Доверителен интервал — определение, доверително ниво и изчисляване

Терминът "доверие" има подобно значение в статистиката, както и в общата употреба. В обикновената употреба твърдението за 95% увереност в нещо обикновено се приема като указание за почти пълна сигурност. В статистиката твърдението за 95% увереност просто означава, че изследователят е видял един възможен интервал от голям брой възможни, от които деветнадесет от двадесет интервала съдържат истинската стойност на параметъра.

Машината пълни чаши с маргарин. За примера машината е настроена така, че съдържанието на чашките да е 250 г маргарин. Тъй като машината не може да напълни всяка чаша с точно 250 g, съдържанието, добавено в отделните чаши, показва известно вариране и се счита за случайна величина X. Приема се, че това вариране е нормално разпределено около желаната средна стойност от 250 g със стандартно отклонение от 2,5 g. За да се определи дали машината е адекватно калибрирана, произволно се избира извадка от n = 25 чаши с маргарин и чашите се претеглят. Теглата на маргарина са X1, ..., X25, случайна извадка от X.

За да се добие представа за очакването μ, е достатъчно да се даде оценка. Подходящата оценка е средната стойност на извадката:

μ ^ = X ¯ = 1 n ∑ i = 1 n X i . {\displaystyle {\hat {\mu }}={\bar {X}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}. }

В извадката са показани действителните тегла x1, ...,x25 със средна стойност:

x ¯ = 1 25 ∑ i = 1 25 x i = 250,2 грама . {\displaystyle {\bar {x}}={\frac {1}{25}}\sum _{i=1}^{25}x_{i}=250,2\,{\text{grams}}. }

Ако вземем друга извадка от 25 чаши, лесно можем да очакваме да открием стойности като 250,4 или 251,1 грама. Средна стойност на извадката от 280 грама обаче би била изключително рядка, ако средното съдържание на чашите всъщност е близко до 250 грама. Около наблюдаваната стойност 250,2 на средната стойност на извадката има цял интервал, в който, ако средната стойност на цялата популация действително приеме стойност в този интервал, наблюдаваните данни не биха се считали за особено необичайни. Такъв интервал се нарича доверителен интервал за параметъра μ. Как се изчислява такъв интервал? Крайните точки на интервала трябва да се изчислят от извадката, така че те са статистически данни, функции на извадката X1, ..., X25 и следователно самите те са случайни величини.

В нашия случай можем да определим крайните точки, като вземем предвид, че средната стойност на извадката X от нормално разпределена извадка също е нормално разпределена, със същото очакване μ, но със стандартна грешка σ/√n = 0,5 (грама). Чрез стандартизиране получаваме случайна променлива

Z = X¯ - μ σ / n = X¯ - μ 0.5 {\displaystyle Z={\frac {{\bar {X}}-\mu }{\sigma /{\sqrt {n}}}}={\frac {{\bar {X}}-\mu }{0.5}}}

зависи от параметъра μ, който трябва да бъде оценен, но със стандартно нормално разпределение, независимо от параметъра μ. Следователно е възможно да се намерят числа -z и z, независими от μ, където Z се намира между тях с вероятност 1 - α, мярка за това колко уверени искаме да бъдем. Ние приемаме 1 - α = 0,95. Така че имаме:

P ( - z ≤ Z ≤ z ) = 1 - α = 0,95. {\displaystyle P(-z\leq Z\leq z)=1-\alpha =0.95.\,}

Числото z следва от кумулативната функция на разпределение:

Φ ( z ) = P ( Z ≤ z ) = 1 - α 2 = 0,975 , z = Φ - 1 ( Φ ( z ) ) = Φ - 1 ( 0,975 ) = 1.96 , {\displaystyle {\begin{aligned}\Phi (z)&=P(Z\leq z)=1-{\tfrac {\alpha }{2}}=0,975,\\[6pt]z&=\Phi ^{-1}(\Phi (z))=\Phi ^{-1}(0,975)=1,96,\end{aligned}}}}

и получаваме:

0,95 = 1 - α = P ( - z ≤ Z ≤ z ) = P ( - 1,96 ≤ X¯ - μ σ / n ≤ 1,96 ) = P ( X¯ - 1,96 σ n ≤ μ ≤ X¯ + 1.96 σ n ) = P ( X¯ - 1,96 × 0,5 ≤ μ ≤ X¯ + 1,96 × 0,5 ) = P ( X¯ - 0,98 ≤ μ ≤ X¯ + 0,98 ) . {\displaystyle {\begin{aligned}0,95&=1-\alpha =P(-z\leq Z\leq z)=P\left(-1,96\leq {\frac {{\bar {X}}-\mu }{\sigma /{\sqrt {n}}}}\leq 1.96\right)\\[6pt]&=P\left({\bar {X}}-1.96{\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}\leq \mu \leq {\bar {X}}+1.96{\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}}\right)\\[6pt]&=P\left({\bar {X}}-1.96\times 0.5\leq \mu \leq {\bar {X}}+1.96\кратна 0,5\права)\\[6pt]&=P\left({\bar {X}}-0,98\leq \mu \leq {\bar {X}}+0,98\права).\end{aligned}}

Това може да се тълкува по следния начин: с вероятност 0,95 ще намерим доверителен интервал, в който ще срещнем параметъра μ между стохастичните крайни точки

X¯ - 0 . 98 {\displaystyle {\bar {X}}-0{.}98\,}

и

X ¯ + 0.98. {\displaystyle {\bar {X}}+0,98.\,}

Това не означава, че има вероятност параметърът μ да се срещне в изчисления интервал с вероятност 0,95. Всеки път, когато измерванията се повтарят, ще има друга стойност за средната стойност X на извадката. В 95 % от случаите μ ще бъде между крайните точки, изчислени от тази средна стойност, но в 5 % от случаите няма да е така. Действителният доверителен интервал се изчислява чрез въвеждане на измерените тегла във формулата. Нашият доверителен интервал от 0,95 става:

( x¯ - 0,98 ; x¯ + 0,98 ) = ( 250,2 - 0,98 ; 250,2 + 0,98 ) = ( 249,22 ; 251,18 ) . {\displaystyle ({\bar {x}}-0.98;{\bar {x}}+0.98)=(250.2-0.98;250.2+0.98)=(249.22;251.18).\,}

Тъй като желаната стойност 250 на μ е в рамките на получения доверителен интервал, няма причина да се смята, че машината е неправилно калибрирана.

Изчисленият интервал има фиксирани крайни точки, като μ може да се намира между тях (или не). Следователно това събитие има вероятност 0 или 1. Не можем да кажем: "с вероятност (1 - α) параметърът μ лежи в доверителния интервал." Знаем само, че при повторение в 100(1 - α) % от случаите μ ще се намира в изчисления интервал. В 100α % от случаите обаче това не е така. И за съжаление не знаем в кои от случаите се случва това. Ето защо казваме: "при ниво на доверителност 100(1 - α) % μ се намира в доверителния интервал. "

На фигурата вдясно са показани 50 реализации на доверителен интервал за дадена средна стойност на популацията μ. Ако изберем произволно една реализация, вероятността да изберем интервал, който съдържа параметъра, е 95 %; може обаче да нямаме късмет и да сме избрали грешната реализация. Никога няма да разберем; ние сме останали с нашия интервал.