Уравнението на Юнг–Лаплас: дефиниция и приложения

Във физиката уравнението на Йънг-Лаплас (/ləˈplɑːs/)) описва връзката между разликата в налягането от двете страни на извитa повърхност и кривината на тази повърхност, когато причината за това е повърхностното напрежение. То е нелинейно частично диференциално уравнение, което се използва за описание на формата и налягането на граница между два статични флуида, например вода и въздух. Уравнението е ключово за разбирането на капилярни явления, стабилността на капки и мехурчета, формирането на менискуси и др.

Формула и физически смисъл

Класическата форма на уравнението на Йънг–Лаплас за разликата в налягането Δp между двете страни на повърхността е

Δp = γ (1/R1 + 1/R2)

където γ е повърхностното напрежение, а R1 и R2 са радиусите на главните кривини в дадената точка на повърхността. Числото (1/R1 + 1/R2) представлява два пъти средната кривина (в зависимост от дефиницията на средната кривина). Знакът на Δp зависи от ориентацията на повърхността: за изпъкнала към вътрешността на капка повърхност вътрешното налягане е по-голямо.

Лесни примери

• За сферична капка с радиус R: Δp = 2γ / R. Това показва защо по-малките капки имат много по-голям вътрешен свръхналягане.
• За цилиндрична повърхност (например филм с една безкрайна ос): R1 = R, R2 → ∞ и тогава Δp = γ / R.

Приложения

• Обяснение на капилярен подем и менискуси при контакт течност–стъкло (в комбинация с уравнението на Йънг за контактния ъгъл).
• Поведение и стабилност на мехурчета, пянa и емулсии.
• Микрофлуидика, мастилено-струйни дюзи и формиране на капки в технологии за печат и леене.
• В биологията и медицината: като закон на Лаплас уравнението се използва за описание на налягането и напреженията в кухи органи (например съдове, сърдечни камери, алвеоли). В практиката при тънкостенни органи често се използва форма, свързваща напрежението на стената, вътрешното налягане и радиуса (за сфера: T = Δp·R/2; за цилиндър: T = Δp·R), а при дебели стени се прилагат по-сложни механични модели и формули за обхващане на стреса (напр. σ = p r / (2 t) за тънкостенна сфера).
• В компютърна графика и моделиране на флуидни повърхности: уравнението на Йънг–Лаплас служи като гранично условие при симулации на флуиди с повърхностно напрежение (в Navier–Stokes системи).

Ограничения и разширения

Уравнението предполага стабилна (статична) повърхност и еднородно повърхностно напрежение γ. В реални системи често има усложнения:

• Гравитацията и външните полета водят до допълнителни членове в уравнението на формата и изискват решение на пълната проблематика за менискуса или падналата капка.
• Сурфактанти (повърхностно-активни вещества) правят γ зависимо от концентрацията и фазите, което води до пространствени вариации и мароскопични напрежения (Маренгови ефекти).
• Динамични ситуации (потоци, вискозност) изискват комбиниране на Young–Laplace като гранично условие с уравненията за движение на флуида (Navier–Stokes) и често включват кинетика на контактен ъгъл.
• В биологични контексти формулите за тънкостенни и дебелостенни структури се различават: понякога се използва проста торсионно-режеща форма на закона на Лаплас, но съответното приложение трябва да отчита материалните свойства на стената (не само „повърхностно напрежение“).

История

Уравнението е кръстено на Томас Йънг, който през 1805 г. разработва качествената теория за повърхностното напрежение, и на Пиер-Симон Лаплас, който през следващата година завършва математическото описание. Понякога то се нарича и уравнение на Йънг-Лаплас-Гаус: Карл Фридрих Гаус обединява работата на Йънг и Лаплас през 1830 г. Гаус извежда както диференциалното уравнение, така и граничните условия, като използва принципите на виртуалната работа на Йохан Бернули.

Бележки за практическо използване

• При изчисления винаги проверявайте знака и ориентацията на нормалата — това определя кой термин е „вътре“ и кой е „вън“ и съответно знака на Δp.
• За числено моделиране често се решава уравнението за повърхнини с постоянна средна кривина (например сфера) и се добавят сили от гравитация и външни полета при нужда.
• В биомедицински приложения внимателно отчитайте дебелината и механичните свойства на стената при прилагане на формите на закона на Лаплас за тъкани и органи.

Въпроси и отговори

В: Какво представлява уравнението на Йънг-Лаплас?

В: С какво е свързано?

В: Кой е разработил тази теория?

В: Как се използва във физиологията?

В: Какво явление обяснява?

Търсене по буква