Закон за големите числа
Законът за големите числа (ЗГЧ) е теорема от статистиката. Разгледайте някакъв процес, в който се случват случайни резултати. Например една случайна величина се наблюдава многократно. Тогава средната стойност на наблюдаваните стойности ще бъде стабилна в дългосрочен план. Това означава, че в дългосрочен план средната стойност на наблюдаваните стойности ще се приближава все повече до очакваната стойност.
При хвърляне на зарове числата 1, 2, 3, 4, 5 и 6 са възможните резултати. Всички те са еднакво вероятни. Средната стойност на популацията (или "очакваната стойност") на резултатите е:
(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) / 6 = 3.5.
Следващата графика показва резултатите от експеримент с хвърляния на зар. При този експеримент се вижда, че средната стойност на хвърлянията на заровете първоначално варира в широки граници. Както се предвижда от LLN, средната стойност се стабилизира около очакваната стойност от 3,5, когато броят на наблюденията стане голям.
История
Якоб Бернули пръв описва LLN. Той казва, че тя е толкова проста, че и най-глупавият човек инстинктивно знае, че е вярна. Въпреки това му отнема повече от 20 години, за да разработи добро математическо доказателство. След като го открива, той публикува доказателството в Ars Conjectandi (Изкуството да се предполага) през 1713 г. Нарекъл го е "Златната теорема". През 1835 г. С. Д.Поасон я описва допълнително под името "La loi des grands nombres" (Законът за големите числа). Впоследствие той е известен и под двете имена, но най-често се използва "Законът за големите числа".
Други математици също допринасят за подобряването на закона. Някои от тях са Чебишев, Марков, Борел, Кантели и Колмогоров. След тези изследвания сега съществуват две различни форми на закона: Едната се нарича "слаб" закон, а другата - "силен" закон. Тези форми не описват различни закони. Те имат различни начини за описване на сближаването на наблюдаваната или измерената вероятност с действителната вероятност. Силната форма на закона предполага слабата.
Въпроси и отговори
В: Какво представлява законът за големите числа?
О: Законът за големите числа е статистическа теорема, която гласи, че ако даден случаен процес се наблюдава многократно, то средната стойност на наблюдаваните стойности ще бъде стабилна в дългосрочен план.
В: Какво означава законът за големите числа?
О: Законът за големите числа означава, че с увеличаването на броя на наблюденията средната стойност на наблюдаваните стойности ще се приближава все повече до очакваната стойност.
В: Какво е очаквана стойност?
О: Очакваната стойност е средната стойност на популацията на резултатите от един случаен процес.
В: Каква е очакваната стойност на хвърлянето на зар?
О: Очакваната стойност на хвърлянето на зар е сумата на възможните резултати, разделена на броя на резултатите: (1+2+3+4+5+6)/6=3,5.
В: Какво показва графиката в текста във връзка със закона за големите числа?
О: Графиката показва, че средната стойност на хвърлянето на зарове отначало варира бясно, но както предсказва законът за големите числа, средната стойност се стабилизира около очакваната стойност 3,5, когато броят на наблюденията стане голям.
Въпрос: Как се прилага законът за големите числа при хвърлянето на зарове?
О: Законът за големите числа се прилага при хвърлянето на зарове, защото с увеличаването на броя на хвърлянията средната стойност на хвърлянията все повече се доближава до очакваната стойност 3,5.
В: Защо законът за големите числа е важен в статистиката?
О: Законът за големите числа е важен за статистиката, защото осигурява теоретична основа за идеята, че данните имат тенденция да се усредняват при голям брой наблюдения. Той е в основата на много статистически методи, като доверителни интервали и проверка на хипотези.
