Монти Хол: защо смяната увеличава шанса — обяснение и доказателство

Монти Хол: разбиване на парадокса — защо смяната увеличава шанса от 1/3 на 2/3, с ясно обяснение, примери и математическо доказателство.

Задачата на Монти Хол е известна задача в областта на вероятностите (случайността). Задачата е базирана на телевизионното предаване за игри в САЩ Let's Make a Deal (Да сключим сделка). Тя е кръстена на това предаване - Монти Хол.

В задачата има три врати. Зад едната врата има кола (награда с висока стойност), а зад другите две - кози (награди с ниска стойност). Първо, играчът избира една врата, но не я отваря. След това домакинът, който знае какво има зад всяка врата, отваря друга врата, за която е сигурен, че зад нея има коза (отваряйки всяка врата с еднакъв шанс, ако колата е зад вратата на играча). Накрая домакинът дава възможност на играча да избере дали да запази това, което се намира зад първата врата, или да смени избора с третата врата (тази, която домакинът не е отворил). Правилата на задачата са, че домакинът трябва да отвори вратата с коза зад нея и трябва да позволи на играча да я смени. Въпросът е дали промяната на избора увеличава шансовете за получаване на колата.

Интуиция и правилният отговор

На пръв поглед изглежда логично, че след като останат две затворени врати, шансът колата да е зад всяка от тях е 1/2. Това е подвеждащо. Истинският отговор е, че смяната на вратата увеличава шанса за получаване на колата от 1/3 (един от три) на 2/3 (два от три).

Защо точно 2/3?

Най-простото обяснение използва разграничение по това какво е избрал играчът първоначално:

• С вероятност 1/3 играчът първоначално е избрал вратата с колата. В този случай домакинът отваря произволна една от двете врати с коза и, ако играчът смени, той ще загуби (получава коза).
• С вероятност 2/3 играчът първоначално е избрал врата с коза. Тогава домакинът няма избор кои кози врати да покаже — той ще отвори другата врата с коза, оставяйки неизбраната затворена врата да съдържа колата. Ако играчът смени, той печели колата.

Оттук: шансът да спечелите при смяна е точно равен на вероятността първоначалният ви избор да е бил коза, тоест 2/3. Ако не смените — печелите само когато първоначално сте избрали колата (1/3).

Формално (условни вероятности)

Нека A е събитието "първоначалният избор е кола", B е "първоначалният избор е коза". P(A)=1/3, P(B)=2/3. Ако смените след отварянето на една коза от страна на домакина, тогава:

• P(печалба | A, смяна) = 0 (ако първоначално сте избрали колата, смяната води до загуба).
• P(печалба | B, смяна) = 1 (ако първоначално сте избрали коза, смяната винаги води до колата).

Следователно P(печалба при смяна) = P(B)·1 + P(A)·0 = 2/3.

Примери и още интуиция

Един начина да почувствате разликата е да увеличите числата: представете си 100 врати, едната с кола. Избирате една (1/100 шанс да сте познали). Домакинът след това отваря 98 врати, всички с кози. Остават вашата (вероятно коза) и една друга. Ясно е, че по-уместно е да смените — първоначалният ви избор е много вероятно да е бил козa (99/100), а неизбраната останала врата почти сигурно съдържа колата.

Условия и предположения

Важно е да се уточнят правилата за поведението на домакина:

• Той знае къде е колата.
• Той винаги отваря врата с коза (никога не отваря колата).
• Той винаги предлага възможност за смяна.
• Ако играчът първоначално е избрал колата, и има две врати с кози, домакинът избира произволно коя от тях да отвори (това гарантира симетрията в изчисленията).

Ако някое от тези предположения бъде променено (например домакинът понякога отваря колата или не предлага смяна в зависимост от първоначалния избор), тогава вероятностите се променят и задачата трябва да се анализира повторно.

Демонстрация на експеримент

Можете лесно да се убедите експериментално: вземете три чаши и под една поставете монета (или малка награда). Повтаряйте голям брой пъти следната схема — избирате една чаша, друг човек (който знае къде е наградата) вдига една празна чаша отлична от вашата и ви предлага да смените. Записвайте резултатите при винаги смяна и при винаги задържане. Ще видите, че при смяната печалбата е приблизително 2/3 от случаите, а при задържането — приблизително 1/3.

Заключение

При стандартните условия на задачата на Монти Хол винаги е по-добре да смените избора си — това увеличава шансовете ви за печалба от 1/3 на 2/3. Ако домакинът не действа според описаните правила, резултатът може да е различен и ще трябва да се анализира конкретната ситуация.

Още едно обобщение в три възможни случая (както в оригиналния текст):

1. (Изгуби): Ако играчът първоначално избере колата (вероятност 1/3), домакинът ще покаже коза. След смяна играчът ще получи коза.
2. (Печалба): Ако играчът първоначално избере една от козите (вероятност 2/3 общо), домакинът ще покаже другата коза. След смяна играчът ще получи кола.

Въпроси и отговори

В: Какво представлява проблемът "Монти Хол"?

Въпрос: Какво знае водещият?

В: Промяната на избора увеличава ли шансовете за получаване на колата?

В: Как работи тази вероятност?

Въпрос: Всички варианти ли са равни по отношение на печалбата или загубата?

Въпрос: Вярно ли е, че смяната на избора увеличава шансовете ви да спечелите в два от три случая?

Търсене по буква