Законът за синусите в триъгълник — формула, обяснение и примери

Законът за синусите: ясна формула, стъпка по стъпка обяснение и практични примери за решаване на триъгълници и триангулация, включително двусмислени случаи.

Автор: Leandro Alegsa

10-12-2025 22:30

Правилото за синусоидата или законът за синусоидите е теорема в математиката. Тя гласи, че ако имате триъгълник като този на снимката, уравнението по-долу е вярно.

a sin A = b sin B = c sin C = D {\displaystyle {\frac {a}{\sin A}}\,=\,{\frac {b}{\sin B}}\,=\,{\frac {c}{\sin C}}\,=\,D\! } ${\frac {a}{\sin A}}\,=\,{\frac {b}{\sin B}}\,=\,{\frac {c}{\sin C}}\,=\,D\!$

Това е друга версия, която също е вярна.

sin A a = sin B b = sin C c {\displaystyle {\frac {\sin A}{a}}\,=\,{\frac {\sin B}{b}}\,=\,{\frac {\sin C}{c}}\! } ${\frac {\sin A}{a}}\,=\,{\frac {\sin B}{b}}\,=\,{\frac {\sin C}{c}}\!$

D е равен на диаметъра на окръжността на триъгълника.

Какво означава формулата (на практичен език)

Законът за синусите свързва дължини на страните a, b, c и срещуположните им ъгли A, B, C в произволен триъгълник чрез съотношението

a / sin A = b / sin B = c / sin C = D, където D е диаметърът на описаната около триъгълника окръжност.
Често срещана форма е a / sin A = 2R, където R е радиусът на описаната окръжност (D = 2R).

Кога и как се използва

Законът за синусите е особено удобен за решаване на триъгълници в следните случаи:

Дадени са два ъгъла и една страна (A, B и a например). Тогава можем първо да намерим третия ъгъл C = 180° − A − B, след което да пресметнем останалите страни чрез b = a·(sin B / sin A) и c = a·(sin C / sin A).
Дадени са две страни и ъгъл, който не е между тях (случай SSA). Тогава чрез закона за синусите може да се намери един от останалите ъгли, но понякога има две възможности за този ъгъл (двусмислен случай).

Доказателна идея (накратко)

Една удобна идея за доказателството използва описаната окръжност и свойствата на вписаните ъгли. Ако R е радиусът на описаната окръжност, хордата a съответства на вписан ъгъл A, а централният ъгъл, който подсека а, е 2A. Следователно a = 2R sin A, от където a / sin A = 2R и аналогично за другите страни. Това дава разширената форма на закона за синусите.

Свързани формули

Радиус на описаната окръжност: R = a / (2 sin A) = b / (2 sin B) = c / (2 sin C).
Площ на триъгълника: S = (1/2) b c sin A = (abc) / (4R).

Примери

Пример 1 — дадени два ъгъла и една страна

Нека A = 30°, B = 45°, a = 10. Първо намираме C = 180° − 30° − 45° = 105°.

След това пресмятаме:

b = a · (sin B / sin A) = 10 · (sin 45° / sin 30°) = 10 · (0.70710678 / 0.5) ≈ 14.1421
c = a · (sin C / sin A) = 10 · (sin 105° / sin 30°) = 10 · (0.96592583 / 0.5) ≈ 19.3185

Пример 2 — двусмислен случай (SSA)

Дадени: A = 30°, a = 7, b = 5. Искаме ъгъла B.

Използваме закона в тази форма: sin B = b · (sin A) / a = 5 · sin 30° / 7 = 5 · 0.5 / 7 ≈ 0.3571429.

Това дава две възможни стойности за B в [0°,180°]: B1 = arcsin(0.3571429) ≈ 20.94° или B2 = 180° − 20.94° = 159.06°.

