетрии и полиморфизъм

Групата на симетриите на n-куба е хи́пероктова група (наричана още група B_n или група на хиперисметриите), която се състои от всички пермутации на координатите и промени на знаците (за центриран куб) — размерът ѝ е 2^n n!. Хиперкубът е редовен поліtoп: непроменлив под големи групи от изометрии, вершинно-транзитивен и ръбово-транзитивен.

Визуализация и частни случаи

Визуализацията става по-трудна с увеличаване на n, но често използвани представяния са проекции и развивки. Някои специални случаи:

• n = 0: точка;
• n = 1: отрязък;
• n = 2: квадрат;
• n = 3: куб;
• n = 4: тесеракт (tesseract) — четиримерен хиперкуб, често изобразяван като вложен куб, свързан чрез ребра.

Приложения и връзки

Хиперкубовете намират приложение в много области: теория на графите и комбинарика, оптимизация (стъпка на булеви хиперкубове), теория на кодовете, визуализация на високоизмерни данни (принципът на проекциите), криптография и изчислителна геометрия. В чистата математика те служат като примери за полигонални комплекси, продуктни полиtопи и като основни обекти при изследване на симетрични многообразия.

Бележка за терминологията: в по-ранни трудове, особено у Х. С. М. Коксетер (първоначално от Елте, 1912 г.), се използва терминът "мерен политоп", но съвременната употреба предпочита "n-куб" или "хиперкуб".

Строителство

Хиперкубът може да се дефинира чрез увеличаване на броя на измеренията на дадена форма:

0 - Точката е хиперкуб с измерение нула.

1 - Ако преместим тази точка с една единица дължина, тя ще прехвърли отсечка от линия, която е единичен хиперкуб с размерност едно.

2 - Ако преместим тази отсечка по дължината ѝ в перпендикулярна посока от самата нея, тя ще се превърне в двуизмерен квадрат.

3 - Ако преместим квадрата с една единица дължина в посока, перпендикулярна на равнината, върху която лежи, ще се получи триизмерен куб.

4 - Ако преместим куба с една единица дължина в четвъртото измерение, ще се получи четириизмерен единичен хиперкуб (единичен тесеракт).

Това може да се обобщи за произволен брой измерения. Процесът на изчистване на обеми може да бъде формализиран математически като сума на Минковски: d-измерният хиперкуб е сумата на Минковски от d взаимно перпендикулярни отсечки с единична дължина и следователно е пример за зонотоп.

1-скелетът на един хиперкуб е хиперкубичен граф.

Диаграма, показваща как се създава тесеракт от точка.


Анимация, показваща как се създава тесеракт от точка.

Въпроси и отговори

В: Какво представлява хиперкубът?

Въпрос: Какъв е най-дългият диагонал в n-измерен хиперкуб?

В: Има ли друг термин за n-измерен хиперкуб?

В: Какво означава "единичен хиперкуб"?

В: Как можем да определим "хиперправоъгълник"?

Търсене по буква