В геометрията хиперкубът е n-измерен аналог на квадрата (n = 2) и куба (n = 3)). Хиперкубът е затворена, компактна и изпъкнала фигура, чийто 1-скелет се състои от групи противоположни успоредни отсечки, подредени във всяко от измеренията на пространството, перпендикулярни една на друга и със еднаква дължина.
Дефиниция. n-измерен хиперкуб (често наричан n-куб или n-измерен куб) се дефинира като декартовото произведение на n еднакви интервала от реалните числа. В координатно представяне единичният хиперкуб в Rn е множеството [0,1]^n; върховете му са всички 2^n точки, чиито координати са равни на 0 или 1.
Единичен хиперкуб и основни метрични свойства
Единичен хиперкуб е хиперкуб със страна 1 (най-често се има предвид [0,1]^n). За единичния хиперкуб важат следните простички, но полезни зависимости:
- брой върхове: 2^n;
- брой ребра: n·2^{n-1};
- размер (n-мерно съдържание, обем): 1 (за страна 1); за страна a обемът е a^n;
- обем на повърхнината (n−1-мярка): за страна a е 2n·a^{\,n-1}, за единичен хиперкуб — 2n;
- най-дългият диагонал (пространствен диагонал) на единичния хиперкуб в n измерения е равен на √n —
например: за квадрат (n=2) диагоналът е √2, за куб (n=3) — √3. Разстоянието от центъра на единичния хиперкуб (координатите (1/2,...,1/2)) до който и да е връх е √n/2.
Брой на k-измерните лица
Броят на k-измерните лица (k-формация) на n-куб е
- 2^{\,n-k} · C(n,k),
където C(n,k) е биномен коефициент. Тази формула дава, например, върховете при k=0: 2^n; ребрата при k=1: n·2^{n-1}; фасетите (n−1-измерни лица) при k=n−1: 2n.
Комбинаторни и графови свойства
Скелетът на хиперкуба (графът на върховете и ребрата) е добре познатият двоичен хиперкубен граф Q_n:
- има 2^n върха и е n-регулярен (всеки връх е свързан с n други върха);
- графът е двуделим (bipartite) — върховете се делят по четност на сумата от координатите (0/1);
- диаметърът на графа е n (най-дългият кратък път между два върха е n);
- съдържа Хамилтонови цикли и е често използван в компютърните науки за моделиране на мрежи и архитектури (връзка с Gray кодове и двоични низове).
Симетрии и полиморфизъм
Групата на симетриите на n-куба е хи́пероктова група (наричана още група B_n или група на хиперисметриите), която се състои от всички пермутации на координатите и промени на знаците (за центриран куб) — размерът ѝ е 2^n n!. Хиперкубът е редовен поліtoп: непроменлив под големи групи от изометрии, вершинно-транзитивен и ръбово-транзитивен.
Визуализация и частни случаи
Визуализацията става по-трудна с увеличаване на n, но често използвани представяния са проекции и развивки. Някои специални случаи:
- n = 0: точка;
- n = 1: отрязък;
- n = 2: квадрат;
- n = 3: куб;
- n = 4: тесеракт (tesseract) — четиримерен хиперкуб, често изобразяван като вложен куб, свързан чрез ребра.
Приложения и връзки
Хиперкубовете намират приложение в много области: теория на графите и комбинарика, оптимизация (стъпка на булеви хиперкубове), теория на кодовете, визуализация на високоизмерни данни (принципът на проекциите), криптография и изчислителна геометрия. В чистата математика те служат като примери за полигонални комплекси, продуктни полиtопи и като основни обекти при изследване на симетрични многообразия.
Бележка за терминологията: в по-ранни трудове, особено у Х. С. М. Коксетер (първоначално от Елте, 1912 г.), се използва терминът "мерен политоп", но съвременната употреба предпочита "n-куб" или "хиперкуб".
