Комбиниран газов закон | формула за идеалните газове

Извод от газовите закони

Законът на Бойл гласи, че произведението на налягането и обема е постоянно:

P V = k 1 ( 1 ) {\displaystyle PV=k_{1}\qquad (1)}

Законът на Чарлз показва, че обемът е пропорционален на абсолютната температура:

V T = k 2 ( 2 ) {\displaystyle {\frac {V}{T}}=k_{2}\qquad (2)}

Законът на Гей-Люсак гласи, че налягането е пропорционално на абсолютната температура:

P = k 3 T ( 3 ) {\displaystyle P=k_{3}T\qquad (3)}

където P е налягането, V - обемът, а T - абсолютната температура на идеален газ.

Като комбинираме (1) и някое от (2) или (3), можем да получим ново уравнение с P, V и T. Ако разделим уравнение (1) на температурата и умножим уравнение (2) по налягането, ще получим:

P V T = k 1 ( T ) T {\displaystyle {\frac {PV}{T}}={\frac {k_{1}(T)}{T}}}

P V T = k 2 ( P ) P {\displaystyle {\frac {PV}{T}}=k_{2}(P)P} .

Тъй като лявата страна на двете уравнения е една и съща, получаваме

k 1 ( T ) T = k 2 ( P ) P {\displaystyle {\frac {k_{1}(T)}{T}}=k_{2}(P)P} ,

което означава, че

P V T = константа {\displaystyle {\frac {PV}{T}}={\textrm {constant}}} .

Ако заместим закона на Авогадро, ще получим уравнението на идеалния газ.

 

Физическа деривация

Извеждането на комбинирания закон за газа само с помощта на елементарна алгебра може да съдържа изненади. Например, ако се започне от трите емпирични закона

P = k V T {\displaystyle P=k_{V}\,T\,\!}           (1) Закон на Гей-Люсак, обемът се приема за постоянен

V = k P T {\displaystyle V=k_{P}T\,\!}           (2) Закон на Чарлз, налягането се приема за постоянно

P V = k T {\displaystyle PV=k_{T}\,\!}           (3) Закон на Бойл, температурата се приема за постоянна

където k_V , k_P и k_T са константите, може да се умножат трите заедно, за да се получи

P V P V = k V T k P T k T {\displaystyle PVPV=k_{V}Tk_{P}Tk_{T}\,\!}

Изглежда, че получаването на квадратен корен от двете страни и разделянето му на T дава желания резултат

P V T = k P k V k T {\displaystyle {\frac {PV}{T}}={\sqrt {k_{P}k_{V}k_{T}}}}\,\!}

Въпреки това, ако преди да се приложи горната процедура, просто се пренаредят членовете в закона на Бойл, k_T = PV, след като се анулират и пренаредят, се получава

k T k V k P = T 2 {\displaystyle {\frac {k_{T}}{k_{V}k_{P}}}=T^{2}\,\!}

което не е много полезно, ако не е подвеждащо.

Физическото извеждане, което е по-дълго, но по-надеждно, започва с осъзнаването на факта, че параметърът за постоянен обем в закона на Гей-Люсак ще се променя с промяната на обема на системата. При постоянен обем V₁ законът може да изглежда P = k₁ T, докато при постоянен обем V₂ той може да изглежда P = k₂ T. Ако означим този "променлив постоянен обем" с k_V (V), преписваме закона като

P = k V ( V ) T {\displaystyle P=k_{V}(V)\,T\,\!}           (4)

Същото важи и за константата в закона на Чарлз, която може да се пренапише

V = k P ( P ) T {\displaystyle V=k_{P}(P)\,T\,\!}           (5)

Когато се търси k_V (V), не бива безразсъдно да се елиминира T между (4) и (5), тъй като P е променлива величина в първия случай, докато във втория се приема за постоянна. По-скоро първо трябва да се определи в какъв смисъл тези уравнения са съвместими едно с друго. За да разберем това, трябва да си припомним, че две променливи определят третата. Ако изберем, че P и V са независими, си представяме, че стойностите на T образуват повърхност над равнината на PV. Определени V₀ и P₀ определят T₀ , точка от тази повърхнина. Замествайки тези стойности в (4) и (5) и пренареждайки ги, получаваме

T 0 = P 0 k V ( V 0 ) и T 0 = V 0 k P ( P 0 ) {\displaystyle T_{0}={\frac {P_{0}}{k_{V}(V_{0})}}\quad и\quad T_{0}={\frac {V_{0}}{k_{P}(P_{0})}}}}

Тъй като и двете описват случващото се в една и съща точка на повърхността, двата числови израза могат да се приравнят и пренаредят

k V ( V 0 ) k P ( P 0 ) = P 0 V 0 {\displaystyle {\frac {k_{V}(V_{0})}{k_{P}(P_{0})}}={\frac {P_{0}}{V_{0}}}},\!}           (6)

Имайте предвид, че

1/k_V (V₀ ) и 1/k_P (P₀ ) са наклоните на ортогоналните линии, успоредни на оста P/V и минаващи през тази точка от повърхността над равнината PV. Съотношението между наклоните на тези две линии зависи само от стойността на P₀ /V₀ в тази точка.

Обърнете внимание, че функционалната форма на (6) не зависи от конкретната избрана точка. Същата формула би възникнала за всяка друга комбинация от стойности на P и V. Следователно може да се напише

k V ( V ) k P ( P ) = P V ∀ P , ∀ V {\displaystyle {\frac {k_{V}(V)}{k_{P}(P)}}={\frac {P}{V}}\квадрат \за всички P,\за всички V} (7)

Това означава, че всяка точка от повърхнината има собствена двойка ортогонални линии, които минават през нея и чийто наклон зависи само от тази точка. Докато (6) е отношение между конкретни наклони и стойности на променливите, то (7) е отношение между функции на наклона и променливи на функцията. Тя е валидна за всяка точка от повърхнината, т.е. за всяка и всички комбинации от стойности на P и V. За да решите това уравнение за функцията k_V (V), първо разделете променливите, V отляво и P отдясно.

V k V ( V ) = P k P ( P ) {\displaystyle V\,k_{V}(V)=P\,k_{P}(P)}

Изберете произволно налягане P₁ . Дясната страна се оценява на някаква произволна стойност, наречете я k_arb .

V k V ( V ) = k arb {\displaystyle V\,k_{V}(V)=k_{\text{arb}}\,\!}           (8)

Това конкретно уравнение сега трябва да е вярно не само за една стойност на V, но и за всички стойности на V. Единствената дефиниция на k_V (V), която гарантира това за всички V и произволно k_arb , е

k V ( V ) = k arb V {\displaystyle k_{V}(V)={\frac {k_{\text{arb}}}{V}}} (9)

което може да се провери чрез заместване в (8).

И накрая, като заместим (9) в закона на Гей-Люсак (4) и пренаредим, получаваме комбинирания газов закон

P V T = k arb {\displaystyle {\frac {PV}{T}}=k_{\text{arb}}\,\!}

Обърнете внимание, че макар законът на Бойл да не е използван в това извеждане, той лесно се извежда от резултата. Обикновено при този тип извеждане са необходими само два от трите изходни закона - всички изходни двойки водят до един и същ комбиниран газов закон.

 

Приложения

Комбинираният закон за газовете може да се използва за обяснение на механиката, при която се влияе от налягането, температурата и обема. Например: климатици, хладилници и образуване на облаци, а също така се използва в механиката на флуидите и термодинамиката.

 

Свързани страници

• Закон на Далтон