За да изберем коя е допустима, проверяваме сумата на ъглите с A: ако A + B > 180°, вариантът не е възможен. В този пример:

A + B1 = 30° + 20.94° = 50.94° (позволено) — дава един валиден триъгълник.
A + B2 = 30° + 159.06° = 189.06° (>180°) — НЕ е възможен, така че тук има само един валиден триъгълник.

В други случаи и двата варианта може да са допустими (и тогава имате действително две геометрични решения).

Практически съвети и числена стабилност

Когато пресмятате arcsin, внимателно проверявайте дали стойността в аргумента е в интервала [−1, 1] — заради числени грешки може да получите 1.0000001 и да получите несъответствия; при такива случаи закръглете до границите.
Най-рисковите ситуации за числени неточности са, когато някой от ъглите е много малък (sin ≈ 0) или когато съотношенията са близки до ±1. Коректният избор между двусмислените решения изисква проверка на сумата от ъглите.
За надеждни резултати в практични изчисления е полезно първо да изчислите третия ъгъл, когато са известни два ъгъла, вместо да използвате arcsin за втори път.

Къде се използва

Законът за синусите е широко използван в триангулация, навигация, картография, астрономия и инженерни приложения — всеки път, когато трябват ъгли и разстояния в произволни триъгълници.

Какво трябва да запомните

Формула: a / sin A = b / sin B = c / sin C = 2R.
Дава мощен инструмент за решаване на триъгълници, но внимавайте за двусмисления SSA случай.
Свързва се директно с радиуса на описаната окръжност и площта на триъгълника.

Триъгълник, обозначен с буквите, необходими за това обяснение. A, B и C са ъглите. a е страната, противоположна на A . b е страната, противоположна на B . c е страната, противоположна на C

Доказателство

Площта T {\displaystyle T} $T$ на всеки триъгълник може да се запише като половината от основата му, умножена по височината му (построена от върха, който не е в основата). В зависимост от това коя страна се избира за основа, площта може да се даде по следния начин

T = 1 2 b ( c sin A ) = 1 2 c ( a sin B ) = 1 2 a ( b sin C ) . {\displaystyle T={\frac {1}{2}}b(c\sin A)={\frac {1}{2}}c(a\sin B)={\frac {1}{2}}a(b\sin C)\,. } $T={\frac {1}{2}}b(c\sin A)={\frac {1}{2}}c(a\sin B)={\frac {1}{2}}a(b\sin C)\,.$

Умножавайки ги по 2 / a b c {\displaystyle 2/abc} $2/abc$ , получаваме

2 T a b c = sin A a = sin B b = sin C c . {\displaystyle {\frac {2T}{abc}}={\frac {\sin A}{a}}={\frac {\sin B}{b}}={\frac {\sin C}{c}}},. } ${\frac {2T}{abc}}={\frac {\sin A}{a}}={\frac {\sin B}{b}}={\frac {\sin C}{c}}\,.$

Въпроси и отговори

В: Какво представлява законът за синусите?

О: Законът за синусите, известен още като правило за синусите, е теорема в математиката, която гласи, че ако имате триъгълник като този на картинката, то дадено уравнение ще бъде вярно.

В: Какво казва това уравнение?

О: Това уравнение гласи, че отношението на дължината на всяка страна към стойността на синуса на противоположния ъгъл ще бъде равно.

В: Как се използва?

О: Законът за синусите може да се използва за намиране на останалите страни на триъгълник, когато са известни два ъгъла и една страна. Той може да се използва и когато са известни две страни и един от ъглите, които не са сключени от тези две страни.

Въпрос: Какво се случва в двусмислен случай?

О: В някои случаи формулата дава две възможни стойности за затворения ъгъл. Това се нарича двусмислен случай.

В: Как се сравнява с други тригонометрични уравнения?

О: Законът за синусите е едно от двете тригонометрични уравнения, които се използват за намиране на дължини и ъгли в скаленови триъгълници. Другото е законът за косинусите.

В: На какво е равно D? О: D е равно на диаметъра на окръжността на триъгълника.

обискирам